劉 鑫，桑學(xué)鋒，常家軒，鄭 陽

(1.華北水利水電大學(xué)水利學(xué)院，河南 鄭州 450046；2.中國水利水電科學(xué)研究院水資源管理研究室，北京 100038)

0 引 言

水文預(yù)測在水庫蓄水、城市供水調(diào)度策略及灌溉等工作中具有非凡的意義，是水利機(jī)構(gòu)或其工作人員進(jìn)行決策時的關(guān)鍵參考，因此能夠精準(zhǔn)預(yù)測顯得十分重要。為了提高水文預(yù)測的精度和可靠性，很多學(xué)者從不同角度通過學(xué)科交叉，提出了很多先進(jìn)的方法，如灰色[1-2]、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[3]、回歸[4-5]、時間序列[6-7]、深度學(xué)習(xí)[8-9]等模型。通過數(shù)據(jù)驅(qū)動的方式可以不受物理環(huán)境的影響，建立數(shù)據(jù)間潛在的特征關(guān)系；通過自學(xué)習(xí)自調(diào)參實(shí)現(xiàn)對過去規(guī)律延伸同時，還能通過模型自組織自適應(yīng)特性，在預(yù)測時進(jìn)行修正，從而使模型能夠較好地預(yù)測未來。

但是在長期預(yù)測中，時間序列存在較大波動，加上噪聲的影響，使得一些數(shù)據(jù)驅(qū)動模型在長期預(yù)測中的性能惡化，預(yù)測結(jié)果的誤差較大；甚至有概率出現(xiàn)預(yù)測值全部在中位數(shù)附近波動，從而無法為決策者提供有價值的信息。通過大量研究及實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，模型在長期預(yù)測中泛化能力變差有以下3個重要因素：一，模型的初始化結(jié)果對模型整個訓(xùn)練過程及模型泛化能力的影響較大，可以說一個好的初始化可以大大減少模型的調(diào)參時間，甚至不需要很多先進(jìn)算法的支撐就可以較好擬合。因此，有學(xué)者致力于模型的初始化過程，使用啟發(fā)式算法進(jìn)行預(yù)調(diào)參，優(yōu)化初始化過程。但在模型訓(xùn)練過程中，尋優(yōu)方向具有較大隨機(jī)性從而并不能解決根本問題。二，模型在尋優(yōu)的過程中，往往很難獲得全局最優(yōu)解，多數(shù)情況下輸出的結(jié)果都是局部最優(yōu)。通過增加神經(jīng)元及隱藏層數(shù)量，或者以梯度、動量、多種激活函數(shù)等方法期望幫助模型跳出局部最優(yōu)解，但是這樣會大大增加模型的訓(xùn)練時間，同時也會使模型出現(xiàn)過擬合現(xiàn)象[10-11]，仍然會導(dǎo)致模型泛化能力變差。因此，有學(xué)者嘗試從不同角度融合多種方法，希望可以獲得全局最優(yōu)解的同時又能解決過擬合現(xiàn)象，遺憾的是結(jié)果并不理想。三，在長期預(yù)測時模型很容易受到噪聲的干擾，使得輸出的序列出現(xiàn)明顯波動且波峰與波谷都被明顯的拉長，雖然無限增加訓(xùn)練次數(shù)可以改善上述現(xiàn)象，但是也會導(dǎo)致嚴(yán)重的過擬合現(xiàn)象，使得模型測試時性能惡化。

綜上，本研究提出基于自發(fā)式遺傳算法(spontaneous genetic algorithm，SGA)+離散小波變換(discrete wavelet transform，DWT)的雙向長短時記憶(bidirectional long short term memory，BiLSTM)滾動(rolling)預(yù)測模型(SDBiLSTMR)解決上述問題。通過GA[12-13]進(jìn)行預(yù)調(diào)參同時設(shè)置監(jiān)視器實(shí)現(xiàn)SGA，利用DWT[14]過濾噪聲。同時，為了防止模型的訓(xùn)練時間大幅度增加，本研究將數(shù)據(jù)從內(nèi)存調(diào)入顯存，將模型訓(xùn)練時的核心從中央處理單元(central processing unit，CPU)遷移到圖形處理單元(graphics processing unit，GPU)進(jìn)行數(shù)據(jù)的并行計(jì)算，獲得優(yōu)化模型的同時減少建模時間。

