王國棟，閻 璐，王振凱，宋健民

（北京航天控制儀器研究所，北京 100039）

0 引言

微機電慣性測量單元（MEMS Inertial Measure?ment Unit，MEMS IMU）廣泛應(yīng)用于航天、航空、導(dǎo)彈等武器裝備領(lǐng)域，加速度計作為速度、位置測量的核心儀表，決定著各類載體的導(dǎo)航精度和使用性能。MEMS IMU在高g條件下，加速度計的輸出模型往往表現(xiàn)出高階、非線性的特征［1］，加速度計模型的精度和符合性是其可靠工作的關(guān)鍵。加速度計在儀表組裝成IMU之后，由于受到焊接應(yīng)力等的影響，在單表階段標(biāo)定的模型會發(fā)生一定程度的變化，需要重新進行誤差建模和補償。離心機作為高精度的慣性試驗設(shè)備，可以用來產(chǎn)生高g輸入激勵［2?4］，是進行 MEMS IMU 加速度計誤差建模的常用設(shè)備。同時，離心機試驗過程中引入的各種誤差也將影響加速度計模型的精度和誤差補償效果。

目前，領(lǐng)域的研究主要圍繞基于離心機試驗開展單表層面的加速度計標(biāo)定測試與誤差補償，沒有針對MEMS IMU系統(tǒng)級三軸MEMS加速度計開展相關(guān)的建模與補償研究。本文提出了一種MEMS IMU三軸加速度計高加速度條件下的誤差建模與補償?shù)耐暾椒ǎㄔ囼灳幣旁O(shè)計、模型參數(shù)識別、模型優(yōu)化與驗證等，能夠為MEMS IMU加速度計的高精度應(yīng)用提供技術(shù)基礎(chǔ)，具有一定的工程應(yīng)用價值。文中將分析離心機試驗引入的各類誤差源及誤差補償方法，設(shè)計合理的試驗方案，并對建立的誤差模型進行優(yōu)化和有效性驗證。

1 精密離心機及其誤差源

離心機有多種類型，包括雙軸長臂離心機、單軸盤式離心機等，本文將會重點分析單軸盤式離心機。單軸盤式離心機試驗引入的誤差主要包括半徑誤差、安裝失準角誤差、回轉(zhuǎn)軸線誤差等［5?6］。

1.1 半徑誤差

離心機的半徑誤差包括靜態(tài)半徑誤差和動態(tài)半徑誤差兩項。

靜態(tài)半徑誤差是指離心機的旋轉(zhuǎn)軸到加速度計的敏感質(zhì)量塊之間的距離測度誤差。對于MEMS IMU而言，由于加速度計位于結(jié)構(gòu)件之內(nèi)，實測法過于復(fù)雜，因此通常采用反算法［7］予以求解得到。在計算過程中，靜態(tài)半徑不可避免地產(chǎn)生一定的誤差。例如，當(dāng)水平面內(nèi)徑向安裝的加速度計存在0.05mg的輸出誤差時，半徑為0.5m的旋轉(zhuǎn)圓盤產(chǎn)生的半徑誤差為2.8×10-5m；當(dāng)產(chǎn)生的向心加速度為20g時，產(chǎn)生的輸入誤差為1mg。為了減小半徑誤差，需要提升MEMS IMU在1g條件下的測量精度。靜態(tài)半徑的計算公式為

式（1）中，Er為離心機旋轉(zhuǎn)時的輸出平均值，Es為離心機靜止時的輸出平均值，ω0為離心機旋轉(zhuǎn)時的角速率，ΩV為地球轉(zhuǎn)速的垂向分量。當(dāng)處于北半球的離心機順時針旋轉(zhuǎn)時，科氏加速度對應(yīng)的項2ω0ΩV前面的符號為正；離心機逆時針旋轉(zhuǎn)時，科氏加速度對應(yīng)的項2ω0ΩV前面的符號為負。

