孫藏安 任哲毅 連 豪 張苡寧

(西安電子工程研究所 西安 710100)

0 引言

三坐標(biāo)雷達(dá)(3D雷達(dá))是指能同時(shí)測(cè)量目標(biāo)距離、方位和仰角或高度的雷達(dá)，它在各種戰(zhàn)術(shù)雷達(dá)中占有很大比例，廣泛用于空中監(jiān)視、警戒與引導(dǎo)；多數(shù)防空雷達(dá)、火控雷達(dá)與導(dǎo)彈制導(dǎo)雷達(dá)均為3D雷達(dá)[1]。與傳統(tǒng)雷達(dá)相比，三坐標(biāo)雷達(dá)具有更廣泛的目標(biāo)探測(cè)范圍和更好的目標(biāo)識(shí)別能力，有搜索范圍大、反應(yīng)時(shí)間短、數(shù)據(jù)率高等特點(diǎn)[2]。目前的3D雷達(dá)主要使用相控陣天線，在方位維和俯仰維均采用電掃陣列天線的二維電掃雷達(dá)可更加充分發(fā)揮相控陣?yán)走_(dá)的優(yōu)點(diǎn)，由于其掃描靈活，其掃描范圍就尤為重要。

根據(jù)定義不同，不同雷達(dá)系統(tǒng)所采用的坐標(biāo)系又可分為NED(東北地)坐標(biāo)系、載體坐標(biāo)系、雷達(dá)天線坐標(biāo)系、目標(biāo)視線坐標(biāo)系等[4]，對(duì)于相掃天線系統(tǒng)，描述掃描范圍通常用天線陣面坐標(biāo)系。由于坐標(biāo)系不同，因此產(chǎn)生了對(duì)于同一個(gè)相掃系統(tǒng)有不同的掃描范圍的問題[3]。所謂坐標(biāo)變換即已知兩個(gè)坐標(biāo)系，根據(jù)兩坐標(biāo)系之間的位置關(guān)系，把同一目標(biāo)的空間位置在不同的空間坐標(biāo)系中表示，從而方便地進(jìn)行整個(gè)雷達(dá)系統(tǒng)的目標(biāo)測(cè)量和數(shù)據(jù)處理。任何系統(tǒng)的坐標(biāo)變換都可以通過平移變換和旋轉(zhuǎn)的組合來實(shí)現(xiàn)。坐標(biāo)變換的方法可參照文獻(xiàn)[5-7]。

本文主要對(duì)二維電掃雷達(dá)系統(tǒng)天線陣面傾斜時(shí)對(duì)雷達(dá)坐標(biāo)系和天線坐標(biāo)系掃描范圍的影響進(jìn)行了分析，通過將兩個(gè)坐標(biāo)系進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換，推導(dǎo)出目標(biāo)在兩坐標(biāo)系中的對(duì)應(yīng)關(guān)系，并通過公式計(jì)算出天線傾斜時(shí)兩坐標(biāo)系掃描范圍的非線性變化量，可為雷達(dá)天線掃描范圍的設(shè)計(jì)提供一定的理論依據(jù)。

1 雷達(dá)坐標(biāo)系與天線坐標(biāo)系

1.1 雷達(dá)系統(tǒng)坐標(biāo)系

雷達(dá)一般放置在載機(jī)上或架設(shè)在地面上，載機(jī)或地面都可以被看做一種載體。雷達(dá)坐標(biāo)系實(shí)際是一種載體坐標(biāo)系，主要用于了解以雷達(dá)為中心的其它物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。該坐標(biāo)系以雷達(dá)天線的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，Z軸為載體平面的鉛垂線，指向空中，X軸指向天線陣面正對(duì)方向且與雷達(dá)載體平面平行，Y軸由右手螺旋定律確定，如圖1所示。

