張亮，石沛林，周龍輝，蔣軍錫，梁明磊，侯建偉

(山東理工大學(xué) 交通與車輛工程學(xué)院， 山東 淄博 255049)

0 引言

在車輛的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性控制系統(tǒng)中，通常用橫擺角速度和質(zhì)心側(cè)偏角作為控制系統(tǒng)的狀態(tài)變量[1-2]。其中車輛的質(zhì)心側(cè)偏角直接測(cè)量成本較高，一般采用估計(jì)算法獲得。利用擴(kuò)展卡爾曼濾波(extended kalman filter，EKF)或其他方法估計(jì)車輛狀態(tài)參數(shù)是車輛控制的重要研究方向之一。

當(dāng)車輛側(cè)向加速度較小時(shí)，輪胎側(cè)偏角也較小，此時(shí)，輪胎側(cè)偏角與側(cè)向力近似呈線性關(guān)系，可以通過(guò)卡爾曼濾波等算法實(shí)現(xiàn)對(duì)質(zhì)心側(cè)偏角的估計(jì)[3- 4]，但當(dāng)車輛運(yùn)動(dòng)狀態(tài)處于非線性區(qū)域時(shí)，將無(wú)法獲得準(zhǔn)確的質(zhì)心側(cè)偏角。彭博等[5]基于非線性魔術(shù)輪胎模型和二自由度車輛模型，建立了以模型輸出的橫擺角速度為反饋量的滑模觀測(cè)器，在線性區(qū)和非線性區(qū)都能準(zhǔn)確估算車輛質(zhì)心側(cè)偏角；郭孔輝等[6]運(yùn)用擴(kuò)展卡爾曼濾波方法在輪胎的線性和非線性區(qū)域內(nèi)對(duì)質(zhì)心側(cè)偏角進(jìn)行估計(jì)，預(yù)測(cè)的結(jié)果實(shí)時(shí)性較好，且非線性輪胎輪胎模型比線性模型精度高。但上述文獻(xiàn)均采用二自由度模型，沒(méi)有考慮縱向車速隨時(shí)間的變化這一因素。

筆者考慮車速的變化，在二自由度模型基礎(chǔ)上加入縱向車速，建立四輪三自由度車輛模型和Dugoff輪胎模型，通過(guò)車輪角速度、橫擺角速度等車輛運(yùn)動(dòng)狀態(tài)參數(shù)推導(dǎo)出輪胎側(cè)偏角、垂直載荷等參數(shù)，并基于EKF算法估算車輛的質(zhì)心側(cè)偏角。

1 卡爾曼濾波器和擴(kuò)展卡爾曼濾波器

1.1 卡爾曼濾波器

卡爾曼濾波(kalman filter, KF)算法是一種在線實(shí)時(shí)信號(hào)處理算法，能夠廣泛應(yīng)用于實(shí)際系統(tǒng)中[7]。卡爾曼濾波器是一種以最小二乘法為基礎(chǔ)，在時(shí)域內(nèi)設(shè)計(jì)的遞歸線性最小方差估計(jì)，根據(jù)狀態(tài)方程模型，利用前一時(shí)刻的估計(jì)值和當(dāng)前時(shí)刻的觀測(cè)值來(lái)更新對(duì)狀態(tài)變量的估計(jì)。

對(duì)于卡爾曼濾波，線性系統(tǒng)可以表示：

狀態(tài)方程：

xk=Axk-1+Buk-1+wk-1。

(1)

觀測(cè)方程：

yk=Hxk+vk,

(2)

式中,xk為k時(shí)刻系統(tǒng)的狀態(tài)向量;xk-1為k-1時(shí)刻系統(tǒng)的狀態(tài)向量;uk-1為k-1時(shí)刻的系統(tǒng)輸入;yk為k時(shí)刻的觀測(cè)向量;A為狀態(tài)矩陣;B為控制矩陣;H為觀測(cè)矩陣;wk-1為過(guò)程噪聲;vk為觀測(cè)噪聲。

卡爾曼濾波算法的實(shí)現(xiàn)需要經(jīng)過(guò)預(yù)測(cè)和校正兩個(gè)步驟，算法步驟如下:

① 預(yù)測(cè)過(guò)程

狀態(tài)預(yù)測(cè)方程為

xk=Axk-1+Buk-1。

(3)

誤差協(xié)方差預(yù)測(cè)方程為

Pk=APk-1AT+Q，

(4)

式中，Pk為k時(shí)刻對(duì)應(yīng)于xk的協(xié)方差;Q為過(guò)程噪聲的協(xié)方差矩陣。

② 校正過(guò)程

增益方程為

Kk=PkHT(HPkHT+R)-1，

(5)

