徐保慶 剡熠琛 同 非 任哲毅

(西安電子工程研究所 西安 710100)

0 引言

多輸入多輸出(Multiple-input multiple-output, MIMO)技術(shù)最早的概念出現(xiàn)在通信領(lǐng)域中[1]，近年來開始在雷達(dá)中進(jìn)行應(yīng)用。作為一種新興體制的雷達(dá)，MIMO雷達(dá)本身有許多潛在的優(yōu)勢(shì)，尤其是在提高測量精度和分辨力[2]、抗干擾[3]以及雜波抑制[4]等方面。MIMO雷達(dá)處理維數(shù)高，從單基地MIMO雷達(dá)的角度來講，虛擬孔徑的拓展能夠有效提高目標(biāo)的空間角度分辨率，提高雷達(dá)抑制雜波的能力。另一方面，雷達(dá)有抗干擾的需求，多個(gè)發(fā)射波形能夠有效增加波形被截獲的難度。結(jié)合MIMO與雙基地雷達(dá)的技術(shù)優(yōu)勢(shì)，可以形成一種新體制的雙基地MIMO雷達(dá)。作為一種新體制雷達(dá)，雙基地MIMO雷達(dá)已經(jīng)成為雷達(dá)技術(shù)發(fā)展的一個(gè)新的契機(jī)[5-7]。雙基地MIMO雷達(dá)利用發(fā)射和接收陣列信號(hào)具有的方向相關(guān)性，可實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)波離方向(Directional of departure, DOD)和波達(dá)方向(Directional of arrival, DOA)的有效估計(jì)，由于結(jié)合了雙基地雷達(dá)和MIMO技術(shù)的優(yōu)勢(shì)，具有極大的發(fā)展?jié)摿Α?/p>

經(jīng)典的Capon算法[8]、MUSIC算法和ESPRIT算法[9-10]是相控陣測角算法在雙基地MIMO雷達(dá)體制下的延伸。子空間類算法需要對(duì)接收信號(hào)的自相關(guān)矩陣進(jìn)行特征分解求得信號(hào)子空間或者噪聲子空間。該類算法由于需要對(duì)子空間進(jìn)行估計(jì)，因此會(huì)受到低信噪比或者低快拍的制約而出現(xiàn)較大的性能損失。另外，由于子空間類算法需要對(duì)矩陣進(jìn)行特征分解，尤其是MUSIC算法需要進(jìn)行兩維的角度搜索，計(jì)算量往往很大，給雷達(dá)系統(tǒng)的實(shí)時(shí)處理造成很大的壓力。在文獻(xiàn)[11]中，G. Zheng等人將酉ESPRIT算法應(yīng)用到雙基地MIMO雷達(dá)中去。由于在實(shí)值轉(zhuǎn)化的過程中應(yīng)用了前后平滑技術(shù)[12]，所以該算法在兩個(gè)相干目標(biāo)的情況下依然可以保持良好的測角性能。在文獻(xiàn)[13]、文獻(xiàn)[14]中，G. Xu和M.D. Zoltowski將空域?yàn)V波技術(shù)應(yīng)用于相控陣?yán)走_(dá)目標(biāo)角度估計(jì)。常用的空域?yàn)V波器由離散傅里葉變換(Discrete Fourier Transform, DFT)矩陣生成，在實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)維度降低同時(shí)可以提高目標(biāo)的信噪比，空域?yàn)V波算法要求目標(biāo)的大體空間位置已知。M.D. Zoltowski等人在文獻(xiàn)[15]中又將酉ESPRIT算法拓展到了矩形陣列用于二維角度估計(jì)。文獻(xiàn)[16]采用Bayes稀疏表示方法對(duì)雙基地MIMO雷達(dá)多目標(biāo)角度進(jìn)行估計(jì)，這是CS技術(shù)在雙基地MIMO雷達(dá)角度估計(jì)領(lǐng)域中的又一經(jīng)典應(yīng)用。上述算法都是基于矩陣信號(hào)模型，本身并沒有利用雙基地MIMO雷達(dá)接收信號(hào)的多維信息，測角精度存在一定的損失。

