黃述亮

（滁州學(xué)院 數(shù)學(xué)與金融學(xué)院，安徽 滁州 239000）

線性代數(shù)是代數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，主要研究目標(biāo)是線性關(guān)系問題，而線性問題在科學(xué)技術(shù)的各個(gè)領(lǐng)域中到處可見，而且某些非線性問題在一定條件下能夠轉(zhuǎn)化為線性問題來處理，因此線性代數(shù)的理論和方法已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于多個(gè)學(xué)科（比如密碼學(xué)、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)等），特別是其中包含的矩陣思想和方法在日常生活中處處可見。線性代數(shù)與另外幾門大學(xué)數(shù)學(xué)課程（高等數(shù)學(xué)、概率統(tǒng)計(jì)、復(fù)變函數(shù)與積分變換）相比，更加抽象，線性代數(shù)課程中涉及的基本概念、性質(zhì)、定理更加抽象難懂，要真正學(xué)精、學(xué)透并不容易，因此，對(duì)于初學(xué)者而言，學(xué)習(xí)起來有很大難度。傳統(tǒng)的重理論輕應(yīng)用的教學(xué)模式已經(jīng)不能滿足培養(yǎng)學(xué)生能力的需求，這就需要教師在講課過程中選擇合適的教學(xué)方法和教學(xué)手段。目前，很多專家學(xué)者認(rèn)為實(shí)施以成果為導(dǎo)向的OBE（Outcome based education）教育理念和方法是追求卓越教育和創(chuàng)新人才的有效途徑[1]，在工程認(rèn)證和師范類專業(yè)認(rèn)證中都要有效落實(shí)。線性代數(shù)課程中的很多概念比較抽象，教學(xué)中要以學(xué)生為中心，抽象問題需要具體化、形象化，為此可以把幾何直觀和案例等作為切入點(diǎn)，比如討論線性方程組解的情況時(shí)，可以借助中學(xué)的二元一次方程組來引入。具體而言，二元一次方程看成是一條直線，從而方程組解的問題轉(zhuǎn)換為同一平面上兩條直線的位置關(guān)系，于是直線相交對(duì)應(yīng)方程組有唯一解；直線重合對(duì)應(yīng)方程組有無窮多解；直線平行對(duì)應(yīng)方程組無解，學(xué)生很容易理解這樣的解釋。目前很多學(xué)者對(duì)多媒體輔助教學(xué)進(jìn)行了深入研究[2-8]，提出了一些好的策略，從中可以得到很多有益的啟發(fā)。

筆者長(zhǎng)期從事代數(shù)類課程（線性代數(shù)、高等代數(shù)）的教學(xué)工作，文章基于OBE模式下注重學(xué)生獲得能力與成果的基本理念，結(jié)合近年來利用多媒體為理工科及數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)等專業(yè)授課的實(shí)踐，談幾點(diǎn)在線性代數(shù)中利用多媒體教學(xué)的認(rèn)識(shí)和體會(huì)。

1 多媒體教學(xué)的優(yōu)點(diǎn)

1.1 拓展視野、提高興趣

在課堂上講授線性代數(shù)知識(shí)的時(shí)候，基于多媒體圖文并茂的優(yōu)勢(shì)，可以補(bǔ)充與本課程相關(guān)的一些數(shù)學(xué)家（比如Cayley、Laplace）生平、學(xué)科的前沿知識(shí)，圖文并茂地引入課堂，將課程思政融入線性代數(shù)的教學(xué)過程，一方面可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，提高知識(shí)的應(yīng)用能力，另一方面還可以培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的審美能力，樹立正確的世界觀、人生觀、價(jià)值觀。

1.2 知識(shí)感官化、形象化

在課堂上，教師往往需要通過大量的實(shí)例進(jìn)行講解，空間幾何理論為線性代數(shù)的課堂教學(xué)提供了大量形象而具體的例子，實(shí)踐證明，這些具體例子對(duì)于幫助學(xué)生全面理解抽象的概念和有關(guān)的理論起了重要的作用。然而，一些幾何的圖形在傳統(tǒng)教學(xué)的條件下展示比較困難，運(yùn)用多媒體技術(shù)可以將三維圖形進(jìn)行動(dòng)態(tài)展示，可以直觀地將一些圖像和性質(zhì)顯現(xiàn)出來。例如，讓一個(gè)教師在課堂上手繪二次型36z= 4x2-9y2所代表的圖形（俗稱馬鞍面）并描述其截面形狀，顯然作圖比較費(fèi)時(shí)、費(fèi)力，而且效果未必理想，如果利用Matlab模擬這個(gè)曲面的形狀，通過多媒體來展示可化抽象為直觀，學(xué)生一目了然。另外，課堂教學(xué)中，教師經(jīng)常要做的事情是將知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行歸納和總結(jié)，但是有些內(nèi)容不適合用板書呈現(xiàn)，例如，對(duì)于n元半正定二次型f(x) =xTAx，下列條件[9]等價(jià):

