林紅波，馬 陽

(吉林大學 通信工程學院，吉林 長春 130012)

在利用地震勘探對地下結(jié)構(gòu)進行成像與分析時，提取地震圖像蘊含的地下信息是關(guān)鍵。然而，在接收地下反射信號時，不可避免地會接收到人文活動和自然環(huán)境信息，如風的運動引起的隨機噪聲。受隨機噪聲污染的實際地震勘探圖像Y=X+V，其中隨機噪聲V的不可預測性和復雜的噪聲性質(zhì)嚴重影響了信號X的提取精度[1]。在沙漠地區(qū)，隨機噪聲受復雜地質(zhì)和地表條件影響，其波形、空間結(jié)構(gòu)與反射信號有一定的相似性，是一種低頻色噪聲，這種性質(zhì)使得低頻反射信號的辨識和提取更為困難。此外，地震勘探圖像中非平穩(wěn)地震勘探信號的強度和頻率在時間和空間上變化劇烈。首先到達的信號能量強，在圖像中占主導地位，來自深層反射的信號能量弱，其在強信號和弱相似隨機噪聲的干擾下很難分辨。如何壓制非平穩(wěn)地震勘探圖像中的低頻弱相似隨機噪聲，且不損失非平穩(wěn)地震信號，一直是沙漠地震勘探研究熱點和難點。

國內(nèi)外地球物理學者和信號處理學者在地震勘探去噪方面做了大量研究，并不斷提出新的去噪方法以適應地震勘探技術(shù)的發(fā)展和地震勘探目標的新要求。從最初經(jīng)典的傅里葉變換發(fā)展到適應非平穩(wěn)信號的短時傅里葉變換[2]，從小波變換到Curvelet 變換[3]、脊波變換[4]，從時頻峰值濾波[5]到徑向道時頻峰值濾波[6]等一系列方法抑制地震圖像中的噪聲，并取得了顯著的去噪效果。然而，這些降噪方法未能充分挖掘地震勘探信號復雜的結(jié)構(gòu)特征，導致在壓制噪聲的同時有效信號也存在一定程度丟失。

近年來，基于字典學習方法有效改進了圖像降噪效果。基于字典學習的去噪模型通過更新字典學習圖像中信號的結(jié)構(gòu)特征，能夠更好地抑制圖像中的隨機噪聲。AHARON等[7]提出一種K-奇異值分解(K-Singular Value Decomposition，K-SVD)的字典學習方法來稀疏地描述圖像特征。YANG等[8]結(jié)合自定進度的學習實現(xiàn)基于非負矩陣分解的非負系數(shù)稀疏字典學習方法，在時空域中抑制地震圖像中的隨機噪聲。王勇等[9]結(jié)合字典學習思想，提出一種冗余自適應字典表示的稀疏貝葉斯學習算法。從待重建圖像的迭代中間圖像塊中學習字典，并以該字典作為基獲得圖像的稀疏解。劉帥等[10]在分層字典學習框架下進行統(tǒng)計建模，通過引入高斯噪聲項和稀疏噪聲項，有效地表達圖像噪聲特性；同時，應用吉布斯采樣求解統(tǒng)計模型，以實現(xiàn)降噪的目的。字典學習的方法通常利用圖像塊學習字典，減小字典學習的復雜度，然而卻忽略了圖像的全局特征。針對此問題，ZORAN等[11]提出了塊期望對數(shù)似然降噪方法(Expected Patch Log Likelihood，EPLL)，利用高斯混合模型(Gaussian Mixture Model，GMM)學習目標信號的結(jié)構(gòu)特征作為先驗約束去噪過程。該算法既能精準描述圖像塊統(tǒng)計特征，又能從強噪聲中無失真地復原自然圖像。PAPYAN等[12]進一步提出多尺度EPLL方法，改善算法的降噪性能。SULAM等[13]利用稀疏先驗替代高斯混合模型，提出稀疏期望塊對數(shù)似然方法來恢復自然圖像?；谧值鋵W習的去噪方法也在地震圖像噪聲抑制中表現(xiàn)出優(yōu)秀的地震信號恢復能力。XI等[14]結(jié)合塊分類和高斯混合模型提出基于塊分類的期望塊對數(shù)似然算法(Patch Classification EPLL，PC-EPLL)，實現(xiàn)非平穩(wěn)地震隨機噪聲干擾下的信號恢復?；贓PLL對地震特征良好的恢復能力，筆者進一步將其拓展到非平穩(wěn)地震勘探圖像，壓制低頻有色隨機噪聲。

