劉鳳麗

(黑龍江大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院, 哈爾濱 150080)

0 引 言

迄今為止，人們已經(jīng)觀測(cè)得到的白矮星有1 000多顆，借助于光譜分析，其中有600多顆被劃分為磁化了的白矮星。由于對(duì)磁場(chǎng)中原子的理論研究數(shù)據(jù)的匱乏，只有40%左右的白矮星的磁場(chǎng)被確定下來。白矮星或中子星的磁場(chǎng)或電場(chǎng)的確定對(duì)于研究星體的演化十分重要，磁場(chǎng)或電場(chǎng)的大小需要通過研究分析星體的光譜確定，而不同磁場(chǎng)下的不同原子態(tài)的原子結(jié)構(gòu)的理論研究數(shù)據(jù)對(duì)于研究星體光譜非常必要。除了天體應(yīng)用的需要，強(qiáng)磁場(chǎng)中原子的研究也是基礎(chǔ)物理研究的興趣所在。事實(shí)上，磁化的白矮星給物理學(xué)家提供了一個(gè)天體實(shí)驗(yàn)室，用來檢驗(yàn)物理學(xué)家提出的研究磁場(chǎng)中原子的動(dòng)力學(xué)理論和數(shù)值計(jì)算方法的正確性。

1970年，Kemp等首次確定出白矮星GRW+70.8247中存在被磁化的星體[1]，人們對(duì)磁化的白矮星的研究產(chǎn)生了濃厚的興趣，更引起一批物理學(xué)家關(guān)注磁場(chǎng)中原子結(jié)構(gòu)的研究。1977年，Garstang研究了在白矮星強(qiáng)磁場(chǎng)范圍的H原子、He原子以及堿金屬原子的塞曼效應(yīng)[2]。2015年，F(xiàn)errario等通過光譜研究確定了單體和雙體白矮星的磁場(chǎng)大小[3]。在過去的幾十年，盡管人們作了很多的努力來研究磁場(chǎng)中的原子，然而所用理論和計(jì)算能力仍然滿足不了對(duì)天體光譜的模擬研究，尤其對(duì)處在白矮星的強(qiáng)磁場(chǎng)數(shù)量級(jí)中復(fù)雜原子結(jié)構(gòu)的研究更為困難。近幾年，隨著人們的不斷努力，從理論上的修正、數(shù)值計(jì)算方法和計(jì)算機(jī)性能的提高對(duì)強(qiáng)磁場(chǎng)中的原子結(jié)構(gòu)研究取得了一定的進(jìn)展。人們對(duì)強(qiáng)磁場(chǎng)中H原子結(jié)構(gòu)和光譜的研究比較成熟。1984年，R?sner等在建立了多組態(tài)混雜的Hartree-Fock方法計(jì)算了在白矮星和中子星磁場(chǎng)范圍的H原子的結(jié)構(gòu)，給出了31種基態(tài)和低激發(fā)態(tài)的能級(jí)、不同線系的波長(zhǎng)、偶極強(qiáng)度、振子強(qiáng)度和躍遷速率等信息[4-5]。接下來幾年，Baye等幾個(gè)課題組通過建立不同的理論方法解決了強(qiáng)磁場(chǎng)中H原子的基態(tài)和低激發(fā)態(tài)的能級(jí)問題[6-8]，但卻發(fā)現(xiàn)不能同時(shí)解決H原子的高激發(fā)態(tài)的結(jié)構(gòu)問題。近幾年，Wunner[9]和Zhao[10-11]等發(fā)展了二維有限元方法解決了這個(gè)問題，給出大量的H原子態(tài)的能級(jí)，計(jì)算了這些態(tài)之間的躍遷光譜數(shù)據(jù)。

與H原子不同，對(duì)于強(qiáng)磁場(chǎng)中多電子原子的結(jié)構(gòu)和光譜很少見報(bào)，主要原因是很難處理電子關(guān)聯(lián)問題。1999年，Becken 等研究了強(qiáng)磁場(chǎng)中的He原子，該項(xiàng)研究被視為處理電子關(guān)聯(lián)問題的里程碑[12]。之后，Guan等課題組給出幾篇關(guān)于磁場(chǎng)中的Li原子的研究報(bào)告，處理了Li原子中電子關(guān)聯(lián)問題[13]。本課題組在前人的理論基礎(chǔ)之上，對(duì)Li原子采用模型勢(shì)，改進(jìn)了技術(shù)手段，使得新的理論和計(jì)算方法不僅適用于基態(tài)和低能級(jí)的Li原子結(jié)構(gòu)，還適用于高激發(fā)態(tài)的能級(jí)計(jì)算，同時(shí)大大減少了計(jì)算機(jī)時(shí)并提高了計(jì)算精度，提供了在白矮星磁場(chǎng)范圍的5種原子態(tài)ν20+，ν20-，ν2(-1)+，ν2(-1)-和 ν2(-2)+(ν = 1-10，ν代表原子態(tài)的序列號(hào))的能級(jí)以及高能級(jí)向低能級(jí)躍遷的光譜數(shù)據(jù)[14-15]。在前期工作基礎(chǔ)上，在柱坐標(biāo)系下，本研究利用二維B-spline方法，進(jìn)一步研究強(qiáng)磁場(chǎng)中的Li原子更高激發(fā)態(tài)1320-和132(-2)+的結(jié)構(gòu)、幾率密度隨磁場(chǎng)的變化規(guī)律，該研究結(jié)果有助于進(jìn)一步理解原子中電子的運(yùn)動(dòng)行為。