動態(tài)半徑誤差是指離心機在轉(zhuǎn)動過程中由于臺面拉伸產(chǎn)生的誤差。由于單軸盤式離心機結(jié)構(gòu)緊湊，臺面剛度大，動態(tài)旋轉(zhuǎn)情況下變形小，因此動態(tài)誤差較小，可以忽略。

1.2 失準角誤差

失準角誤差包括水平失準角誤差和垂直失準角誤差。

理想情況下，MEMS IMU在離心機上安裝完成后，MEMS IMU在水平面內(nèi)的某一加速度計敏感軸將與安裝基準面的法向重合。但實際情況下，加速度計敏感軸與安裝基準面的法向存在著一定的偏差。水平失準角誤差就是指處于徑向的加速度計敏感軸與離心機半徑方向的夾角，如圖1所示。

圖1 水平失準角示意圖Fig.1 Diagram of horizontal misalignment angle

失準角產(chǎn)生的原因主要有MEMS IMU在離心機上的安裝誤差、離心機上的安裝靠面基準誤差等。安裝誤差是跟MEMS IMU的基準面精度、安裝操作、結(jié)構(gòu)變形等因素有關(guān)的誤差，為了減小安裝誤差的影響，利用1g條件下的系統(tǒng)三軸輸出，反算求得水平失準角

式（2）中，φh為水平失準角，aT為水平切向加速度計輸出，aR為水平徑向加速度計輸出。由于徑向敏感的加速度計在MEMS IMU中的位置無法保證處于離心機垂向安裝基準面的中心位置，因此會產(chǎn)生水平失準角，該失準角可通過式（2）進行計算得到。當(dāng)φh為0.1rad、離心機輸入的向心加速度為20g時，產(chǎn)生的加速度計敏感軸誤差為0.03mg，垂直于徑向的敏感軸產(chǎn)生的加速度分量為0.035g。因此，需要通過標(biāo)定水平失準角對MEMS IMU的輸出進行修正。

垂直失準角是指安裝基準面的法線與水平面的夾角，垂直失準角的計算公式如下

式（3）中，φv為垂直失準角，ΔaU為垂向加速度計的輸出誤差。由于離心機安裝臺面和MEMS IMU的安裝基準面精度均較高，因此垂直失準角較小，可以忽略。

1.3 回轉(zhuǎn)軸線引起的垂直度誤差

當(dāng)離心機的回轉(zhuǎn)軸線與鉛垂線不平行時，會在MEMS IMU加速度計的水平輸入軸上引入重力加速度分量

式（4）中，ar為重力加速度的水平分量，γ為離心機回轉(zhuǎn)軸線與鉛垂線的夾角，ω為離心機的轉(zhuǎn)速。由式（4）可知，ar的大小隨著離心機的轉(zhuǎn)動呈現(xiàn)出周期性變化。因此，通過采集整周轉(zhuǎn)動周期數(shù)據(jù)取平均值，可以消除離心機回轉(zhuǎn)軸線垂直度引起的誤差。

2 離心機試驗編排

2.1 MEMS IMU安裝位置

MEMS IMU的安裝位置取決于需要估計的模型系數(shù)。對于MEMS加速度計來說，敏感軸的一次項、二次項以及交叉軸的一次項、二次項影響較為突出，交叉耦合項影響較弱。因此，設(shè)計的安裝位置為MEMS IMU三個敏感軸的正負向，共計有6個，如圖2所示。通過位置1～位置6的測試，能夠得到不同情形下的MEMS IMU三個敏感軸向的加速度輸入。位置1、位置2主要用于激勵產(chǎn)生X+、X-向的加速度輸入，位置3、位置4主要用于激勵產(chǎn)生Y+、Y-向的加速度輸入，位置5、位置6主要用于激勵產(chǎn)生Z+、Z-向的加速度輸入。