1 方 法

長短時記憶(long short term memory，LSTM)模型(見圖1及式(1)～式(6))具有一定的記憶能力，隱藏層除了輸出計(jì)算結(jié)果外，還額外輸出一個記憶，該記憶通過一個衰減因子不斷地遺忘較遠(yuǎn)的記憶，更依賴于過去最近的記憶。即

圖1 LSTM結(jié)構(gòu)

ft-1=σ(Wfxx(t)+Wfhh(t-1)+If)

(1)

it=σ(Wixx(t)+Wihh(t-1)+Ii)

(2)

mt=φ(Wmxx(t)+Wmhh(t-1)+Ig)

(3)

ot=σ(Woxx(t)+Wohh(t-1)+Io)

(4)

st=st-1ft-1+itMt，ht=φ(st)ot

(5)

φ(x)=(1-e-2x)/(1+e-2x),σ(x)=1/(1+e-2x)

(6)

式中，W和I分別為權(quán)重矩陣和截距矩陣；ft-1為衰減因子；it為輸入單元；mt為記憶單元；ot為輸出單元；st為輸出的記憶狀態(tài)；ht為隱藏層輸出。

BiLSTM結(jié)構(gòu)見圖2。由圖2可以看出，BiLSTM融合了前向LSTM與反向LSTM，最終的輸出也是由2個方向的輸出拼接而成的。這使得模型的自學(xué)習(xí)能力得到增強(qiáng)，但是模型需要調(diào)節(jié)的參數(shù)增加了一倍，輸出的維度也增加了一倍；所以，最后輸出需要進(jìn)行整流將維度還原。建模流程見圖3。

圖2 BiLSTM結(jié)構(gòu)

圖3 建模流程

1.1 SGA+AME+LS

遺傳算法(GA)不需要確定的規(guī)則，通過選擇、交叉、變異來產(chǎn)生比當(dāng)前更好的下一代種群，讓適應(yīng)能力更強(qiáng)的個體保留下來從而完成進(jìn)化，自動指導(dǎo)優(yōu)化，自適應(yīng)地完成對復(fù)雜空間的啟發(fā)式搜索，找到全局最優(yōu)解的概率較大。本研究除了使用GA進(jìn)行預(yù)調(diào)參外還設(shè)置監(jiān)視器，當(dāng)模型連續(xù)兩次的訓(xùn)練誤差小于一定閾值時再次啟動遺傳算法實(shí)現(xiàn)SGA，進(jìn)行啟發(fā)式搜索尋找全局最優(yōu)解。

自適應(yīng)矩估計(jì)(adaptive moment estimation，AME)是一種自適應(yīng)優(yōu)化算法，能夠隨著訓(xùn)練迭代地更新，公式如下

fmt=m1×fmt-1+(1-m1)×gt

(7)

gt=ΔJ(Wt)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

式中，fm、sm分別為一階矩估計(jì)和二階矩估計(jì)；m為動量的大?。籫為梯度；fv、sv分別為對一階及二階矩估計(jì)的校正；P為模型的參數(shù)；η為學(xué)習(xí)率；ε取10-8；t為迭代次數(shù)。

最小二乘(least square，LS)[15]是數(shù)據(jù)驅(qū)動模型最常用且效果較好的求解方法，本文不再贅述。其公式為

(13)

式中，Y為實(shí)測值矩陣；E為估計(jì)值矩陣。本研究數(shù)據(jù)載體全部為矩陣，這樣迭代一次等于逐元素計(jì)算迭代n次。

1.2 離散小波變換

噪聲對模型的構(gòu)建存在較大的影響，而小波分析是過濾噪聲的有效手段。小波分析分為連續(xù)小波變換(continuous wavelet transform，CWT)和離散小波變換(DWT)。對于逐日數(shù)據(jù)而言，嚴(yán)格意義上是離散數(shù)據(jù)，雖然可以對數(shù)據(jù)進(jìn)行插值連續(xù)化，但隨著時間尺度的減小意味著無窮次的計(jì)算，因此本研究采用DWT。

時間序列一般存在低頻分量與高頻分量，根據(jù)以往大量實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，噪聲多數(shù)是高頻分量，實(shí)測數(shù)據(jù)多數(shù)為低頻分量，而DB小波具有較好的正交性，對序列分解、修正、重構(gòu)后，對高頻分量的過濾效果較好。