1 計(jì)算方法

(1)

式中：ρ、φ和z是柱坐標(biāo)系的三個(gè)坐標(biāo)變量；V(ρ,z)是McMillan給出的模型勢(shì)，具體形式如下：

(2)

由邊界條件可知：

(3)

體系的哈密頓算符的本征波函數(shù)以二維B樣條Bi,k為基函數(shù)[15]，則波函數(shù)的表達(dá)式為：

(4)

式中k為Bi,k的次序，由于本文k不會(huì)引起B(yǎng)樣條的混淆，因此，本文省略下角標(biāo)k。將式(4)代入定態(tài)薛定諤方程中，即被式(1)作用，得到以下矩陣方程：

HC=ENC

(5)

式中：H為哈密頓算符的矩陣表示；E為L(zhǎng)i原子的能量；N為重疊矩陣。哈密頓算符的矩陣元表示為：

(6)

由于B樣條基函數(shù)不歸一化，所以存在重疊積分N：

(7)

將式(6)、式(7)代入式(5)，于是求解矩陣方程式(5)，即可得到Li原子的能級(jí)和對(duì)應(yīng)的波函數(shù)。

2 計(jì)算結(jié)果與討論

表1 不同磁感應(yīng)強(qiáng)度下Li 原子的三個(gè)原子態(tài)13 20-、13 2(-2)+ 和 2 2(-2)+的能級(jí)

當(dāng)磁場(chǎng)為零時(shí)，1320-、132(-2)+和 22(-2)+分別對(duì)應(yīng)Li原子的1s29p2P、1s29d2D和1s24d2D原子態(tài)，對(duì)磁量子數(shù)m是簡(jiǎn)并的，因此，表1給出的是在無磁場(chǎng)時(shí)的三個(gè)能級(jí)1s29p2P、1s29d2D和1s24d2D在強(qiáng)磁場(chǎng)中發(fā)生塞曼效應(yīng)對(duì)應(yīng)的1s29p2P0、1s29d2D-2和1s24d2D-2三個(gè)能級(jí)隨磁感應(yīng)強(qiáng)度的變化情況。從表1可以看出，零場(chǎng)時(shí)此三個(gè)能級(jí)與NIST 數(shù)據(jù)庫給出的實(shí)驗(yàn)值十分吻合，例如計(jì)算得到的1s24d2D態(tài)的能級(jí)為-3.126 0(-2)a.u.，實(shí)驗(yàn)值為-3.127 3(-2)a.u.；計(jì)算得到的1s29p2P態(tài)的能級(jí)為-7.909 8(-3)a.u.，實(shí)驗(yàn)值為-7.9074(-3)a.u.；計(jì)算得到的1s29d2D態(tài)的能級(jí)為-6.174 0(-3)a.u.,實(shí)驗(yàn)值為-6.177 5(-3)a.u.。因此可認(rèn)為本文給出的研究強(qiáng)磁場(chǎng)中的Li原子的計(jì)算方法和計(jì)算結(jié)果為可信賴的。

圖1給出了1320-、132(-2)+和 22(-2)+的電離能，電離能等于能級(jí)的負(fù)值。從圖1可以看出，低激發(fā)態(tài)22(-2)+的電離能隨磁場(chǎng)增大而增大，即能級(jí)隨磁場(chǎng)增加而減??；高激發(fā)態(tài)1320-和132(-2)+對(duì)應(yīng)無磁場(chǎng)情況下的1s29p2P0、1s29d2D-2電子態(tài)，其電離能隨磁場(chǎng)增加而減小，即能級(jí)隨磁場(chǎng)增加而升高，而且當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度小于約0.02 a.u.時(shí),激發(fā)態(tài)1320-的電離能高于132(-2)+能級(jí)，即激發(fā)態(tài)1320-的能級(jí)低于132(-2)+的能級(jí)，當(dāng)磁場(chǎng)增加到超過0.02 a.u.時(shí),1320-的電離能低于132(-2)+的電離能，即出現(xiàn)能級(jí)反轉(zhuǎn)現(xiàn)象，表明1320-的能級(jí)高于132(-2)+的能級(jí)。

圖1 Li 原子的三個(gè)原子態(tài)13 20-、13 2(-2)+ 和 2 2(-2)+的電離能隨磁感應(yīng)強(qiáng)度的變化

圖2 Li原子的價(jià)電子的 2 2(-2)+態(tài)的幾率密度隨磁感應(yīng)強(qiáng)度的變化，磁感應(yīng)強(qiáng)度γ分別為0、0.000 1、0.001、0.01、0.1 和 1 a.u.