式中，R為觀測(cè)噪聲的協(xié)方差矩陣。

濾波方程為

誤差協(xié)方差更新方程為

Pk=(1-KkH)Pk。

(7)

1.2 擴(kuò)展卡爾曼濾波器

前面介紹的卡爾曼濾波算法只應(yīng)用于線性系統(tǒng)，而在實(shí)際系統(tǒng)中，完全線性的系統(tǒng)是不存在的。針對(duì)卡爾曼濾波的局限性，后續(xù)發(fā)展的擴(kuò)展卡爾曼濾波，解決非線性模型的估計(jì)問(wèn)題。擴(kuò)展卡爾曼濾波算法是通過(guò)對(duì)非線性函數(shù)進(jìn)行泰勒展開(kāi)并舍棄高階分量，在確保精度的前提下對(duì)非線性模型做線性化處理[8]，從而使卡爾曼濾波能適用于非線性系統(tǒng)。由于EKF與KF不同的地方只有狀態(tài)預(yù)測(cè)公式，所以在這里只對(duì)EKF的狀態(tài)預(yù)測(cè)做詳細(xì)介紹。

非線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程和觀測(cè)方程為

yk=h(xk,uk)+vk。

(9)

模型線性化：

式中,F表示狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，是f對(duì)x的偏導(dǎo)雅克比矩陣。

式中,H表示觀測(cè)矩陣，是h對(duì)x的偏導(dǎo)雅克比矩陣。

2 質(zhì)心側(cè)偏角估計(jì)模型

2.1 二自由度車輛模型

建立二自由度車輛模型，用卡爾曼濾波和擴(kuò)展卡爾曼濾波建立狀態(tài)方程和測(cè)量方程，實(shí)現(xiàn)質(zhì)心側(cè)偏角的估計(jì)，對(duì)比卡爾曼濾波和擴(kuò)展卡爾曼濾波的估計(jì)精度。二自由度車輛模型如圖1所示。

2.2 四輪三自由度車輛模型

汽車穩(wěn)定性控制研究的重點(diǎn)主要是側(cè)向和橫擺運(yùn)動(dòng)。對(duì)質(zhì)心側(cè)偏角進(jìn)行估計(jì)時(shí)，需要考慮縱向車速對(duì)估計(jì)結(jié)果的影響。因此本文建立了具有縱向、側(cè)向和橫擺運(yùn)動(dòng)的四輪三自由度車輛模型，如圖2所示。

圖1 二自由度車輛模型Fig.1 2-DOF of vehicle model

圖2 四輪三自由度車輛模型Fig.2 3-DOF of four-wheel vehicle model

汽車正常行駛時(shí)，側(cè)向加速度不超過(guò)0.4 g,側(cè)偏角不超過(guò)4°～5°，可以認(rèn)為側(cè)偏角與側(cè)偏力呈線性關(guān)系。汽車運(yùn)動(dòng)狀態(tài)處于線性區(qū)時(shí)，車輛動(dòng)力學(xué)模型方程式如下：

式中，β為車輛質(zhì)心側(cè)偏角；Iz為質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；r為橫擺角速度；δ為前輪轉(zhuǎn)角；a為前軸到質(zhì)心的距離；b為后軸到質(zhì)心的距離；m為整車質(zhì)量；vx為車輛縱向速度；k1和k2為前后軸的側(cè)偏剛度。

汽車運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)入非線性區(qū)域時(shí)，需要考慮側(cè)偏角和側(cè)向力的非線性關(guān)系，車輛縱向和側(cè)向的動(dòng)力學(xué)方程式如下：

式中，vy為車輛的側(cè)向速度；Fx1為左前輪胎的縱向力；Fx2為右前輪胎的縱向力；Fx3為左后輪胎的縱向力；Fx4為右后輪胎的縱向力；Fy1為左前輪胎的側(cè)向力；Fy2為右前輪胎的側(cè)向力；Fy3為左后輪胎的側(cè)向力；Fy4為右后輪胎的側(cè)向力。

本文通過(guò)式(14)、(15)獲得縱向、側(cè)向速度，計(jì)算質(zhì)心側(cè)偏角β，公式如下：

2.3 輪胎模型

Dugoff輪胎模型[9]所需參數(shù)較少且表達(dá)形式簡(jiǎn)單，所以本文采用Dugoff輪胎模型計(jì)算輪胎的縱向、側(cè)向力，輪胎力計(jì)算公式如下：

式中，Cy為輪胎側(cè)向側(cè)偏剛度；Cx為輪胎縱向側(cè)偏剛度；σ為縱向滑移率；α為輪胎側(cè)偏角；μ為路面附著系數(shù)；Fz為垂向載荷。

