趙元一，徐 佳，趙成成

(1.同濟(jì)大學(xué)浙江學(xué)院，浙江 嘉興 314051；2.浙江上嘉建設(shè)有限公司，浙江 嘉興 314001)

0 引言

立桿是外腳手架應(yīng)用的主要受力構(gòu)件，在軸向壓力作用下，立桿的變形及彎曲是控制架體穩(wěn)定性的主要因素。以材料力學(xué)中的軸向鉸接受力構(gòu)件為基礎(chǔ)，結(jié)合桿件的應(yīng)變能及變分極值條件，綜合考慮桿件側(cè)向撓度、軸向變形等因素，能求解出基于多項(xiàng)式級(jí)數(shù)表達(dá)的壓桿穩(wěn)定臨近荷載。童根樹等通過理論和非線性計(jì)算軟件，分析了預(yù)應(yīng)力在壓桿穩(wěn)定性中的應(yīng)用，但缺少桿件初始變形對(duì)壓桿穩(wěn)定性的分析。唐柏鑒等根據(jù)壓桿的基本屈曲模態(tài)，通過典型的算例研究了模擬曲線項(xiàng)數(shù)對(duì)臨界壓力的預(yù)估精度，但未能明確初始變形與鋼管壓桿屈曲荷載的定量關(guān)系。

本文充分考慮鋼管構(gòu)件計(jì)算的復(fù)雜性，將精度與多項(xiàng)式級(jí)數(shù)相關(guān)聯(lián)，并考慮桿件初始變形的影響，能充分得出構(gòu)件出廠變形和桿件穩(wěn)定性的估算值并確保計(jì)算的可靠性。

1 最小勢(shì)能原理在簡支桿件的應(yīng)用

桿件一端鉸接，另一端為可水平移動(dòng)的桿件連接，在軸向壓力作用下，桿件在軸向變形和撓曲變形方向均有一定變化，其計(jì)算模型如圖1所示。

圖1 軸向壓力下桿件的計(jì)算模型

模型的抗彎剛度為EI，桿件總長度為L，桿件在x軸向的壓縮量為λ。

1.1 桿件變形能極值條件的推導(dǎo)

受壓桿件的應(yīng)變能Π為：

(1)

式中：E為桿件材料的彈性模量；I為截面慣性矩；w為桿件撓度。

含有高階導(dǎo)數(shù)的變分Euler方程為：

(2)

將桿件軸線位移的桿件應(yīng)變能帶入得：

受壓桿件的Euler方程為：

(3)

式(3)即為桿件受彎的Euler-Poisson方程。

1.2 桿件邊界條件的推導(dǎo)

假設(shè)桿件的整體變分為：

I[y(·)]=Φ(α)=

(4)

式中：W為所求桿件應(yīng)變所對(duì)應(yīng)的桿件軸線位移(桿件變形能極值所對(duì)應(yīng)的軸線位移)；η為極值位移周邊的任意小函數(shù)變化；α為常數(shù)。

要保證桿件整體變分在α=0處取極值，即Φ′(α=0)=0，將式(4)帶入可得：

(5)

式中：右側(cè)第2項(xiàng)經(jīng)一次分部積分可得：

(6)

第3項(xiàng)經(jīng)2次分部積分可得：

(7)

對(duì)于壓桿而言，兩端固定，其邊界條件w(0)=w(L)=0，其邊界轉(zhuǎn)角和彎矩待定，由此可得壓桿的邊界條件為：

(8)

考慮到桿件的初始變形等因素，式(8)邊界條件可適當(dāng)放寬。綜合可得桿件的整體Euler方程和邊界條件為：

對(duì)桿件的彎曲采用勒讓德(Legendre)多項(xiàng)式代替，即

(9)

考慮到在節(jié)點(diǎn)位置桿件的撓度為0及Euler方程的控制條件，則桿件的撓度曲線可化簡為：

(10)

按常規(guī)多項(xiàng)式進(jìn)行位移求解，考慮到在節(jié)點(diǎn)位置桿件的撓度為0和Euler方程的控制條件，則桿件的撓度曲線可化簡為：

(11)

1.3 桿件外力做功

(12)

由此可得軸向壓力做功為：

(13)

對(duì)于壓桿結(jié)構(gòu)，外力做功與結(jié)構(gòu)應(yīng)變能相等，即

(14)

將w和相應(yīng)的表達(dá)式帶入可得：

(15)

(16)

將式(15)～式(16)分別對(duì)C1，C2求偏導(dǎo)，化為矩陣形式為：

(17)

由此可求得待定系數(shù)P與桿件材料及幾何尺寸的關(guān)系，此即為壓桿對(duì)應(yīng)的臨界壓力。

1.4 計(jì)算結(jié)果對(duì)比分析

對(duì)于多項(xiàng)式級(jí)數(shù)的位移，主要的位移分量為：

w(x)=C1x(x-L)

(18)

總體勢(shì)能方程為：

(19)

與其相對(duì)應(yīng)的桿件的軸向壓力為：

(20)

由式(20)可看出，桿件在軸力作用下的臨界壓力值與材料力學(xué)中的解析表達(dá)式相近，其材料力學(xué)解析解為：

(21)

2 基于桿件變形能的撓度分析

由材料力學(xué)的壓桿穩(wěn)定方程可知，若無初始變形，桿件的撓度方程為：

(22)

(23)

由此可得方程的特解為：

(24)