圖2 MEMS IMU的安裝位置示意圖Fig.2 Schematic diagram of MEMS IMU installation position

2.2 試驗的設(shè)計

如圖3所示，MEMS IMU的加速度計建模試驗包括靜態(tài)測試試驗和動態(tài)測試試驗。靜態(tài)測試試驗主要用于確定零速率時傳感器的輸出，圓周方向多個對稱位置的輸出取平均值，可以得到加速度計的零輸出值。動態(tài)測試試驗用于采集不同向心加速度輸入下MEMS IMU的三軸輸出。根據(jù)MEMS IMU誤差模型參數(shù)的個數(shù)和所需的測試激勵設(shè)計離心機試驗和數(shù)據(jù)采集的時間：

1）MEMS IMU 按照圖2（a）的位置安裝完成后，上電預(yù)熱10min。

2）產(chǎn)品輸出穩(wěn)定后，取離心機圓周四個位置0°、 90°、 180°、 270°分別進行 3min 測試，以確定加速度計的零速率靜態(tài)輸出，四個位置的輸出均值再取平均，得到MEMS IMU加速度計的零輸出值。

3）設(shè)置離心機的轉(zhuǎn)速，使得MEMS IMU的徑向輸出接近1g，利用式（1）通過反算法得到系統(tǒng)的等效半徑，利用式（2）得到水平失準角，通過得到的等效半徑計算離心機向心加速度為2g、4g、6g、…、20g的旋轉(zhuǎn)速率。

4）依次設(shè)置離心機的旋轉(zhuǎn)速率，使得離心機在MEMS IMU徑向敏感軸上產(chǎn)生的向心加速度分別為2g、4g、6g、…、20g，每個速率點采集離心機旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定后5min的MEMS IMU三軸加速度計的輸出值。

5）依次調(diào)整 MEMS IMU的安裝位置，如圖 2（b）～圖 2（f），重復(fù)步驟 1～步驟 4，獲得不同安裝位置下的MEMS IMU三軸加速度計的輸出值。

通過步驟1～步驟5，可以得到一組 MEMS IMU三軸加速度計的離心機數(shù)據(jù)。為了進行建模驗證，重復(fù)進行步驟1～步驟5，得到多組離心機試驗數(shù)據(jù)，用于模型的有效性驗證。

圖3 離心機試驗裝置圖示Fig.3 Diagram of centrifuge experiment apparatus

3 高g條件下的MEMS IMU加速度計誤差建模

3.1 加速度計的誤差模型

MEMS IMU加速度計通過檢測梳齒在工作條件下的電容大小變化實現(xiàn)加速度的測量，工作在閉環(huán)狀態(tài)下的加速度計通過靜電力實現(xiàn)與慣性力的平衡。當(dāng)靜電力與慣性力中心不重合時，檢測質(zhì)量受力不均，將使儀表的檢測輸出表現(xiàn)出明顯的非線性，尤其在大加速度條件下，非線性會更為突出［8］。當(dāng)加速度計受到垂直于敏感軸方向的作用力時，梳齒電容對的有效面積也會發(fā)生變化，因此產(chǎn)生輸出誤差。為了保證模型的完備性，首先建立MEMS IMU加速度計的全參數(shù)模型，在此基礎(chǔ)上通過數(shù)據(jù)驗證和顯著性分析進行模型的優(yōu)化。基于前期的試驗分析，MEMS IMU加速度計的誤差模型僅僅跟一次項、二次項和交叉耦合項有關(guān)，加速度計的誤差模型如下

3.2 試驗建模數(shù)據(jù)的處理

利用離心機試驗獲得不同加速度輸入下的加速度計數(shù)據(jù)，通過去除零輸出項、扣除科氏加速度、補償安裝誤差等，得到加速度計的測量輸出，輸出減去輸入，得到加速度計的輸出誤差。具體的計算步驟如下：

1）利用離心機運轉(zhuǎn)前和運轉(zhuǎn)后的四位置數(shù)據(jù)求取零速率數(shù)據(jù)，即零輸出項。

2）利用近似1g輸入條件下的離心機轉(zhuǎn)速求得被測產(chǎn)品的等效旋轉(zhuǎn)半徑（由于±1g產(chǎn)品的安裝位置會發(fā)生變化，因此需要分別計算）。