圖3 Li原子的價(jià)電子的13 20-態(tài)的幾率密度隨磁感應(yīng)強(qiáng)度的變化，磁感應(yīng)強(qiáng)度γ分別為0、0.000 1、0.001、0.01、0.1 和 1 a.u.

圖4 Li原子的價(jià)電子的13 2(-2)+態(tài)的幾率密度隨磁感應(yīng)強(qiáng)度的變化，磁感應(yīng)強(qiáng)度γ分別為0、0.000 1、0.001、0.01、0.1 和 1 a.u

3 結(jié) 論

本文假設(shè)原子核的質(zhì)量為無窮大，忽略相對(duì)論效應(yīng)，應(yīng)用改進(jìn)后的二維B-spline理論和計(jì)算方法，對(duì)Li原子采用模型勢(shì)，建立柱坐標(biāo)系，選定磁感應(yīng)強(qiáng)度分別為0.000 1、0.001、0.01、0.1和 1 a.u.，計(jì)算了處在磁場(chǎng)中的Li原子激發(fā)態(tài)22(-2)+、1320-和132(-2)+的能級(jí)和幾率密度空間分布。而這些磁場(chǎng)中的激發(fā)態(tài)分別對(duì)應(yīng)無磁場(chǎng)中的Li原子的1s29p2P、1s29d2D和1s24d2D原子態(tài)，在磁場(chǎng)中發(fā)生塞曼效應(yīng)后對(duì)應(yīng)的是1s29p2P0、1s29d2D-2和1s24d2D-2激發(fā)態(tài)。

所提出的理論和計(jì)算方法不僅適用于求解強(qiáng)磁場(chǎng)中Li原子的基態(tài)和低激發(fā)態(tài)的能級(jí)也適用于研究高激發(fā)態(tài)的能級(jí)問題。鑒于本文首次計(jì)算Li原子在磁場(chǎng)中高激發(fā)態(tài)1320-和132(-2)+的能級(jí)，沒有其他數(shù)據(jù)可對(duì)比，為了驗(yàn)證計(jì)算結(jié)果的正確性，計(jì)算了該兩個(gè)態(tài)在零磁場(chǎng)的能級(jí)并與NIST實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比，結(jié)果顯示兩組數(shù)據(jù)十分吻合。零場(chǎng)的低激發(fā)態(tài)1s24d2D-2在有磁場(chǎng)時(shí)記為22(-2)+，其能級(jí)隨磁場(chǎng)增加而降低；高激發(fā)態(tài)1320-和132(-2)+的能級(jí)隨磁場(chǎng)增加而升高，而且在磁場(chǎng)強(qiáng)度很小時(shí)，1320-的能級(jí)低于132(-2)+能級(jí)，當(dāng)磁場(chǎng)增加到超過0.02 a.u.時(shí)出現(xiàn)能級(jí)反轉(zhuǎn)，激發(fā)態(tài)1320-的能級(jí)高于132(-2)+的能級(jí)。對(duì)于低激發(fā)態(tài)22(-2)+在磁感應(yīng)強(qiáng)度很小時(shí)對(duì)幾率密度影響不大，當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度大到一定程度，即本文選定的磁感應(yīng)強(qiáng)度為0.01 a.u.時(shí)開始延ρ和z方向都有一定的壓縮；對(duì)于高激發(fā)態(tài)1320-及132(-2)+的幾率密度分布隨磁感應(yīng)強(qiáng)度的增加改變十分明顯，幾率密度分布在ρ方向得到壓縮，z方向被擴(kuò)張，幾率密度分布延ρ方向向著z軸被壓扁。這種變化主要由于隨著磁感應(yīng)強(qiáng)度的增加庫侖力和抗磁性都起主要作用，從而引起了幾率密度分布明顯改變。本文的研究結(jié)果可為復(fù)雜原子在強(qiáng)磁場(chǎng)中的動(dòng)力學(xué)研究提供一定的理論基礎(chǔ)，在計(jì)算方法上具有一定的指導(dǎo)價(jià)值。