上述輪胎力的計(jì)算公式是在輪胎側(cè)偏角、垂向載荷和滑移率作為已知量的前提下實(shí)現(xiàn)的，因此需要獲得輪胎的側(cè)偏角、垂向載荷以及滑移率。本文的輪胎側(cè)偏角計(jì)算公式[10]如下：

式中，Bf為車輛前輪輪距；Br為車輛后輪輪距；α1為左前輪側(cè)偏角；α2為右前輪側(cè)偏角；α3為左后輪側(cè)偏角；α4為右后輪側(cè)偏角。

垂向載荷計(jì)算公式如下：

式中，g為重力加速度；h為質(zhì)心高度；ax為縱向加速度；ay為側(cè)向加速度；Fz1為左前輪垂向載荷；Fz2為右前輪垂向載荷；Fz3為左后輪垂向載荷；Fz4為右后輪垂向載荷。

輪胎滑移率計(jì)算公式如下：

式中，ωw為車輪的角速度；Re為車輪的動(dòng)力半徑。

3 KF估計(jì)器和EKF估計(jì)器設(shè)計(jì)

3.1 KF估計(jì)器設(shè)計(jì)

根據(jù)二自由度汽車模型，建立基于卡爾曼濾波的狀態(tài)方程和觀測(cè)方程。

狀態(tài)方程：

觀測(cè)方程：

3.2 EKF估計(jì)器設(shè)計(jì)

本文針對(duì)汽車處于線性區(qū)和非線性區(qū)的兩種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，分別建立了基于線性模型和非線性模型的兩種擴(kuò)展卡爾曼估計(jì)器。

非線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程和觀測(cè)方程為

y(t)=h[x(t)]+v(t)。

(33)

汽車運(yùn)動(dòng)狀態(tài)處于線性區(qū)時(shí)，側(cè)偏角與側(cè)偏力近似呈線性關(guān)系，由式(12)、(13)可得線性模型的狀態(tài)方程為

觀測(cè)方程為

求得偏導(dǎo)雅克比矩陣為

式中，T為仿真步長(zhǎng)，本文設(shè)置為0.01 s。

基于線性模型的擴(kuò)展卡爾曼濾波器，在縱向車速保持不變時(shí)，其形式即為二自由度車輛模型的擴(kuò)展卡爾曼估計(jì)器。

汽車運(yùn)動(dòng)狀態(tài)處于非線性區(qū)時(shí)，考慮側(cè)偏角和側(cè)向力的非線性關(guān)系。由于本文采用的車輛模型為前置前驅(qū)，所以這里將Dugoff模型求得的前輪的輪胎力作為狀態(tài)變量，縱向、側(cè)向加速度作為觀測(cè)向量，非線性模型狀態(tài)方程為

觀測(cè)方程為

4 估計(jì)結(jié)果驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文建立的質(zhì)心側(cè)偏角估計(jì)方法的有效性和估計(jì)精度，采用CarSim軟件搭建整車模型以及雙移線道路模型，整車主要參數(shù)見(jiàn)表1。在MATLAB/Simulink中搭建了卡爾曼估計(jì)器和擴(kuò)展卡爾曼估計(jì)器，建立CarSim和MATLAB/Simulink的聯(lián)合仿真模型。車輛質(zhì)心側(cè)偏角估計(jì)器的輸入為CarSim輸出的縱向、側(cè)向加速度等基本信號(hào)和輪胎模型計(jì)算的輪胎力，通過(guò)更改車速進(jìn)行了一系列的數(shù)值實(shí)驗(yàn)，檢驗(yàn)所建立的質(zhì)心側(cè)偏角估計(jì)模型的性能。EKF估計(jì)器的算法步驟通過(guò)MATLAB的“S-Function”模塊編寫(xiě)。

表1 整車主要參數(shù)Tab.1 Main parameters of vehicle

4.1 KF和EKF的估計(jì)結(jié)果對(duì)比

車速分別為40 km/h和80 km/h，路面附著系數(shù)為0.9時(shí)，卡爾曼濾波和擴(kuò)展卡爾曼濾波對(duì)質(zhì)心側(cè)偏角估計(jì)結(jié)果對(duì)比如圖3所示。從圖3可以看出，當(dāng)縱向車速為40 km/h時(shí)，EKF比KF的估計(jì)結(jié)果更接近Carsim的值，而在縱向車速變?yōu)?0 km/h時(shí)，KF的估計(jì)結(jié)果已經(jīng)出現(xiàn)了較大誤差，而EKF估計(jì)的質(zhì)心側(cè)偏角與Carsim值非常接近，所以在這兩種估計(jì)方法中，EKF對(duì)質(zhì)心側(cè)偏角的估計(jì)效果更好。

(a) vx=40 km/h

(b) vx=80 km/h

圖3 KF和EKF對(duì)質(zhì)心側(cè)偏角估計(jì)結(jié)果對(duì)比Fig.3 Comparison of KF and EKF estimates of sideslip