1.3 滾動預(yù)測

目前，數(shù)據(jù)驅(qū)動模型中往往是單步預(yù)測，這種預(yù)測方式在短期預(yù)測中普遍適用，但是在長期預(yù)測中存在一定的缺陷。因?yàn)闀r間序列模型對較久遠(yuǎn)的數(shù)據(jù)會進(jìn)行衰減，因此，模型更傾向于將最近的規(guī)律進(jìn)行延伸。而一次延長較長的序列，離訓(xùn)練集越遠(yuǎn)的數(shù)據(jù)無法有效延伸。

本研究將預(yù)測滾動進(jìn)行以解決上述問題。讓模型每次只預(yù)測一個子序列，然后將該子序列融入訓(xùn)練集使模型再進(jìn)行學(xué)習(xí)，然后再預(yù)測一個子序列，如此滾動預(yù)測直到預(yù)測完畢。

1.4 評價標(biāo)準(zhǔn)

本研究從不同角度選擇了4個評價標(biāo)準(zhǔn)以綜合評價模型的性能，他們分別是均方誤差(mean squared error，MSE)、納什系數(shù)(Nash-Sutcliffe efficiency coefficient，NSE)、平均相對誤差(mean relative error，MRE)、Pearson相關(guān)系數(shù)(r)，公式如下。

MSE=∑(yi-pi)2/n,i=1, 2, …,n

(14)

(15)

(16)

(17)

2 應(yīng) 用

本研究利用深圳2015年1月～2019年12月共1 826 d的無空缺逐日供水?dāng)?shù)據(jù)按8∶2劃分訓(xùn)練集與測試集，并與使用SGA+DWT優(yōu)化的LSTM(SDLSTM)及BiLSTM(SDBiLSTM)的預(yù)測結(jié)果進(jìn)行對比；同時，按7∶3劃分訓(xùn)練集與測試集進(jìn)行交叉驗(yàn)證。本研究數(shù)據(jù)來源于深圳市水務(wù)集團(tuán)。訓(xùn)練集結(jié)果見表1。由表1可知，訓(xùn)練完畢后3個模型在訓(xùn)練集上都較好擬合。

表1 訓(xùn)練集結(jié)果

2.1 預(yù)測結(jié)果對比分析

8∶2劃分訓(xùn)練集與測試集的預(yù)測結(jié)果和7∶3劃分訓(xùn)練集與測試集的預(yù)測結(jié)果分別見表2、3。

由表2可知，3個模型的MSE、NSE、MRE及r從最優(yōu)到最差排序都是：SDBiLSTMR、SDBiLSTM、SDLSTM，其中SDBiLSTMR的泛化能力最強(qiáng)。SDBiLSTMR的MSE最小NSE最大說明模型的誤差最小擬合度最高，MRE最小說明模型的穩(wěn)定性最好，系數(shù)r最大說明預(yù)測值與實(shí)測值的相關(guān)性最強(qiáng)。SDBiLSTM比SDLSTM的MSE減小了83.91%，NSE提高了39.06%，MRE減小了96%，r提高了11.76%，SDBiLSTM的4個指標(biāo)都比SDLSTM的更優(yōu)，可知雙向網(wǎng)絡(luò)的性能要更優(yōu)；SDBiLSTMR比SDBiLSTM的MSE減小了13.04%，NSE提高了3.37%，MRE減小了25%，r提高了1.05%，SDBiLSTMR的4個指標(biāo)都優(yōu)于SDBiLSTM，說明滾動預(yù)測效果比單步預(yù)測精度更高。

表2 8∶2預(yù)測結(jié)果對比

由表3可以看出，交叉驗(yàn)證集上，模型性能排序從最優(yōu)到最差依然是：SDBiLSTMR、SDBiLSTM、SDLSTM。SDLSTM在延長預(yù)測長度后，性能出現(xiàn)惡化，MSE增加了30.77%，NSE降低了43.75%，MRE增加了10%，r降低了11.76%，模型的誤差、擬合度、穩(wěn)定性及相關(guān)性都變差了。而從雙向網(wǎng)絡(luò)的4個指標(biāo)可以看出，模型仍然表現(xiàn)出了較好的性能，說明雙向網(wǎng)絡(luò)在延長預(yù)測長度后依舊可以有效進(jìn)行預(yù)測。其中仍然是SDBiLSTMR的泛化能力最強(qiáng)。與SDBiLSTM相比，SDBiLSTMR模型的MSE減小了16%，NSE提高了4.76%，MRE減小了25%，r提高了2.15%，在交叉驗(yàn)證中滾動預(yù)測仍然比單步預(yù)測的效果更好。