3）利用離心機各加速度條件下的轉(zhuǎn)速并疊加科氏加速度求得施加在被測產(chǎn)品在離心機徑向的實際輸入，垂直于徑向輸入的水平輸入為0g，與離心機臺面垂直的輸入為±1g。

4）提取被測產(chǎn)品在±2g、 ±4g、 ±6g、 ±8g、±10g、 ±12g、 ±14g、 ±16g、 ±18g、 ±20g的三軸加速度測量輸出，利用式（2）補償水平失準角引入的誤差，得到修正后的加速度計輸出值。

5）被測產(chǎn)品的測量輸出減去被測產(chǎn)品的實際輸入得到加速度計的輸出誤差。

6）根據(jù)模型和加速度計的輸入、輸出列寫方程組，基于最小二乘法，可以求得模型的系數(shù)。

7）對求解的誤差模型進行模型顯著性分析和模型參數(shù)顯著性分析，檢測模型的可信度以及模型參數(shù)的可信度。當(dāng)模型的顯著性檢驗值小于理論值時，調(diào)整模型，重新進行步驟6；當(dāng)模型的檢驗值大于理論值時，進行模型參數(shù)的顯著性分析，如果其中一些參數(shù)的檢驗值小于設(shè)計值，則去除不顯著項，重復(fù)進行步驟6的求解，直至模型的參數(shù)檢驗值均大于設(shè)計值。

3.3 模型的顯著性分析和模型參數(shù)的顯著性分析

模型方程一般是由多個誤差項組成，如式（5）所示。為了提高模型的可信度，需要對模型方程的顯著性進行判別［9?11］，一般用單個自由度的回歸平方和與單個自由度的回歸誤差平方和之比作為判別模型方程顯著性的依據(jù)。這一比值符合概率統(tǒng)計的F分布規(guī)律，可以用F統(tǒng)計量來檢驗。根據(jù)試驗中取得的數(shù)據(jù)，可以計算出F檢驗值。y是關(guān)于x1，x2，…，xm的多變量函數(shù)，通過模型辨識求得模型的各參數(shù)系數(shù)。假設(shè)y服從F分布，則模型的F分布計算值為

F值為y的系統(tǒng)誤差與y的隨機誤差影響之比，F(xiàn)值越大，模型方程越顯著［12］。如果F值接近1，說明系統(tǒng)誤差和隨機誤差接近，模型方程沒有什么實際意義。式（7）中，為回歸平方和，為誤差平方和，yi為實際的測量值。R2值是指復(fù)相關(guān)系數(shù)μ/S，S＝μ+Q。R2越接近1，說明模型越接近理想情形。

模型方程每一個誤差項對儀表輸出的影響并不相同，有些項對輸出的影響很大，而有些項可以忽略，因此需要根據(jù)隨機誤差比較來判別模型方程中各誤差項是否顯著。對模型方程各系數(shù)的標(biāo)準差可以用t統(tǒng)計量來檢驗其顯著性，t統(tǒng)計值的計算表達式如下

式（8）中，ki為模型的第i個系數(shù)，σi為模型系數(shù)的協(xié)方差。測試中，取數(shù)據(jù)總個數(shù)為n，設(shè)顯著水平為a，查t分布表可得t（n-k-1）值，如果計算的t值大于理論值，則認為該項系數(shù)在顯著水平a時是顯著的。根據(jù)經(jīng)驗，我們?nèi)★@著性水平a＝0.05。

當(dāng)模型顯著性F檢驗值小于理論值時，需要對模型進行優(yōu)化調(diào)整，重新進行分析，直至模型的顯著性大于理論值。當(dāng)模型的顯著性滿足要求時，進行模型參數(shù)的顯著性分析。通過比較模型參數(shù)的t統(tǒng)計值與理論值（查表獲得），去除不顯著的模型項，重新計算模型參數(shù)值，直至模型參數(shù)的t統(tǒng)計值均大于理論值。具體的模型優(yōu)化步驟如下：