4.2 非線性模型的估計(jì)結(jié)果

設(shè)置縱向車速?gòu)?加速到40 km/h，然后保持勻速行駛，同時(shí)設(shè)置方向盤(pán)轉(zhuǎn)角輸入，車速vx和方向盤(pán)轉(zhuǎn)角βsw如圖4所示?；诜蔷€性模型的EKF估計(jì)器估計(jì)的前輪輪胎力如圖5所示。

(a) 縱向車速vx

(b) 方向盤(pán)轉(zhuǎn)角βsw

(a) 左前輪縱向力Fx1

(b) 右前輪縱向力Fx2

(c) 左前輪側(cè)向力Fy1

(d) 右前輪側(cè)向力Fy2

圖5 前輪輪胎力估計(jì)結(jié)果Fig.5 Estimation results of front tire force

從圖5可以看出，基于非線性模型的EKF估計(jì)器可以較準(zhǔn)確地估計(jì)出輪胎力的值，通過(guò)估計(jì)得到的輪胎力可以進(jìn)一步求出車輛的質(zhì)心側(cè)偏角。

4.3 線性和非線性模型的估計(jì)結(jié)果對(duì)比

縱向車速?gòu)?加速到40 km/h，然后保持速度不變，路面峰值附著系數(shù)為0.9，方向盤(pán)轉(zhuǎn)角輸入不變，進(jìn)行了低速雙移線工況的仿真。低速仿真結(jié)果如圖6所示,從圖6可以看出，線性模型和非線性模型的估計(jì)結(jié)果均能夠較好的跟隨CarSim輸出的值。

(a) 縱向車速vx

(b) 質(zhì)心側(cè)偏角β

圖6 低速仿真結(jié)果Fig.6 Simulation results of low speed

縱向車速?gòu)?加速到80 km/h，然后保持速度不變，高速仿真結(jié)果如圖7所示。從圖7可以看出，此時(shí)線性模型的估計(jì)值與CarSim輸出的值相差很大，而非線性模型的估計(jì)值仍與CarSim相接近。

(a) 縱向車速vx

(b) 質(zhì)心側(cè)偏角β

圖7 高速仿真結(jié)果Fig.7 Simulation results of high speed

此外，為了清楚地量化兩種模型的估計(jì)精度，利用統(tǒng)計(jì)值即歸一化均方根[11](normalized root-mean-square,NRMS)進(jìn)一步評(píng)估所使用預(yù)測(cè)模型的性能，其值用字母N表示，計(jì)算公式如下：

式中，Sactual為測(cè)量信號(hào)值，Sestimated為估計(jì)信號(hào)值，n為采集的樣本數(shù)。計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表2。

表2 雙移線工況下的歸一化均方根Tab.2 NRMS of double lane change

表2列出了雙移線工況下兩種模型的歸一化均方根，可以看出非線性模型的歸一化均方根相比于線性模型均較小，尤其在車速較大時(shí)，此時(shí)非線性模型對(duì)質(zhì)心側(cè)偏角的估計(jì)效果顯著高于線性模型。

5 結(jié)論

本文利用二自由度汽車模型，基于卡爾曼濾波和擴(kuò)展卡爾曼濾波建立質(zhì)心側(cè)偏角估計(jì)模型，通過(guò)MATLAB/Simulink和CarSim聯(lián)合仿真，驗(yàn)證了擴(kuò)展卡爾曼濾波的估計(jì)精度高于卡爾曼濾波。

根據(jù)四輪三自由度車輛模型，針對(duì)車輛處于線性和非線性的兩種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，建立了線性和非線性的車輛模型，其中非線性車輛模型的建立采用了Dugoff輪胎模型，利用車輛可測(cè)量的橫擺角速度、前輪轉(zhuǎn)角和車輪角速度等狀態(tài)參數(shù)來(lái)計(jì)算輪胎側(cè)偏角、垂直載荷等參數(shù)，實(shí)現(xiàn)對(duì)輪胎力的計(jì)算。

基于擴(kuò)展卡爾曼濾波算法，分別建立了線性和非線性的質(zhì)心側(cè)偏角估計(jì)器。

通過(guò)CarSim建立整車模型，MATLAB/Simulink搭建擴(kuò)展卡爾曼估計(jì)模型，兩者聯(lián)合仿真,通過(guò)低速和高速雙移線工況仿真實(shí)驗(yàn)，結(jié)果驗(yàn)證了所建立的非線性估計(jì)模型在線性區(qū)域和非線性區(qū)域均能實(shí)現(xiàn)對(duì)質(zhì)心側(cè)偏角的估計(jì)，估計(jì)精度高于線性模型。