（1）f(x) 半正定；

（2）f(x) 的正慣性指數(shù)與秩相等；

（3）f(x) 標(biāo)準(zhǔn)形無負(fù)平方項(xiàng)；

（4）f(x) 的規(guī)范形為其中r為f(x) 的秩；

（5）矩陣A的特征值非負(fù)；

（6）存在m×n矩陣C，使A=CTC；

（7）矩陣A的所有主子式非負(fù)。

像這種結(jié)論較多的知識(shí)點(diǎn)歸納不適合用板書展示，否則會(huì)浪費(fèi)課堂時(shí)間。顯而易見，進(jìn)行知識(shí)總結(jié)時(shí)，利用多媒體圖表動(dòng)畫的方式呈現(xiàn)要比黑板書寫的效果好。

1.3 增加課堂容量、提高課堂效率

矩陣的初等變換在求矩陣的逆、解線性方程組等問題時(shí)非常有效，這種類型的題目在黑板上完整的寫出解題過程不僅會(huì)占用的大量的篇幅，而且會(huì)耗費(fèi)太多的時(shí)間，教師的課堂效率必然受到影響。如果能夠合理利用多媒體展示這樣的內(nèi)容，那么教師自然省去了大量板書的時(shí)間，就有了更多的時(shí)間來關(guān)注教學(xué)內(nèi)容的設(shè)計(jì)與講授，學(xué)生也有了課堂練習(xí)的時(shí)間，增加了課堂教學(xué)所包含的信息量。比如，在代數(shù)學(xué)中一個(gè)非常經(jīng)典的問題是矩陣的滿秩分解（即把一個(gè)矩陣分解為一個(gè)列滿秩和一個(gè)行滿秩矩陣的乘積），來看一個(gè)具體例子：

根據(jù)初等變換與初等矩陣的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，上面過程可以表示成初等矩陣的乘積：

就是一個(gè)滿秩分解。從上面過程看出，如果利用板書展示全部過程是比較費(fèi)時(shí)，借助多媒體效果較好。

1.4 突出教學(xué)重點(diǎn)，提高教學(xué)效果

傳統(tǒng)的教學(xué)手段通常通過教師講課聲音的大小、節(jié)奏的掌握、語速的快慢、語調(diào)的高低等來突出教學(xué)中的重難點(diǎn)內(nèi)容。多媒體輔助教學(xué)可以將教學(xué)中易錯(cuò)的地方和重難點(diǎn)等通過字體大小、動(dòng)畫、顏色變化和音響等方式來引起學(xué)生的注意，教學(xué)形式上更加豐富多元，教學(xué)過程更加生動(dòng)形象，幫助學(xué)生加深對(duì)知識(shí)的理解和消化，教學(xué)感染力明顯增強(qiáng)。

1.5 增加專業(yè)案例，促進(jìn)能力培養(yǎng)

培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和能力非常重要，在教學(xué)中加入數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是一個(gè)非常好的舉措。目前滁州學(xué)院采用的自編教材《線性代數(shù)及其應(yīng)用》已經(jīng)將每一章的最后一節(jié)加入利用MATLAB解決問題的案例，利用線性代數(shù)所學(xué)知識(shí)將一些實(shí)際問題進(jìn)行建模并用數(shù)學(xué)軟件求解(比如，人口遷移模型、電網(wǎng)模型、離散動(dòng)態(tài)系統(tǒng)模型等)，不僅可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情，而且可以培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力。比如在講到可逆矩陣問題時(shí)，可以介紹逆矩陣在密碼學(xué)中的一個(gè)簡(jiǎn)單應(yīng)用。先在字母與數(shù)字間建立起一一對(duì)應(yīng)關(guān)系：

如果要發(fā)出信息ACTION，使用上述代碼，此信息的編碼是：1，3，20，9，15，14。寫成兩個(gè)向量

現(xiàn)任選一可逆矩陣，例如

于是可將要傳出的信息列向量經(jīng)乘以A編成密碼后發(fā)出，

在收到信息：67，28，75，81，62，129后，利用下面關(guān)系予以解碼：

從而生成有效信息：ACTION。一個(gè)簡(jiǎn)單的例子使學(xué)生了解到利用矩陣概念如何把明文加密為密文，密文又如何解密成明文，進(jìn)行信息傳遞的技術(shù)手段，激發(fā)學(xué)生對(duì)課程的好奇心和求知欲。

2 多媒體教學(xué)的缺點(diǎn)

2.1 信息容量太大造成學(xué)生思維不能及時(shí)跟進(jìn)