在雷達(dá)坐標(biāo)系中，雷達(dá)波束OP的方位角α為其在XOY平面的投影與X軸的夾角，俯仰角β為其與XOY平面的投影的夾角，如圖2所示。

圖2 雷達(dá)系統(tǒng)坐標(biāo)系

我們把P在雷達(dá)極坐標(biāo)系中目標(biāo)位置記為(r,α,β)，在直角坐標(biāo)系中位置記為(x,y,z)，雷達(dá)坐標(biāo)系統(tǒng)中極坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系為

(1)

直角坐標(biāo)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)化關(guān)系為

(2)

其中atan2(y,x)為四象限反正切函數(shù)，返回原點(diǎn)到(x,y)的方位角大小，asin為反正弦函數(shù)，單位均為弧度。

1.2 天線系統(tǒng)坐標(biāo)系

雷達(dá)天線坐標(biāo)系的原點(diǎn)O也在雷達(dá)天線的中心，二維相掃雷達(dá)在運(yùn)行過程中天線陣面會(huì)以一定的俯仰角對(duì)目標(biāo)進(jìn)行探測(cè)，定義雷達(dá)天線陣面法線與載體平面的夾角為天線俯仰角θ，Z′軸指向天線陣面的法線方向，將同時(shí)平行于天線平面和載體平面且指向天線陣面正對(duì)方向左手邊方向的坐標(biāo)軸定義為X′ 軸，Y′軸與X′軸、Z′軸構(gòu)成右手關(guān)系，仰角為θ天線坐標(biāo)系如圖3所示。

觀察圖3天線坐標(biāo)系可以看出，天線坐標(biāo)系的X′OZ′平面與天線陣面互相垂直，而天線發(fā)射波束時(shí)俯仰角一般是相對(duì)于天線陣面垂直的方向角度，即相對(duì)于X′OZ′平面的夾角，又因?yàn)閆′軸垂直指向陣面正前方，所以，定義天線波束與X′OZ′平面的夾角為天線坐標(biāo)系的俯仰角β′，定義波束在X′OZ′平面的投影與Z′軸的夾角為天線坐標(biāo)系的方位角α′。

天線坐標(biāo)系統(tǒng)中極坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系為

(3)

直角坐標(biāo)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)化關(guān)系為公式(4)。

(4)

2 雷達(dá)坐標(biāo)系與天線坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)關(guān)系

2.1 雷達(dá)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換為天線坐標(biāo)系

由前面雷達(dá)坐標(biāo)系和天線坐標(biāo)系的描述，可得出兩種坐標(biāo)系的關(guān)系如圖4所示，其中O-XYZ為雷達(dá)坐標(biāo)系，O-X′Y′Z′為天線坐標(biāo)系。

圖4 雷達(dá)坐標(biāo)系和天線坐標(biāo)系

在歐幾里得空間中，有三種基本的旋轉(zhuǎn)，分別為圍繞X、Y和Z軸旋轉(zhuǎn)。每個(gè)旋轉(zhuǎn)指定一個(gè)旋轉(zhuǎn)角度，并規(guī)定觀察者正對(duì)旋轉(zhuǎn)軸(旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)軸到原點(diǎn)方向)逆時(shí)針方向?yàn)檎?/p>

當(dāng)雷達(dá)天線的仰角為θ時(shí)，天線坐標(biāo)系可由雷達(dá)坐標(biāo)系通過如下方式旋轉(zhuǎn)得到：先將雷達(dá)坐標(biāo)系繞Z軸旋轉(zhuǎn)90°，再繞雷達(dá)坐標(biāo)系的Y軸旋轉(zhuǎn)90°-θ(或先繞X軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，再繞Z軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，最后繞Y軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ)，旋轉(zhuǎn)后坐標(biāo)軸對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矩陣為

(5)

由坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)關(guān)系，坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)后，新坐標(biāo)[x′,y′,z′]′和舊坐標(biāo)[x,y,z]′之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系為

(6)

所以可得

(7)

將式(1)代入式(7)可得其在天線系統(tǒng)中的坐標(biāo)為

(8)

由上述定義和公式(4)天線直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，可得天線坐標(biāo)系的方位角為

α′=atan2(x′,z′)
=atan2(cosβsinα,cosβcosαcosθ+sinβsinθ)