1）當(dāng)模型的顯著性小于理論值時，模型調(diào)整的方法是逐項去除參數(shù)顯著性最小的項，每去掉一項，重新計算一次模型系數(shù)，直到模型顯著性分析F分布值大于理論值。

2）然后進行模型參數(shù)的顯著性分析，按照t統(tǒng)計值由小到大逐項去除t統(tǒng)計值小于理論值的誤差項，每去除一項，重新計算一次模型系數(shù)，直到模型參數(shù)顯著性t統(tǒng)計值均大于理論值。

3.4 建模方法的試驗驗證

根據(jù)2.2節(jié)離心機的試驗獲取MEMS IMU三軸加速度計在不同輸入條件下的輸出值，分別提取加速度計x、y、z的輸入和輸出值。通過圖2所示6個位置的離心試驗，得到60個向心加速度輸入下的加速度計輸出值。根據(jù)式（5）得到 MEMS IMU加速度計x的模型參數(shù)，如表1所示。

表1 加速度計x的模型系數(shù)Table 1 Model coefficients of accelerometer?x

模型的顯著性分析F值為139.34，F(xiàn)（10，49）的理論值為2.08。同時，進行模型參數(shù)的顯著性分析，t檢驗值如表2所示，t（60-10-1）的理論值為1.676。由表2可知，除前三項之外，其余項均接近或小于t分布的理論值，因此需要對模型進行優(yōu)化調(diào)整。經(jīng)過多輪調(diào)整，最終得到的模型包含模型參數(shù)模型的顯著性F（5，54）為286.95，理論值為2.37，R2值為0.9637。此時的模型參數(shù)的顯著性分析如表3所示，t（60-5-1）的理論值為1.671。通過表3可以看出，跟ax的一次項、二次項有關(guān)的誤差影響比較顯著，垂直于加速度計x敏感軸跟ay的一次項、二次項有關(guān)的誤差影響次之，而且存在常數(shù)項誤差。最后，得到的模型參數(shù)如表4所示。

表2 模型參數(shù)的顯著性分析（t統(tǒng)計量）Table 2 Significance analysis of model coefficients（t?statistic）

表3 調(diào)整后的模型參數(shù)的顯著性分析（t統(tǒng)計量）Table 3 Significance analysis of model coefficients after adjustment（t?statistic）

表4 調(diào)整后的加速度計x的模型參數(shù)Table 4 Model coefficients of accelerometer?x after adjustment

基于建模得到的模型，對重復(fù)進行離心機試驗得到的數(shù)據(jù)進行模型驗證，結(jié)果如圖4所示。圖4（a）給出了MEMS IMU加速度計x在圖2的6個位置向心加速度輸入為±2g、±4g、±6g、±8g、±10g、 ±12g、 ±14g、 ±16g、 ±18g、 ±20g時的輸出并取均值，共得到60個數(shù)據(jù)點。

由圖 4（b）可知，當(dāng) MEMS IMU的X軸有-20g～-2g輸入時，加速度計x的輸出產(chǎn)生負相關(guān)的誤差；當(dāng)MEMS IMU的Y軸、Z軸有2g～20g輸入時，加速度計x的輸出產(chǎn)生一定比例的正相關(guān)誤差。通過誤差建模補償，可以有效抑制輸出誤差。加速度計x補償前的誤差均方根值為0.6243m/s2，補償后的誤差均方根值為0.1074m/s2，誤差降幅為82.8%。

圖4 加速度計x的誤差補償Fig.4 Error compensation of accelerometer?x

對加速度計y和加速度計z進行誤差建模、模型優(yōu)化后，得到其模型系數(shù)和模型參數(shù)顯著性統(tǒng)計值，如表5、表6所示。F檢驗值均大于理論值，說明模型是顯著的、可信的。R2越接近于1，說明建立的模型越接近理想模型。加速度計y的誤差模型R2值大于加速度計z的R2，更接近于1，因此加速度計y的誤差更接近理想模型。由表6可知，加速度計的模型參數(shù)均大于理論值t（55）＝1.671。