為了解決這個(gè)問題，D. Nion在文獻(xiàn)[17]中首次提出平行因子(Parallel factor, PARAFAC)算法用于雙基地MIMO雷達(dá)目標(biāo)DOD和DOA估計(jì)。在該文獻(xiàn)中，D. Nion首先給出雙基地MIMO雷達(dá)的接收信號(hào)的PARAFAC張量模型，然后對(duì)其分解的唯一性條件進(jìn)行討論。在分解唯一性條件滿足的情況下，各個(gè)目標(biāo)的DOD和DOA信息就可以被單獨(dú)提取出來，無需角度配對(duì)。常用的PARAFAC張量分解算法是交替最小二乘(Alternating least squares, ALS)算法[18]，其本身是一種迭代算法，收斂速度取決于多方面原因，且并不保證收斂到一個(gè)穩(wěn)定的點(diǎn)，尤其是在目標(biāo)相干的時(shí)候，收斂速度非常的緩慢。雖然PARAFAC分解算法計(jì)算量大，但是不需要對(duì)子空間進(jìn)行估計(jì)，因此在估計(jì)相關(guān)及鄰近目標(biāo)時(shí)具有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。Dimitri Nion等人在文獻(xiàn)[19]中詳細(xì)系統(tǒng)地討論了多種結(jié)構(gòu)的MIMO雷達(dá)系統(tǒng)的張量分解及角度估計(jì)方法，充分利用了觀測信號(hào)的多維幾何結(jié)構(gòu)。由于張量分解技術(shù)在雙基地MIMO雷達(dá)多目標(biāo)角度估計(jì)中的獨(dú)特優(yōu)勢(shì)，基于張量的角度估計(jì)算法也被應(yīng)用于色噪聲條件下的多目標(biāo)角度估計(jì)[20]。M. Haardt采用高階奇異值分解(Higher-order singular value decomposition, HOSVD)算法[21]對(duì)張量進(jìn)行分解用于多維頻率估計(jì)。高階奇異值分解屬于張量子空間類算法，用HOSVD分解得到的信號(hào)子空間比傳統(tǒng)矩陣分解擁有更高的準(zhǔn)確度，這也是該算法優(yōu)于傳統(tǒng)算法的主要原因。Y. Cheng等人提出多維奇異值分解算法[22]，其本質(zhì)上是HOSVD算法的在雙基地MIMO雷達(dá)兩維角度估計(jì)方面拓展。

本文提出一種波束域?qū)嵵礖OSVD雙基地MIMO雷達(dá)測角算法，所提算法通過凸優(yōu)化方法對(duì)發(fā)射和接收波束域矩陣進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，可以靈活設(shè)置波束主瓣寬度并抑制副瓣電平，發(fā)射和接收波束的主副瓣比能夠得到很大提高，從而達(dá)到提高回波信噪比的目的。相比于傳統(tǒng)的矩陣信號(hào)模型，通過HOSVD獲得的張量信號(hào)子空間可以得到更高的測角精度，所提算法對(duì)發(fā)射和接收波束矩陣的結(jié)構(gòu)進(jìn)行設(shè)計(jì)以構(gòu)造實(shí)值張量信號(hào)模型。最后，通過建立映射關(guān)系的方法對(duì)插值誤差進(jìn)行補(bǔ)償，仿真結(jié)果驗(yàn)證所提算法的有效性。

這里給出文中常用符號(hào)的定義：(·)T、(·)H和(·)*分別表示矩陣或矢量的轉(zhuǎn)置，共軛轉(zhuǎn)置以及共軛；diag(·)表示對(duì)角化操作；vec(·)表示矢量化操作；⊕和⊙分別表示Kronecker積和Khatri-Rao積；Re{·}和Im{·}分別表示取矩陣或者矢量的實(shí)部和虛部；ΙM表示M×M維的單位矩陣；符號(hào)·表示外積，即(a·b·c)ijk=aibjck，其中(X)ijk表示張量X的第(i,j,k)個(gè)元素，ai表示向量a的第i個(gè)元素。