(9)

俯仰角為

(10)

2.2 天線坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)系

同樣，當(dāng)天線仰角為θ時(shí)，雷達(dá)坐標(biāo)系可由雷達(dá)坐標(biāo)系通過如下方式旋轉(zhuǎn)得到：先將天線坐標(biāo)系繞Z′軸順時(shí)針繞90°，再繞天線坐標(biāo)系X′軸旋轉(zhuǎn)θ-90°，旋轉(zhuǎn)后坐標(biāo)軸對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矩陣為

(11)

由坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)關(guān)系，坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)后，新坐標(biāo)[x,y,z]′和舊坐標(biāo)[x′,y′,z′]′之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系為

(12)

所以可得

(13)

將式(3)代入式(11)可得

(14)

由上述定義和公式(2)雷達(dá)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，可得雷達(dá)坐標(biāo)系的方位角為

α=atan2(y,x)
=atan2(cosβ′sinα′,-sinβ′sinθ+cosβ′cosα′cosθ)

(15)

俯仰角為

(16)

3 天線傾斜對(duì)二維相掃雷達(dá)探測(cè)范圍的影響

假設(shè)雷達(dá)最大探測(cè)距離為15km，雷達(dá)天線在雷達(dá)系統(tǒng)的掃描范圍為-10°～10°，方位掃描范圍是-30°～30°。當(dāng)雷達(dá)天線陣面垂直載體平面放置時(shí)，即θ=0°，如圖5(a)所示，此時(shí)天線零指向與雷達(dá)零指向重合，由公式(9)可得天線方位角α′=atan2(cosβsinα,cosβcosα)=α，由公式(10)可得天線俯仰角β′=asin(sinβ)=β，即兩坐標(biāo)系下方位角與俯仰角重合，所以波束在天線坐標(biāo)系的掃描范圍為：俯仰-10°～10°，方位-30°～30°。

由相控陣?yán)走_(dá)行波陣陣列的特性可知，位于零指向附近的頻點(diǎn)駐波較大，有較大的功率損耗，有時(shí)甚至不能滿足使用需求。為了消除駐波的影響，同時(shí)滿足雷達(dá)系統(tǒng)俯仰-10°～10°的掃描范圍，可將雷達(dá)天線仰角向下傾斜12°的仰角，同時(shí)設(shè)計(jì)天線線陣俯仰維的掃描角度范圍為2°～22°，天線傾斜后的示意圖如圖5(b)所示，此時(shí)，天線坐標(biāo)系的俯仰角范圍與雷達(dá)系統(tǒng)俯仰角范圍的對(duì)應(yīng)關(guān)系為表1所示。

但實(shí)際上，兩坐標(biāo)系對(duì)應(yīng)俯仰角并不完全重合。比如，當(dāng)天線仰角為12°時(shí)掃描的平面并不與雷達(dá)系統(tǒng)零指向所在平面完全重合，因?yàn)楫?dāng)天線垂直放置時(shí)天線零指向與雷達(dá)系統(tǒng)零指向重合，且掃描面為一平面，而當(dāng)天線系統(tǒng)俯仰角為12°時(shí)對(duì)應(yīng)的掃描面為一圓錐面，兩平面的關(guān)系如圖6所示，天線向下傾斜12°，天線系統(tǒng)俯仰掃描范圍為2°～22°時(shí)，其在雷達(dá)系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的方位掃描范圍和俯仰掃描范圍可由公式(15)和公式(16)求得，R=15km時(shí)，方位角和俯仰角在兩坐標(biāo)系中的掃描范圍如圖7所示。

由圖7(b)可看出天線波束由零指向向±30°掃描過程中兩坐標(biāo)系掃描范圍偏差逐漸增大。如圖8所示方位0～-30°時(shí)兩坐標(biāo)系不同俯仰層對(duì)應(yīng)的掃描范圍，可明顯看出兩坐標(biāo)系掃描范圍的不同。