針對地震勘探信號非平穩(wěn)特性，筆者提出空間自適應塊期望對數(shù)似然(Spatially Adaptive EPLL，SA-EPLL)低頻地震隨機噪聲降噪方法。在EPLL圖像降噪方法中，正則化參數(shù)通常設為與隨機噪聲方差有關(guān)的一組常數(shù)。然而，當?shù)卣鹂碧綀D像中信號強度隨空間非平穩(wěn)變化時，具有相同噪聲水平的圖像塊具有不同的信噪比，所需要的去噪強度不同。因此，EPLL算法正則化參數(shù)僅隨噪聲方差變化而無法實現(xiàn)對不同信噪比圖像塊施加不同的去噪水平，導致EPLL算法對非平穩(wěn)地震勘探信號去噪效果不佳。為了同時表征地震勘探信號的非平穩(wěn)特征和噪聲特性，筆者提出利用更能反映非平穩(wěn)特征的塊信噪比自適應地控制正則化參數(shù)，構(gòu)建基于塊信噪比的加權(quán)圖像重構(gòu)方案。合成圖像和實際地震勘探圖像驗證了空間自適應EPLL算法有效性，SA-EPLL能夠有效壓制沙漠地震勘探非平穩(wěn)圖像中低頻弱相似隨機噪聲，緩解了非平穩(wěn)地震信號的損失問題。

1 期望塊對數(shù)似然降噪方法算法

EPLL算法通過學習樣本圖像塊的結(jié)構(gòu)特征作為先驗，約束圖像去噪反問題。對于含噪圖像Y=X+V，假設V是均值為0、方差為σ2的高斯白噪聲。利用EPLL方法對Y去噪，即通過求解如下反問題估計干凈圖像X，代價函數(shù)表示為

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其中，logP(RiX)表示第i個重疊圖像塊的對數(shù)似然先驗，Ri為抽取第i個重疊圖像塊的算子，重疊圖像塊大小為q×q。參數(shù)λ為常數(shù)，通常設置為q2/σ2。在對數(shù)似然先驗約束下的優(yōu)化問題不能直接求解，ZORAN和WEISS采用半二次分裂算法[11]，通過引入輔助變量zi，將式(1)的優(yōu)化問題改寫為

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給定X，求解式(2)關(guān)于zi的最小化問題。由于對數(shù)似然先驗約束下沒有閉合解，在實際應用中，利用已經(jīng)訓練好的GMM先驗模型獲得近似解。從GMM模型中搜索與含噪圖像塊zi最似然的GMM分量

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基于EPLL降噪原理，正則化參數(shù)β通常根據(jù)整體噪聲方差σ2設定，由于在迭代過程中圖像的噪聲方差已經(jīng)改變，在圖像去噪應用中通常設定β為一組常數(shù)序列[1，2，4，8，…]/σ2。

將EPLL應用到沙漠地震勘探圖像時，正則化參數(shù)β的設置需要考慮地震勘探信號的非平穩(wěn)特性。地震圖像是由多個檢波器接收到的地下反射信號構(gòu)成的。受地下介質(zhì)吸收影響，地震圖像中信號強度在空間和時間上變化。隨著時間增加，地震信號的幅度迅速降低，強信號與弱信號的強度差異巨大；由于檢波器間隔距離遠，不同檢波器接收到的信號強度也不均衡。因此，地震圖像下方的弱信號在上方強信號的掩蓋下很難辨識。另一方面，沙漠地震勘探圖像中的隨機噪聲為低頻色噪聲，噪聲特性較高斯白噪聲更為復雜，甚至部分沙漠勘探隨機噪聲與地震信號具有相似的波形和形態(tài)。這種復雜的隨機噪聲進一步增加了沙漠勘探圖像去噪的難度。當EPLL算法應用于沙漠地震圖像時，地震信號的非平穩(wěn)性對降噪效果會產(chǎn)生較大的影響。

以圖1(a)為例說明對非平穩(wěn)地震圖像的影響。圖像塊中信號幅度分別為[0.2，0.8，1，10，1000]，含噪圖像塊(圖1(b))中沙漠噪聲方差為0.08；可見，沙漠噪聲結(jié)構(gòu)與地震信號相似。根據(jù)EPLL原理將正則化參數(shù)β設為常數(shù)序列，去噪結(jié)果如圖1(c)所示，信號幅度為0.2的圖像塊噪聲壓制效果不明顯，幅度為10和1 000的圖像塊噪聲壓制良好，但左下角信號出現(xiàn)變形。幅度為0.8與1的圖像塊降噪效果好。上述結(jié)果表明，正則化參數(shù)僅與噪聲方差有關(guān)時，對于非平穩(wěn)信號圖像塊濾波效果不同。含有大幅度信號的圖像塊信噪比高，噪聲方差相對于信號來說相當小，若EPLL采用噪聲方差設置正則化參數(shù)，則對高信噪比圖像塊相當于施加了過強的去噪，導致信號失真；對于小幅度信號圖像塊，信噪比極低，噪聲方差相對于信號來說相當大，此時利用噪聲方差設置正則化參數(shù)相當于降低了EPLL降噪能力，圖像塊去噪不理想。由此可見，針對非平穩(wěn)地震圖像處理，不能簡單采用噪聲方差調(diào)節(jié)EPLL參數(shù)。為了衡量信號與噪聲的相對信息，筆者提取圖像塊的信號方差，利用信號方差與噪聲方差的比值設置正則化參數(shù)。圖1(d)所示EPLL去噪結(jié)果表明，不論是弱信號圖像塊還是強信號圖像塊，去噪結(jié)果和信號保持程度均得到改善。上述分析表明，對于非平穩(wěn)地震圖像，采用反映塊信噪比的特征設置正則化參數(shù)更為合理。