1 信號(hào)模型

1.1 張量運(yùn)算

為便于讀者理解，首先對(duì)本文用到的張量運(yùn)算進(jìn)行簡單介紹。

1)定義1(張量的矩陣展開)

2)定義2(HOSVD分解)

對(duì)于N階張量X∈CI1×I2×…×IN的HOSVD可以表示為

X=S×1U(1)×2U(2)…×NU(N)

(1)

其中，S∈CJ1×J2×…JN稱為核心張量，模式-n矩陣U(n)是一個(gè)半正交矩陣，即U(n)HU(n)=IJn，且Jn≤In。圖1給出了三階張量HOSVD分解示意圖。

圖1 三階張量的HOSVD分解

3)定義3(n-模式矩陣積)

X×mA×nB=X×nB×mA(m≠n)

(2)

X×mA×mB=X×m(BA)

(3)

[X×1A1×2A2×…×NAN](n)
=A(n)X(n)[An+1?…?AN?A1…?An-1]T

(4)

1.2 張量信號(hào)模型

假設(shè)M個(gè)發(fā)射陣元發(fā)射正交信號(hào)S=[s1,s2,…,sM]T∈CM×T，T表示單個(gè)脈沖的采樣點(diǎn)數(shù)。在傳統(tǒng)雙基地MIMO雷達(dá)體制下，由于發(fā)射信號(hào)彼此完全正交，滿足等式關(guān)系SSH=IM。假設(shè)遠(yuǎn)場目標(biāo)的個(gè)數(shù)為K，第k個(gè)目標(biāo)的DOD和DOA分別用θk和φk表示。一個(gè)相干處理間隔(Coherent processing interval, CPI)內(nèi)的脈沖數(shù)為Q，則接收陣列接收到的第q個(gè)脈沖信號(hào)可以表示為

(5)

(6)

第k個(gè)目標(biāo)的接收導(dǎo)向矢量為

(7)

式(5)中，Nq表示均值為零的高斯白噪聲矩陣。將式(5)寫成矩陣形式

Xq=BΛqATS+Nq

(8)

以上面的張量理論為基礎(chǔ)，接下來對(duì)雙基地MIMO雷達(dá)張量信號(hào)模型進(jìn)行構(gòu)建,由式(8)可知，雙基地MIMO雷達(dá)第q個(gè)脈沖經(jīng)匹配濾波后可以表示為

(9)

不同于矩陣信號(hào)模型的構(gòu)造方法，我們將Yq，q=1,2,…,Q，沿著第三維進(jìn)行排列，得到N×M×Q的張量信號(hào)模型X。根據(jù)文獻(xiàn)[19]，該張量信號(hào)模型可以表示為

(10)

其中，C=[d1,d2,…,dQ]∈CQ×K，K表示目標(biāo)的個(gè)數(shù)，向量dk表示矩陣C的第k列。N∈CN×M×Q表示接收數(shù)據(jù)中的噪聲項(xiàng)。

2 實(shí)值波束域HOSVD測角算法

2.1 張量運(yùn)算

(11)

(12)

(13)

2.2 角度估計(jì)

(14)

(15)

在采用前后平滑技術(shù)后，張量Z是中心厄米特張量。

(16)

(17)

其中，矩陣Q為酉矩陣，當(dāng)下標(biāo)為偶數(shù)時(shí)具有式(18)形式為

(18)

當(dāng)下標(biāo)為奇數(shù)時(shí)具有式(19)形式

(19)

U[s]=S[s]×1Q1s×2Q2s

(20)

(21)

(22)

U[s]×1Kr,1×3Φr=U[s]×1Kr,2

(23)

U[s]×2Kt,1×3Φt=U[s]×2Kt,2

(24)

Φr=TΨrT-1

(25)

Φt=TΨtT-1

(26)