圖8 兩坐標(biāo)系統(tǒng)方位0～-30°時(shí)掃描范圍

上述天線傾斜時(shí)，由天線系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為雷達(dá)系統(tǒng)不同俯仰層的俯仰角和方位角的變化關(guān)系如圖8所示。

圖9 天線傾斜時(shí)天線系統(tǒng)在雷達(dá)系統(tǒng)掃描范圍(弧線)

可見方位由零指向向兩邊增大時(shí)，天線系統(tǒng)轉(zhuǎn)化到雷達(dá)系統(tǒng)坐標(biāo)的俯仰層角度稍高于雷達(dá)系統(tǒng)對(duì)應(yīng)俯仰層角度。天線系統(tǒng)轉(zhuǎn)化到雷達(dá)系統(tǒng)的方位掃描范圍在較低的俯仰層時(shí)，方位掃描范圍稍大于雷達(dá)系統(tǒng)，其后的俯仰層的方位掃描范圍均小于雷達(dá)系統(tǒng)方位掃描范圍，如表 2所示，雷達(dá)系統(tǒng)方位角為-30°時(shí)，天線系統(tǒng)方位角在俯仰角-10°～-7°的范圍為-30.34°～-30.02°，略大于雷達(dá)系統(tǒng)方位角掃描范圍，當(dāng)雷達(dá)系統(tǒng)俯仰角-6°～10°時(shí)，天線系統(tǒng)方位掃描范圍-29.91°～-28.23°，略小于雷達(dá)系統(tǒng)方位角掃描范圍，并隨著俯仰角的增加，方位掃描范圍逐漸減小，此時(shí)以無法達(dá)到雷達(dá)系統(tǒng)要求方位的±30°的掃描范圍。同時(shí)由表 2也可以看出，天線系統(tǒng)轉(zhuǎn)化到雷達(dá)系統(tǒng)的俯仰角均高于對(duì)應(yīng)雷達(dá)系統(tǒng)的俯仰角，即此時(shí)無法達(dá)到雷達(dá)系統(tǒng)要求的最小俯仰探測(cè)范圍，但略高于雷達(dá)系統(tǒng)要求的最大探測(cè)范圍。

表2 兩坐標(biāo)系統(tǒng)方位邊界處角度掃描范圍

由上述分析可知，當(dāng)天線與載體平面之間存在一定的傾斜角時(shí)，兩坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換并不是如表 1中所示線性變換關(guān)系，而是一種非線性變換關(guān)系，雷達(dá)坐標(biāo)系向天線坐標(biāo)系的變換關(guān)系由式(9)和式(10)求得，天線坐標(biāo)系向雷達(dá)坐標(biāo)系之間的變換關(guān)系由式(15)和式(16)求得。當(dāng)天線陣面向下傾斜12°時(shí)，若仍要實(shí)現(xiàn)雷達(dá)系統(tǒng)方位角-30°～30°，俯仰角-10°～10°的掃描范圍，可以用式(9)和式(10)求出天線系統(tǒng)的掃描范圍，計(jì)算結(jié)果如圖10所示。

圖10 天線系統(tǒng)角度掃描范圍

由圖10可以粗略看出，當(dāng)天線俯仰角大于7°時(shí)，若仍要求雷達(dá)系統(tǒng)掃描范圍達(dá)到±30°，則天線系統(tǒng)的方位掃描范圍應(yīng)略大于±30°，當(dāng)俯仰角達(dá)到最大22°時(shí)對(duì)應(yīng)所需的最大方位角±31.68°，具體對(duì)應(yīng)關(guān)系可由公式求出。

4 結(jié)束語

本文對(duì)天線傾斜對(duì)二維相掃雷達(dá)掃描范圍的影響進(jìn)行了分析，利用公式推導(dǎo)得出天線傾斜時(shí)天線坐標(biāo)系統(tǒng)和雷達(dá)坐標(biāo)系統(tǒng)之間的非線性轉(zhuǎn)化關(guān)系，可為雷達(dá)天線設(shè)計(jì)提供一定的理論依據(jù)。