表3 7∶3預(yù)測結(jié)果對比

2種劃分方式的擬合結(jié)果及誤差條見圖4。由圖4a、4b可以看出，模型的誤差主要體現(xiàn)到后半段，前半段3個模型的表現(xiàn)都較好。但當(dāng)預(yù)測長度增加到一定程度時，SDLSTM模型的曲線明顯偏離實(shí)測值，誤差及擬合程度都較差；而SDBiLSTM與SDBiLSTMR曲線與實(shí)測值偏離較小，模型依舊保持較好的性能。由此也可以證明，BiLSTM的泛化能力強(qiáng)于LSTM。其中，SDBiLSTM雖然誤差也較小，但是后半段的曲線縱向延伸度不夠；而SDBiLSTMR模型在后半段曲線縱向延伸度較好，與實(shí)測值的擬合度最佳，模型最接近無偏估計(jì)。為了更加直觀地看出誤差，圖4c、4d展示了測試集后150個數(shù)據(jù)的誤差條。由圖4c、4d可以看出，在2個測試集上SDLSTM預(yù)測曲線差別很大且誤差條很長，代表模型的誤差非常大；2個雙向網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測曲線變化很小且誤差條較短，說明模型的誤差較小，其中SDBiLSTMR的誤差最小。

圖4 擬合結(jié)果及誤差條

MSE只是模型預(yù)測值與估計(jì)值的最終對比，只能說明最終結(jié)果的好壞，而不能體現(xiàn)模型是否足夠可靠。因此，本研究進(jìn)一步使用式(18)計(jì)算每個預(yù)測數(shù)據(jù)的相對誤差(RE)，通過全部預(yù)測數(shù)據(jù)的RE來驗(yàn)證模型的可靠性。即

RE=|(yi-pi)/yi|

(18)

RE箱圖見圖5。由圖5可以直觀地看出，2個測試集箱圖的規(guī)律是一致的，RE的上限從大到小排序都是SDLSTM、SDBiLSTM、SDBiLSTMR，RE密度從低到高都是SDLSTM、SDBiLSTM、SDBiLSTMR。8∶2的測試集上，SDBiLSTMR模型箱圖的上下限分別是4.71%與1.46%，上下限的距離最短，中位數(shù)和平均值最小，分別是2.9%與3.47%；7∶3的測試集上，SDBiLSTMR模型箱圖的上下限分別是5.03%與1.2%，上下限的距離最短，中位數(shù)和平均值最小，分別是2.64%與3.45%，由箱圖可知，SDBiLSTMR模型最可靠。

圖5 RE箱圖

當(dāng)模型比較復(fù)雜參數(shù)較多時，使用矩陣作為數(shù)據(jù)的載體不僅可以減少迭代次數(shù)，還能在GPU上并行計(jì)算，較大程度減少建模時間(見表4)。本研究使用第八代intel酷睿i7處理器和GeForce 930MX實(shí)現(xiàn)CPU和GPU上的5 000次訓(xùn)練，本研究將SDBiLSTMR分3步預(yù)測，因此訓(xùn)練次數(shù)為15 000次。

表4 建模時間 s

由表4可以看出，3個模型建模時間較短，且在GPU上的訓(xùn)練時間明顯少于CPU上的訓(xùn)練時間。SDLSTM、SDBiLSTM及SDBiLSTMR模型在GPU上的訓(xùn)練時間比CPU減少了21.96%、26.74%、27.5%。對于SDBiLSTM而言，網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)是SDLSTM的2倍，但是模型在GPU上的訓(xùn)練時間只增加了64 s，而在CPU上訓(xùn)練卻增加了104 s。對于SDBiLSTMR而言，相當(dāng)于構(gòu)建了3次SDBiLSTM，在GPU上訓(xùn)練時間只增加了193 s，而在CPU上增加了270 s，由此充分證明了以矩陣作為數(shù)據(jù)載體的迭代效率非常高，此外網(wǎng)絡(luò)越復(fù)雜參數(shù)越多，訓(xùn)練次數(shù)越多，GPU越能表現(xiàn)出強(qiáng)大的性能。

