黃述亮

（滁州學(xué)院 數(shù)學(xué)與金融學(xué)院，安徽 滁州 239000）

線性代數(shù)是代數(shù)學(xué)的一個分支，主要研究目標(biāo)是線性關(guān)系問題，而線性問題在科學(xué)技術(shù)的各個領(lǐng)域中到處可見，而且某些非線性問題在一定條件下能夠轉(zhuǎn)化為線性問題來處理，因此線性代數(shù)的理論和方法已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于多個學(xué)科（比如密碼學(xué)、計算機圖形學(xué)等），特別是其中包含的矩陣思想和方法在日常生活中處處可見。線性代數(shù)與另外幾門大學(xué)數(shù)學(xué)課程（高等數(shù)學(xué)、概率統(tǒng)計、復(fù)變函數(shù)與積分變換）相比，更加抽象，線性代數(shù)課程中涉及的基本概念、性質(zhì)、定理更加抽象難懂，要真正學(xué)精、學(xué)透并不容易，因此，對于初學(xué)者而言，學(xué)習(xí)起來有很大難度。傳統(tǒng)的重理論輕應(yīng)用的教學(xué)模式已經(jīng)不能滿足培養(yǎng)學(xué)生能力的需求，這就需要教師在講課過程中選擇合適的教學(xué)方法和教學(xué)手段。目前，很多專家學(xué)者認為實施以成果為導(dǎo)向的OBE（Outcome based education）教育理念和方法是追求卓越教育和創(chuàng)新人才的有效途徑[1]，在工程認證和師范類專業(yè)認證中都要有效落實。線性代數(shù)課程中的很多概念比較抽象，教學(xué)中要以學(xué)生為中心，抽象問題需要具體化、形象化，為此可以把幾何直觀和案例等作為切入點，比如討論線性方程組解的情況時，可以借助中學(xué)的二元一次方程組來引入。具體而言，二元一次方程看成是一條直線，從而方程組解的問題轉(zhuǎn)換為同一平面上兩條直線的位置關(guān)系，于是直線相交對應(yīng)方程組有唯一解；直線重合對應(yīng)方程組有無窮多解；直線平行對應(yīng)方程組無解，學(xué)生很容易理解這樣的解釋。目前很多學(xué)者對多媒體輔助教學(xué)進行了深入研究[2-8]，提出了一些好的策略，從中可以得到很多有益的啟發(fā)。

筆者長期從事代數(shù)類課程（線性代數(shù)、高等代數(shù)）的教學(xué)工作，文章基于OBE模式下注重學(xué)生獲得能力與成果的基本理念，結(jié)合近年來利用多媒體為理工科及數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)等專業(yè)授課的實踐，談幾點在線性代數(shù)中利用多媒體教學(xué)的認識和體會。

1 多媒體教學(xué)的優(yōu)點

1.1 拓展視野、提高興趣

在課堂上講授線性代數(shù)知識的時候，基于多媒體圖文并茂的優(yōu)勢，可以補充與本課程相關(guān)的一些數(shù)學(xué)家（比如Cayley、Laplace）生平、學(xué)科的前沿知識，圖文并茂地引入課堂，將課程思政融入線性代數(shù)的教學(xué)過程，一方面可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，提高知識的應(yīng)用能力，另一方面還可以培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的審美能力，樹立正確的世界觀、人生觀、價值觀。

1.2 知識感官化、形象化

在課堂上，教師往往需要通過大量的實例進行講解，空間幾何理論為線性代數(shù)的課堂教學(xué)提供了大量形象而具體的例子，實踐證明，這些具體例子對于幫助學(xué)生全面理解抽象的概念和有關(guān)的理論起了重要的作用。然而，一些幾何的圖形在傳統(tǒng)教學(xué)的條件下展示比較困難，運用多媒體技術(shù)可以將三維圖形進行動態(tài)展示，可以直觀地將一些圖像和性質(zhì)顯現(xiàn)出來。例如，讓一個教師在課堂上手繪二次型36z= 4x2-9y2所代表的圖形（俗稱馬鞍面）并描述其截面形狀，顯然作圖比較費時、費力，而且效果未必理想，如果利用Matlab模擬這個曲面的形狀，通過多媒體來展示可化抽象為直觀，學(xué)生一目了然。另外，課堂教學(xué)中，教師經(jīng)常要做的事情是將知識點進行歸納和總結(jié)，但是有些內(nèi)容不適合用板書呈現(xiàn)，例如，對于n元半正定二次型f(x) =xTAx，下列條件[9]等價:

（1）f(x) 半正定；

（2）f(x) 的正慣性指數(shù)與秩相等；

（3）f(x) 標(biāo)準(zhǔn)形無負平方項；

（4）f(x) 的規(guī)范形為其中r為f(x) 的秩；

（5）矩陣A的特征值非負；

（6）存在m×n矩陣C，使A=CTC；

（7）矩陣A的所有主子式非負。

像這種結(jié)論較多的知識點歸納不適合用板書展示，否則會浪費課堂時間。顯而易見，進行知識總結(jié)時，利用多媒體圖表動畫的方式呈現(xiàn)要比黑板書寫的效果好。

1.3 增加課堂容量、提高課堂效率

矩陣的初等變換在求矩陣的逆、解線性方程組等問題時非常有效，這種類型的題目在黑板上完整的寫出解題過程不僅會占用的大量的篇幅，而且會耗費太多的時間，教師的課堂效率必然受到影響。如果能夠合理利用多媒體展示這樣的內(nèi)容，那么教師自然省去了大量板書的時間，就有了更多的時間來關(guān)注教學(xué)內(nèi)容的設(shè)計與講授，學(xué)生也有了課堂練習(xí)的時間，增加了課堂教學(xué)所包含的信息量。比如，在代數(shù)學(xué)中一個非常經(jīng)典的問題是矩陣的滿秩分解（即把一個矩陣分解為一個列滿秩和一個行滿秩矩陣的乘積），來看一個具體例子：

根據(jù)初等變換與初等矩陣的一一對應(yīng)關(guān)系，上面過程可以表示成初等矩陣的乘積：

就是一個滿秩分解。從上面過程看出，如果利用板書展示全部過程是比較費時，借助多媒體效果較好。

1.4 突出教學(xué)重點，提高教學(xué)效果

傳統(tǒng)的教學(xué)手段通常通過教師講課聲音的大小、節(jié)奏的掌握、語速的快慢、語調(diào)的高低等來突出教學(xué)中的重難點內(nèi)容。多媒體輔助教學(xué)可以將教學(xué)中易錯的地方和重難點等通過字體大小、動畫、顏色變化和音響等方式來引起學(xué)生的注意，教學(xué)形式上更加豐富多元，教學(xué)過程更加生動形象，幫助學(xué)生加深對知識的理解和消化，教學(xué)感染力明顯增強。

1.5 增加專業(yè)案例，促進能力培養(yǎng)

培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識和能力非常重要，在教學(xué)中加入數(shù)學(xué)實驗是一個非常好的舉措。目前滁州學(xué)院采用的自編教材《線性代數(shù)及其應(yīng)用》已經(jīng)將每一章的最后一節(jié)加入利用MATLAB解決問題的案例，利用線性代數(shù)所學(xué)知識將一些實際問題進行建模并用數(shù)學(xué)軟件求解(比如，人口遷移模型、電網(wǎng)模型、離散動態(tài)系統(tǒng)模型等)，不僅可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情，而且可以培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力。比如在講到可逆矩陣問題時，可以介紹逆矩陣在密碼學(xué)中的一個簡單應(yīng)用。先在字母與數(shù)字間建立起一一對應(yīng)關(guān)系：

如果要發(fā)出信息ACTION，使用上述代碼，此信息的編碼是：1，3，20，9，15，14。寫成兩個向量

現(xiàn)任選一可逆矩陣，例如

于是可將要傳出的信息列向量經(jīng)乘以A編成密碼后發(fā)出，

在收到信息：67，28，75，81，62，129后，利用下面關(guān)系予以解碼：

從而生成有效信息：ACTION。一個簡單的例子使學(xué)生了解到利用矩陣概念如何把明文加密為密文，密文又如何解密成明文，進行信息傳遞的技術(shù)手段，激發(fā)學(xué)生對課程的好奇心和求知欲。

2 多媒體教學(xué)的缺點

2.1 信息容量太大造成學(xué)生思維不能及時跟進

在制作多媒體課件時，內(nèi)容力求少而精、條理清楚，內(nèi)容太多容易造成重點不突出，反而起不到好的效果。此外，教師在上課時要隨時注意觀察學(xué)生的面部表情和眼神變化，控制好課堂節(jié)奏，講解速度要恰到好處，否則速度太快容易造成學(xué)生思維跟不上教師的步伐，無法保證課堂教學(xué)的效果。

2.2 教師的主導(dǎo)作用難以發(fā)揮

多媒體教學(xué)中，少數(shù)教師過分依賴多媒體課件，教學(xué)過程變成了播放課件，教師成了畫面講解員，教材被課件所代替，教師在教學(xué)中的主導(dǎo)作用發(fā)揮不出來，更無法體現(xiàn)以學(xué)生為中心的基本理念，學(xué)生對于相關(guān)理論掌握不好。須知，課堂情況要學(xué)會靈活處理，上課不是一成不變的讀課件或照本宣科，要讓多媒體輔助教學(xué)真正發(fā)揮作用。