表5 加速度計y和加速度計z的模型顯著性分析Table 5 Model significance analysis of accelerometer?y and accelerometer?z

表6 加速度計y和加速度計z的模型參數(shù)顯著性分析Table 6 Model coefficients significance analysis of accelerometer?y and accelerometer?z

同樣，對重復(fù)進行離心機試驗得到的數(shù)據(jù)進行模型驗證，結(jié)果如圖5、圖6所示。

圖5 加速度計y的誤差補償Fig.5 Error compensation of accelerometer?y

圖6 加速度計z的誤差補償Fig.6 Error compensation of accelerometer?z

由圖5可知，在加速度計y輸入為-20g～20g時，加速度計的輸出誤差與輸入呈現(xiàn)一定的正相關(guān)關(guān)系；在MEMS IMU的X軸輸入從-20g～-2g變化時，加速度計y有負相關(guān)的誤差產(chǎn)生。通過誤差建模，輸出誤差的均方根值由0.5242m/s2降為0.0709m/s2，降幅達到86.47%。由圖6可知，在加速度計z輸入從-20g～20g變化時，輸出誤差呈現(xiàn)振蕩遞增變化；在MEMS IMU的X軸、Y軸輸入從-20g～-2g變化時，加速度計z均有負相關(guān)的誤差產(chǎn)生。經(jīng)過誤差補償后，輸出誤差在不同程度上得到了有效抑制，輸出誤差的均方根值由0.1803m/s2降為0.0620m/s2，降幅達到65.61%。

由圖4～圖6可知，在敏感軸存在大加速度輸入時，產(chǎn)生的誤差也比較明顯，經(jīng)過補償后的誤差峰值得到大幅度削減。MEMS IMU加速度計x、y、z的誤差補償前后的最大值如表7所示（表中的統(tǒng)計值先取誤差的絕對值，然后取其中的最大值）。由表7可知，誤差補償后，加速度計x、y、z的誤差最大值分別降為原來的15.24%、13.44%、36.75%。

表7 補償前后加速度計的誤差最大值Table 7 Maximum error of accelerometers before and after compensation

通過以上分析可知，MEMS IMU三軸加速度計的輸出誤差不僅與敏感軸的輸入有關(guān)，與垂直于敏感軸的輸入也有一定的相關(guān)性。其原因在于，垂直于敏感軸的輸入會導(dǎo)致梳齒電容對的基板有效面積或距離變化，導(dǎo)致檢測輸出的變化。

4 結(jié)論

隨著小型化制導(dǎo)彈藥精確打擊、編隊飛行、協(xié)同作業(yè)的需求發(fā)展，作為核心導(dǎo)航工作部件的MEMS IMU亟待提升其在高速機動工作環(huán)境下的精度水平。因此，開展MEMS IMU加速度計在高加速度條件下的誤差建模與補償技術(shù)研究具有重要的意義。本文給出了一種高g條件下的MEMS IMU三軸加速度計誤差建模與補償方法，分析了單軸盤式離心機試驗引入的誤差源及其補償修正方法，設(shè)計了三軸加速度計的建模試驗流程，基于最小二乘法完成了模型參數(shù)辨識，通過顯著性分析實現(xiàn)了模型優(yōu)化。由模型分析和驗證可知：1）在高g條件下，MEMS IMU加速度計的誤差跟輸入加速度的一次項、二次項有關(guān)；2）誤差主要受敏感軸加速度輸入的影響，交叉軸的加速度輸入影響次之；3）基于離心機試驗，可以實現(xiàn)高g條件下的加速度誤差建模；4）通過誤差補償，可以實現(xiàn)加速度計誤差的有效抑制。