2.2 啟示

通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，遺傳算法雖然可以自發(fā)啟動幫助模型跳出局部最優(yōu)解，但是算法有一定的局限性，即存在誤差下限，本研究提取種群大小為50迭代200次的結(jié)果(見圖6)。

圖6 種群分布及誤差變化

由圖6的種群分布可以直觀地看出，遺傳算法初期展示了很強(qiáng)大的性能，第20代時種群大多數(shù)個體都分布在誤差0.01～0.02的位置，但是當(dāng)?shù)?0代的時候誤差的減小速度趨近于0，當(dāng)?shù)?00代時，誤差停留在0.005不能再減小。通過連續(xù)啟動遺傳算法，結(jié)合模型自身的優(yōu)化器+激活函數(shù)才可以使模型在訓(xùn)練集的誤差繼續(xù)減小。這是因?yàn)榉N群的進(jìn)化過程存在一些缺陷(見圖7)。

圖7 種群進(jìn)化過程

遺傳算法通過選擇、交叉、變異來產(chǎn)生更優(yōu)的新一代種群。但從圖7可以看出，種群在進(jìn)化時經(jīng)常會變差或者連續(xù)較多代沒有產(chǎn)生更優(yōu)化的后代，直到達(dá)到一定的迭代次數(shù)后才產(chǎn)生更優(yōu)化的后代。主要原因是隨機(jī)地迭代搜索對全局尋優(yōu)的影響較大。算法初期設(shè)置較大的交叉變異概率可以加速全局尋優(yōu)，后期減小概率能得到適應(yīng)度值高的個體。因此，很多學(xué)者會設(shè)置自適應(yīng)交叉變異概率，即設(shè)置一個衰減因子，算法剛開始時設(shè)置一個較大的概率值，隨著迭代的進(jìn)行不斷對概率值進(jìn)行衰減。但是這種方法的穩(wěn)定性較差，因?yàn)榉N群中的個體在進(jìn)化的同時，會產(chǎn)生較差的一代(退化現(xiàn)象)，而退化的個體使得衰減的交叉變異概率無法保證算法的收斂，從而使得計(jì)算結(jié)果非常不穩(wěn)定。綜上，未來的研究方向應(yīng)該是著重解決種群個體的退化現(xiàn)象。

3 結(jié) 論

在制訂城市未來的供需水調(diào)度計(jì)劃時，需要掌握盡可能準(zhǔn)確的需水量才能合理地分配有限的水資源；因此，能夠準(zhǔn)確地進(jìn)行長期預(yù)測，可為供需水計(jì)劃的制訂提供強(qiáng)有力的支撐。LSTM模型在預(yù)測達(dá)到一定長度時的誤差明顯增大，通過融合先進(jìn)方法依然不能很有效地解決這個問題，主要原因是模型的學(xué)習(xí)能力不夠。本研究提出了基于SGA+DWT的BiLSTM滾動預(yù)測模型SDBiLSTMR，將LSTM由單向變?yōu)殡p向，實(shí)現(xiàn)遺傳算法的自發(fā)式調(diào)用；同時，將DWT引入過濾噪聲，并采用滾動預(yù)測的方式，有效降低了長期預(yù)測的誤差，提高了納什系數(shù)，并得出以下結(jié)論：

(1)BiLSTM的學(xué)習(xí)能力比LSTM的學(xué)習(xí)能力更強(qiáng)。

(2)建模中，以矩陣作為數(shù)據(jù)載體可以更加高效地完成迭代。

(3)當(dāng)模型越復(fù)雜參數(shù)越多、訓(xùn)練次數(shù)越多時，GPU展現(xiàn)出強(qiáng)大的并行計(jì)算能力，比CPU的建模時間有較大提升。

(4)SDBiLSTMR模型MSE最小，NSE最大，RE箱圖上限較小、密度集中，預(yù)測曲線變化較小、誤差線較短，比單步預(yù)測的精度更高，泛化能力更強(qiáng)，最接近無偏估計(jì)。

(5)遺傳算法的個體在進(jìn)化的同時，也可能存在退化。這將導(dǎo)致算法不穩(wěn)定且有概率出現(xiàn)不收斂的現(xiàn)象，因此解決種群中的退化現(xiàn)象是后續(xù)研究的重點(diǎn)。