2.3 數(shù)學(xué)思維的表現(xiàn)力差

多媒體的確可以增大教學(xué)信息量，但是在整個教學(xué)過程中自始至終都用多媒體極易造成學(xué)生思維跟不上，增加消化知識的難度。特別是在講解一些定理的證明、復(fù)雜例題的推導(dǎo)，多媒體往往會把若干步驟合并在一起，學(xué)生自由思考的時間太短，學(xué)生分析問題的能力得不到有效訓(xùn)練。顯然，從思維的表現(xiàn)力上來說，“黑板+粉筆”比多媒體更勝一籌。

2.4 制作課件需要耗費時間和精力

制作多媒體課件往往需要一些軟件（如Flash、Photoshop、PowerPoint、Authorware），這就要求教師具備較好的計算機基礎(chǔ)，只有這樣，他們才能根據(jù)不同教學(xué)內(nèi)容的需要去制作課件，而且教師必須要有充足的時間和充沛的精力。總之，制作一個內(nèi)容豐富且適合自己的課件其實并不簡單。

3 多媒體輔助教學(xué)案例

下面一個案例以“師生問答”的形式，用5個步驟來展示多媒體在線性代數(shù)具體知識點教學(xué)過程中的發(fā)揮的輔助作用。

（1） 步驟一（問題引入）

【師】 讓學(xué)生驗算二次方程3x2-2xy+ 3y2= 4經(jīng)過變換

得到什么方程？

【師】 PPT展示圖形并分析過程：將坐標(biāo)系逆時針旋轉(zhuǎn)45°得新坐標(biāo)系x′oy′，原來的橢圓由“歪”變“正”。

【師生】 得到結(jié)論：二元二次齊次多項式可經(jīng)過適當(dāng)?shù)男D(zhuǎn)（可逆變換）換化為標(biāo)準(zhǔn)形。

（2）步驟二（提出并分析問題）

【師】 提出問題讓學(xué)生思考：n元二次齊次多項式是否也可以找到適當(dāng)?shù)目赡孀儞Q，化為只含平方項的形式呢？

【師】 板書展示并分析：

n元二次型=YT(CTAC)Y化為標(biāo)準(zhǔn)形，這里g(Y)的矩陣CTAC=D=diag(d1,d2,…,dn)。

【師】λ1,λ2,…,λn是否為矩陣A的全部特征值？

【師】 板書展示下面內(nèi)容

對于實對稱矩陣A，存在C-1=CT，滿足C-1AC=CTAQ=D=diag(λ1,λ2,…,λn)。

【師】 PPT呈現(xiàn)分析問題的結(jié)果：即下面的定理。

（3）步驟三（主軸定理）

對于任意n元二次型f(X) =XTAX，一定存在正交變換X=QY，使二次型f(X)化為標(biāo)準(zhǔn)形g(Y) =，其中λ1,λ2,…,λn為矩陣A的全部特征值。

【師】 提醒學(xué)生定理中的正交矩陣是否唯一？實對稱矩陣對角化問題的主要步驟？

【生】 回答上述問題。

【師】 PPT呈現(xiàn)二次型化標(biāo)準(zhǔn)形的“五部曲”

1）寫出二次型f(X)的矩陣A；

2）解出A的所有特征值λ1,λ2,…,λn；

3）求出對應(yīng)于特征值的全部線性無關(guān)的特征向量α1,α2,…,αn；

4）正交化、單位化得γ1,γ2,…,γn，記Q=(γ1,γ2,…,γn)；

5）作正交變換X=QY，得f(X)的標(biāo)準(zhǔn)形g(Y)

提醒學(xué)生：上述步驟中的（2）、（3）、（4）恰好是對稱矩陣對角化的步驟。

【師】 PPT再次展現(xiàn)引例，并解釋主軸定理在該例中的意義。

（4） 步驟四（例題演示）

【師】 PPT展示下面例題的完整過程。用正交變換化二次型

為標(biāo)準(zhǔn)形，并求出所用正交變換。

解：1）二次型f(X)的矩陣為

2）A的特征值為λ1=λ2=1,λ3=10；

【師】 提問學(xué)生怎樣從側(cè)面驗證所求特征值是否正確？

【生】 通過矩陣的跡的性質(zhì)：即特征值之和等于矩陣對角線元素之和。

3）求出3個特征向量；

4）Schmidt正交化、單位化得Q=(γ1,γ2,γ3)為正交矩陣；

5）正交變換X=QY將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形g(y1,

【師】 提問學(xué)生對二次型賦值為1，前后兩個曲面分別表示什么圖形？

【生】 學(xué)生容易判讀變換后為橢球面，變換前未必看出。

【師】 利用PPT展示不同坐標(biāo)系中的橢球面，給學(xué)生造成視覺上的沖擊，并要求感興趣的學(xué)生課下用MATLAB嘗試進行二次型的標(biāo)準(zhǔn)形和二次曲（線）面方程化簡的實驗。