其中，T∈CK×K為實(shí)值非奇異矩陣。矩陣Ψr和Ψt為分別包含目標(biāo)DOA和DOD信息的對(duì)角矩陣，其表達(dá)式分別為

Ψr=diag{tan(πsinφ1/2),
tan(πsinφ2/2),…,tan(πsinφK/2)}

(27)

Ψt=diag{tan(πsinθ1/2),
tan(πsinθ2/2),…,tan(πsinθK/2)}

(28)

根據(jù)式(23)和式(24)求解矩陣Φr和Φt，該問題可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)張量最小二乘問題

(29)

(30)

式(29)和式(30)等價(jià)于

(31)

(32)

求解式(31)和式(32)得到

(33)

(34)

假設(shè)矩陣Φr和Φt采用同時(shí)對(duì)角化方法得到的第k個(gè)的特征值分別用μk和γk表示，則第k個(gè)目標(biāo)的DOD和DOA估計(jì)值為

(35)

(36)

2.3 誤差補(bǔ)償

(37)

(38)

3 仿真實(shí)驗(yàn)

圖2 發(fā)射空域?yàn)V波器幅頻響應(yīng)

圖3 接收空域?yàn)V波器幅頻響應(yīng)

仿真1：假設(shè)兩個(gè)非相關(guān)信源分別位于(θ1,φ1)=(15°,5°)和(θ2,φ2)=(35°,25°)。提出算法與ESPRIT算法、酉ESPRIT算法、波束域ESPRIT算法、酉PARAFAC張量算法以及CRB進(jìn)行比較。圖4給出了RMSE隨著信噪比的變化情況，此時(shí)的脈沖數(shù)固定為50。圖5給出了RMSE隨著脈沖數(shù)的變化情況，此時(shí)的信噪比固定為0dB。從兩幅圖中可以看出，基于HOSVD和PARAFAC分解的空域?yàn)V波測角算法在低信噪比時(shí)要優(yōu)于其它實(shí)值處理算法。

圖4 非相關(guān)信源RMSE隨信噪比變化情況

圖5 非相關(guān)信源RMSE隨脈沖數(shù)變化情況

仿真2：假設(shè)兩個(gè)相關(guān)信源分別位于(θ1,φ1)=(15°,5°)和(θ2,φ2)=(35°,25°)，相關(guān)系數(shù)為0.99。圖6給出了兩個(gè)相關(guān)信源情況下RMSE隨著信噪比的變化情況，此時(shí)的脈沖數(shù)固定為50。圖7給出了兩個(gè)相關(guān)信源情況下RMSE隨脈沖數(shù)的變化情況，此時(shí)的脈沖數(shù)依然固定為50。從圖7中可以看出，ESPRIT算法在處理兩個(gè)相關(guān)信源時(shí)存在很大的性能損失，這是因?yàn)镋SPRIT算法沒有對(duì)雙基地MIMO雷達(dá)的接收數(shù)據(jù)進(jìn)行前后平滑處理。

圖6 兩個(gè)相關(guān)信源情況下RMSE隨信噪比變化情況

圖7 相關(guān)信源檢測概率隨信噪比變化情況

4 結(jié)束語

本文將改進(jìn)的空域?yàn)V波方法與張量分解方法相結(jié)合，在此基礎(chǔ)上對(duì)雙基地MIMO雷達(dá)角度估計(jì)算法進(jìn)行了研究，提出了波束域?qū)嵵礖OSVD雙基地MIMO雷達(dá)測角算法。由于改進(jìn)的空域?yàn)V波器能夠靈活控制波束寬度和抑制旁瓣電平，能提高空域?yàn)V波器主副瓣比，而張量分解方法能夠利用雙基地MIMO雷達(dá)接收數(shù)據(jù)的多維信息，提高信號(hào)子空間估計(jì)精度。由于從陣元域到波束域的轉(zhuǎn)換，改變了信號(hào)子空間的旋轉(zhuǎn)不變結(jié)構(gòu)，必須對(duì)估計(jì)結(jié)果進(jìn)行誤差補(bǔ)償。仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了本文算法的有效性。