圖1 不同正則化參數(shù)的非平穩(wěn)圖像塊去噪效果分析

2 基于空間自適應EPLL的沙漠地震圖像去噪

在對非平穩(wěn)沙漠地震勘探圖像去噪時，若僅考慮噪聲方差水平設置EPLL正則化參數(shù)，要保證強信號圖像塊不失真，則會導致弱信號塊噪聲壓制不徹底，很難同時兼顧強信號保真和弱信號恢復。這就需要EPLL正則化參數(shù)根據(jù)每個圖像塊特征調(diào)節(jié)。筆者在EPLL框架下，將能反映信號非平穩(wěn)特性的塊信號方差與反應噪聲水平的參數(shù)β相結(jié)合，提出空間自適應塊期望對數(shù)似然(SA-EPLL)去噪算法。該算法利用塊信號方差調(diào)節(jié)參數(shù)β得到每個塊的信噪比，并通過塊信噪比實現(xiàn)對強信號和弱信號圖像塊施加不同的正則化參數(shù)，自適應控制圖像塊去噪水平。同時利用塊信噪比加權(quán)重構(gòu)圖像，平衡局部先驗和全局特征，改進非平穩(wěn)圖像去噪效果。

2.1 空間自適應EPLL

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SA-EPLL流程如算法1所示。

算法1：空間自適應EPLL算法(SA-EPLL)。

輸入：含噪地震圖像Y、學習到的GMM先驗。

設t為當前迭代次數(shù)，開始迭代。

② 求解平穩(wěn)化圖像去噪結(jié)果。

2.2 訓練集構(gòu)造

在使用SA-EPLL算法對沙漠地震圖像去噪時，需要利用GMM模型學習地震圖像先驗，因此，構(gòu)建包含實際地震圖像結(jié)構(gòu)特征的訓練集對于恢復地震圖像尤為重要。筆者采用雷克子波、零相位波、混合相位波[15]模擬實際地震圖像中的信號特征，生成訓練集。為了防止在學習過程中過擬合大的數(shù)據(jù)特征，筆者構(gòu)建均值為0，方差為1的訓練集，使學習到的模型更加魯棒。利用上述構(gòu)建的訓練集，筆者用EM算法[16]學習高斯混合模型參數(shù)，對地震信號結(jié)構(gòu)特征建模。所學習的混合GMM模型包含200個高斯分量，在保證特征豐富的同時，又不會增加計算量。

在先驗字典學習中，圖像塊的大小是影響EPLL降噪效果的重要因素。在地震勘探圖像處理時，地震勘探同相軸結(jié)構(gòu)信息對于精準探查地下結(jié)構(gòu)至關(guān)重要。要在圖像塊中體現(xiàn)出傾斜同相軸的空間相干性，需要較大的圖像塊，但采用太大的圖像塊尺寸，會導致學習時間迅速增加。為了盡可能多地保留地震勘探信號的結(jié)構(gòu)特征，避免學習時間過長，筆者分析大量實驗降噪效果尋找最優(yōu)值，將圖像塊大小設置為30×30。

3 實驗及分析

為了驗證SA-EPLL對沙漠圖像中的隨機噪聲抑制能力，筆者將其應用于合成地震勘探圖像和實際地震圖像，并與BM3D、EPLL和多尺度EPLL去噪方法進行比較。

3.1 合成沙漠地震圖像去噪

筆者利用合成沙漠地震勘探圖像驗證空間自適應EPLL算法壓制沙漠勘探中隨機噪聲的能力。所采用的合成沙漠地震圖像如圖2(a)所示，包含5個同相軸，其幅度從上到下分別設為[1.8，1.6，1.4，1.2，1，0.8]。通常假設地震勘探系統(tǒng)為線性系統(tǒng)，噪聲與信號獨立，隨機噪聲為加性噪聲。在合成沙漠圖像中加入模擬的沙漠隨機噪聲，得到的含噪圖像(圖2(b))的信噪比為-4.2 dB。圖2(c)為從含噪圖像中計算出的塊信噪比，可見塊信噪比反映了地震信號強度變換和結(jié)構(gòu)特征。利用塊信噪比調(diào)節(jié)SA-EPLL正則化參數(shù)能夠自適應控制非平穩(wěn)圖像去噪強度。