（5） 步驟五（課堂練習(xí)）

【師】 PPT展示課堂練習(xí)題目，只要求學(xué)生計算出特征值即可。

【生】 草稿紙進行驗算。

通過以上步驟就完成了正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的教學(xué)過程，在此過程中多媒體輔助教學(xué)的作用凸顯得非常清楚。

4 多媒體教學(xué)的幾點思考

4.1 多媒體教學(xué)與傳統(tǒng)教學(xué)相輔相成

教學(xué)中發(fā)現(xiàn)有的教師整堂課都在播放多媒體課件，效果肯定不理想，對于一些重要的定理、命題的推導(dǎo)，比如向量組線性相關(guān)性的證明，最好還是在黑板上進行，這樣不僅有助于引導(dǎo)學(xué)生思考，而且還有助于學(xué)生及時消化知識。對于常規(guī)的概念、普通的驗證等完全可以用多媒體來展示。

4.2 加強師生互動

學(xué)生在多媒體課堂上眼睛更多的時候會盯著屏幕，此時教師不能被講臺和顯示器束縛，可以采用激光筆來控制多媒體課件，要在教室中來回走動，積極采用互動式、啟發(fā)式教學(xué)，發(fā)揮教師肢體語言的作用，引起學(xué)生共鳴，教師通過大量的設(shè)問、反問加強與學(xué)生之間的互動和交流，學(xué)生可以自由地發(fā)表自己的意見和想法，切實提高課堂教學(xué)質(zhì)量。傳統(tǒng)的線性代數(shù)課時少、內(nèi)容多、板書多，課堂互動環(huán)節(jié)較少，而多媒體輔助教學(xué)為互動式教學(xué)創(chuàng)造了條件，教學(xué)中堅持“課前提問、課上提問、課后提問”可以提高學(xué)生課堂學(xué)習(xí)的參與度。

4.3 學(xué)習(xí)資源網(wǎng)絡(luò)化

對于課程的教學(xué)資源實行網(wǎng)絡(luò)化，充分利用超星學(xué)習(xí)通、雨課堂等平臺，及時將相關(guān)授課資源（課件、教案、視頻、測試題、拓展材料等）上傳，便于學(xué)生自由學(xué)習(xí)。目前滁州學(xué)院多數(shù)課程都建有網(wǎng)絡(luò)資源（畢博平臺、泛雅平臺及AHMOOC），學(xué)生可以在線進行課前預(yù)習(xí)、模擬測試、查閱資料、課后復(fù)習(xí)，增強了自主學(xué)習(xí)的積極性，學(xué)習(xí)效果將得到大幅度提高。教師通過網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺進行教學(xué)管理，極大提高了工作效率。 因此，完備的網(wǎng)絡(luò)資源庫不論是從空間還是時間上來說都是對課堂教學(xué)的一種有益的補充。

4.4 掌握好課堂教學(xué)節(jié)奏，注意及時歸納總結(jié)

精心設(shè)計好教學(xué)環(huán)節(jié)是極其重要的一環(huán)，哪些內(nèi)容先呈現(xiàn)、哪些后呈現(xiàn)、怎樣呈現(xiàn)，都要事先設(shè)計好，不僅要重難點突出，還要講解到位、畫面同步、課堂流暢、掌握好課堂節(jié)奏。板書教學(xué)模式下，在課堂上做練習(xí)基本不可能，但在多媒體輔助教學(xué)的情況下，可以在制作課件時精心設(shè)計課堂練習(xí)，因此“現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用、現(xiàn)炒現(xiàn)賣”的課堂練習(xí)變?yōu)榭赡埽瑢W(xué)生的學(xué)習(xí)效果顯著提高。在授課過程中，教師及時對所學(xué)知識進行歸納、比較和總結(jié)是必要的，比如在矩陣問題中有三個非常重要的概念：矩陣等價、矩陣相似和矩陣合同。學(xué)生對這三個概念比較容易產(chǎn)生混淆，為此在比較定義的基礎(chǔ)上，直觀地畫出關(guān)系圖幫助學(xué)生更好地理解他們的內(nèi)在關(guān)系（圖1）。

圖 1 矩陣等價、相似、合同關(guān)系圖

5 結(jié)束語

教學(xué)是一門學(xué)問也是一門藝術(shù)，“教無定法，貴在得法”，多媒體教學(xué)和傳統(tǒng)模式有著自己的優(yōu)勢和劣勢。在實際教學(xué)過程中，根據(jù)具體內(nèi)容的需要，可以單純只用板書授課，也可以借助多媒體輔助教學(xué)，甚至實施微課、翻轉(zhuǎn)課堂等教學(xué)模式，只有不斷進行深入探索和嘗試，才能達到預(yù)期的教學(xué)效果。