式中：Cr為初始變形狀態(tài)桿件的撓度幅值，由現(xiàn)場測(cè)量統(tǒng)計(jì)得出。

壓桿穩(wěn)定的臨界壓力Pcr普遍小于桿件的材料屈服強(qiáng)度，主要是因?yàn)樵趽隙茸饔孟庐a(chǎn)生彎矩，引發(fā)桿件失穩(wěn)。考慮到桿件的初始變形后，將材料力學(xué)的壓桿穩(wěn)定臨界荷載式(21)代入式(22)，得出修正后的撓度曲線方程，并以此作為附加彎矩的修正項(xiàng)，結(jié)合材料的屈服強(qiáng)度對(duì)臨界壓力進(jìn)行進(jìn)一步修正，則有：

(25)

3 工程實(shí)例計(jì)算分析

施工規(guī)范中的主受力桿件(立桿)以直徑48mm、壁厚3.5mm鋼管構(gòu)件作為主要應(yīng)用構(gòu)件，之后考慮到生產(chǎn)和現(xiàn)場應(yīng)用的實(shí)際問題，將壁厚3.0mm的桿件也列入受力構(gòu)件的計(jì)算范疇?？紤]到現(xiàn)場應(yīng)用較多的鋼管型材，腳手架采用直徑48mm、壁厚為3.0mm的鋼管，材料屈服強(qiáng)度fy=205N/mm2，在施工過程中連墻件為兩步兩跨，底層腳手架考慮施工高度，其步距為1.80m，鋼管在其步距內(nèi)的初始變形幅值(50mm)下，其工作條件下的臨界荷載Pcr的確定步驟如下。

1)假設(shè)在不考慮鋼管初始變形的情況下，桿件的臨界荷載。

2)考慮初始位移后的壓桿撓度曲線，并求出撓度幅值A(chǔ)0。

3)確定考慮初始變形后的桿件撓曲線幅值后，進(jìn)行修正后的彎矩求解。

由此可得修正后的桿件臨界壓力Pcr=2.62kN，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于桿件的理論臨界荷載，初始變形對(duì)桿件的臨界壓力有較顯著影響，控制初始變形能有效提高腳手架體系的承載力。因此，可得出腳手架立桿初始變形與其臨界荷載的關(guān)系曲線，如圖2所示。

圖2 初始變形影響下立桿的臨界荷載

由圖2可知，隨著初始撓度的增加，腳手架立桿的受壓臨界荷載逐漸降低。當(dāng)初始撓度與桿件計(jì)算長度之比為0～1/150時(shí)，其壓桿臨界荷載高于桿件的材料屈服強(qiáng)度，應(yīng)以材料屈服強(qiáng)度為控制因素，取材料屈服強(qiáng)度為79.8kN；當(dāng)初始撓度與桿長之比逐漸加大后，受壓臨界荷載下降較明顯，當(dāng)初始撓度幅值與桿件計(jì)算長度之比為1/45時(shí)，其臨界荷載下降至材料強(qiáng)度的40%，之后隨著桿件初始變形幅值的增大，壓桿臨界荷載下降趨于緩和。為確保立桿的穩(wěn)定性，其初始撓度幅值應(yīng)控制在一定幅度內(nèi)，以防止桿件失穩(wěn)。

為確保理論計(jì)算的可靠性，采用有限元計(jì)算軟件MIDAS對(duì)壓桿穩(wěn)定性進(jìn)行受力分析，考慮到壓桿在軸力和初始變形下的撓度疊加，采用梁單元模型，對(duì)不同初始變形的壓桿進(jìn)行豎向受力分析，立桿長度為1.8m，用4個(gè)梁單元進(jìn)行等效，其極限狀態(tài)受力與理論計(jì)算結(jié)果對(duì)比如圖3所示。

圖3 立桿臨界荷載的理論解與數(shù)值解對(duì)比

與有限元計(jì)算結(jié)果對(duì)比可得，其理論解整體結(jié)果與數(shù)值解基本一致，變化趨勢(shì)也基本相同，由于數(shù)值解計(jì)算模型采用4個(gè)梁單元模擬，其變形剛度較實(shí)際情況大，所以數(shù)值解的極限穩(wěn)定荷載比理論值稍顯偏大。

4 結(jié)語

以桿件最小勢(shì)能原理為基礎(chǔ)，通過變分法和歐拉方程，計(jì)算分析了在軸向壓力荷載作用下，壓桿的臨界穩(wěn)定荷載解析及半解析解，將桿件初始變形代入壓桿撓曲微分方程，計(jì)算并分析了初始變形對(duì)臨界穩(wěn)定荷載的影響，結(jié)論如下。

1)在軸向荷載作用下，壓桿變形可通過結(jié)構(gòu)變分和對(duì)應(yīng)的歐拉方程求導(dǎo)得出，以麥克勞林展開式為基礎(chǔ)的半解析方法通過多項(xiàng)式解進(jìn)行擬合同樣能得出較接近實(shí)際的結(jié)果，且計(jì)算量較小。

2)在考慮邊界約束條件后的桿件初始變形后，其壓桿的臨界穩(wěn)定荷載仍以材料屈服強(qiáng)度為界定條件，判斷依據(jù)為桿件最大正應(yīng)力不得超過材料自身的屈服強(qiáng)度。

3)初始變形對(duì)壓桿穩(wěn)定的影響較顯著，以工程普遍采用的扣件式腳手架立桿為研究對(duì)象，不同的桿件初始撓度對(duì)桿件的附加彎矩和后續(xù)側(cè)向變形影響較顯著，與其對(duì)應(yīng)的臨界穩(wěn)定荷載也隨初始的側(cè)向變形明顯降低。