圖2 合成沙漠地震圖像

筆者分別采用BM3D、EPLL、多尺度EPLL、SA-EPLL方法處理合成沙漠地震圖像。EPLL、多尺度EPLL和 SA-EPLL算法均采用步長為15重疊分塊，圖像塊大小為30×30。在實驗中設置ε為0.001，經(jīng)多次實驗，表明迭代次數(shù)為6次時具有好的去噪效果，增加迭代次數(shù)會導致過度去噪，引起信號失真。在實驗中，當相鄰兩次迭代結(jié)果的譜范數(shù)小于ε或者迭代次數(shù)達到6次時，停止迭代。

4種方法的濾波結(jié)果如圖3所示。分析濾波結(jié)果可知，在經(jīng)過BM3D方法、EPLL方法與多尺度EPLL處理之后，仍然殘留著大量的噪聲，尤其在EPLL和多尺度EPLL去噪結(jié)果中噪聲殘留十分明顯。且從濾波結(jié)果和干凈圖像的殘差圖中可以看出，經(jīng)過BM3D方法、EPLL方法與多尺度EPLL方法去噪后，殘差地震圖像中仍然可以看到同相軸，說明這3種方法在濾波同時造成有效信號的大量丟失。筆者提出的方法背景更為干凈，沙漠隨機噪聲去除的更徹底，同相軸也變得更清晰，在殘差圖像中幾乎沒有有效信號殘留。由此可知，筆者提出的方法在有效壓制噪聲的同時，盡可能地保留了非平穩(wěn)地震信號。

圖3 不同方法去噪結(jié)果及對應殘差圖

為了進一步評估去噪方法，筆者改變模擬噪聲強度加入合成地震勘探圖像，分別使用BM3D、EPLL、多尺度EPLL以及SA-EPLL算法對其去噪，計算濾波前后的信噪比(SNR)，由r表示，和均方誤差(MSE)，由e表示

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式中，X為干凈的合成信號，Q是地震圖像中的采樣點數(shù)。表1給出了4種方法的信噪比和均方誤差。從表1可以看出，筆者提出的方法獲得最高的信噪比及最小的均方誤差，降噪效果優(yōu)于BM3D、EPLL和多尺度EPLL算法。

表1 不同方法去噪結(jié)果信噪比與均方誤差比較：SNR(dB)/MSE

3.2 實際沙漠地震圖像去噪

驗證筆者提出的方法對實際地震勘探圖像的去噪能力，并與BM3D方法、EPLL以及多尺度EPLL方法進行比較。所采用的實際地震勘探圖像來源于中國塔里木盆地，包含200道記錄，抽樣頻率為1 000 Hz，道間距20 m，信噪比為-3.29 dB，如圖4所示。從實際沙漠地震勘探圖像中可以看出，信號能量隨著時間的增加而衰減，在直達波區(qū)域信號占主導地位，在反射波區(qū)域噪聲逐漸占主導地位。

圖4 實際沙漠地震圖像

筆者分別采用4種濾波方法對實際沙漠地震圖像處理。由圖5可知，BM3D方法對沙漠噪聲的壓制能力很弱，信號沒有被恢復，信噪比為 2.46 dB。EPLL與多尺度EPLL方法能夠濾除部分沙漠噪聲，但噪聲殘留明顯，信噪比分別為3.75 dB與4.77 dB。筆者提出的SA-EPLL方法能夠抑制實際沙漠地震圖像中的大部分沙漠噪聲，信噪比提高到9.18 dB。對比圖5中的白框區(qū)域發(fā)現(xiàn)，筆者提出的方法在去噪圖像中背景更干凈，有效同相軸變得更光滑，明顯優(yōu)于對比的方法。

圖5 實際沙漠地震圖像及不同方法去噪結(jié)果

4 結(jié)束語

筆者提出空間自適應EPLL低頻地震隨機噪聲降噪方法。該方法針對地震圖像中信號非平穩(wěn)問題，利用圖像塊的統(tǒng)計特征，控制EPLL算法中的正則化參數(shù)，構(gòu)建了空間自適應EPLL算法。該算法實現(xiàn)了根據(jù)塊信噪比自適應控制每個塊的正則化參數(shù)，調(diào)節(jié)對每個塊的去噪強度，進而提升塊去噪效果。此外，在重構(gòu)過程中以塊信噪比對圖像塊加權(quán)平均，以避免非平穩(wěn)地震信號的損失。合成和實際地震圖像去噪結(jié)果表明，筆者提出的空間自適應EPLL方法在保留非平穩(wěn)地震信號和抑制低頻隨機噪聲方面優(yōu)于其他競爭性降噪方法。