在制作多媒體課件時(shí)，內(nèi)容力求少而精、條理清楚，內(nèi)容太多容易造成重點(diǎn)不突出，反而起不到好的效果。此外，教師在上課時(shí)要隨時(shí)注意觀察學(xué)生的面部表情和眼神變化，控制好課堂節(jié)奏，講解速度要恰到好處，否則速度太快容易造成學(xué)生思維跟不上教師的步伐，無法保證課堂教學(xué)的效果。

2.2 教師的主導(dǎo)作用難以發(fā)揮

多媒體教學(xué)中，少數(shù)教師過分依賴多媒體課件，教學(xué)過程變成了播放課件，教師成了畫面講解員，教材被課件所代替，教師在教學(xué)中的主導(dǎo)作用發(fā)揮不出來，更無法體現(xiàn)以學(xué)生為中心的基本理念，學(xué)生對(duì)于相關(guān)理論掌握不好。須知，課堂情況要學(xué)會(huì)靈活處理，上課不是一成不變的讀課件或照本宣科，要讓多媒體輔助教學(xué)真正發(fā)揮作用。

2.3 數(shù)學(xué)思維的表現(xiàn)力差

多媒體的確可以增大教學(xué)信息量，但是在整個(gè)教學(xué)過程中自始至終都用多媒體極易造成學(xué)生思維跟不上，增加消化知識(shí)的難度。特別是在講解一些定理的證明、復(fù)雜例題的推導(dǎo)，多媒體往往會(huì)把若干步驟合并在一起，學(xué)生自由思考的時(shí)間太短，學(xué)生分析問題的能力得不到有效訓(xùn)練。顯然，從思維的表現(xiàn)力上來說，“黑板+粉筆”比多媒體更勝一籌。

2.4 制作課件需要耗費(fèi)時(shí)間和精力

制作多媒體課件往往需要一些軟件（如Flash、Photoshop、PowerPoint、Authorware），這就要求教師具備較好的計(jì)算機(jī)基礎(chǔ)，只有這樣，他們才能根據(jù)不同教學(xué)內(nèi)容的需要去制作課件，而且教師必須要有充足的時(shí)間和充沛的精力?？傊谱饕粋€(gè)內(nèi)容豐富且適合自己的課件其實(shí)并不簡(jiǎn)單。

3 多媒體輔助教學(xué)案例

下面一個(gè)案例以“師生問答”的形式，用5個(gè)步驟來展示多媒體在線性代數(shù)具體知識(shí)點(diǎn)教學(xué)過程中的發(fā)揮的輔助作用。

（1） 步驟一（問題引入）

【師】 讓學(xué)生驗(yàn)算二次方程3x2-2xy+ 3y2= 4經(jīng)過變換

得到什么方程？

【師】 PPT展示圖形并分析過程：將坐標(biāo)系逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得新坐標(biāo)系x′oy′，原來的橢圓由“歪”變“正”。

【師生】 得到結(jié)論：二元二次齊次多項(xiàng)式可經(jīng)過適當(dāng)?shù)男D(zhuǎn)（可逆變換）換化為標(biāo)準(zhǔn)形。

（2）步驟二（提出并分析問題）

【師】 提出問題讓學(xué)生思考：n元二次齊次多項(xiàng)式是否也可以找到適當(dāng)?shù)目赡孀儞Q，化為只含平方項(xiàng)的形式呢？

【師】 板書展示并分析：

n元二次型=YT(CTAC)Y化為標(biāo)準(zhǔn)形，這里g(Y)的矩陣CTAC=D=diag(d1,d2,…,dn)。

【師】λ1,λ2,…,λn是否為矩陣A的全部特征值？

【師】 板書展示下面內(nèi)容

對(duì)于實(shí)對(duì)稱矩陣A，存在C-1=CT，滿足C-1AC=CTAQ=D=diag(λ1,λ2,…,λn)。

【師】 PPT呈現(xiàn)分析問題的結(jié)果：即下面的定理。

（3）步驟三（主軸定理）

對(duì)于任意n元二次型f(X) =XTAX，一定存在正交變換X=QY，使二次型f(X)化為標(biāo)準(zhǔn)形g(Y) =，其中λ1,λ2,…,λn為矩陣A的全部特征值。

【師】 提醒學(xué)生定理中的正交矩陣是否唯一？實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)角化問題的主要步驟？

【生】 回答上述問題。

【師】 PPT呈現(xiàn)二次型化標(biāo)準(zhǔn)形的“五部曲”

1）寫出二次型f(X)的矩陣A；

2）解出A的所有特征值λ1,λ2,…,λn；

3）求出對(duì)應(yīng)于特征值的全部線性無關(guān)的特征向量α1,α2,…,αn；

4）正交化、單位化得γ1,γ2,…,γn，記Q=(γ1,γ2,…,γn)；

5）作正交變換X=QY，得f(X)的標(biāo)準(zhǔn)形g(Y)

提醒學(xué)生：上述步驟中的（2）、（3）、（4）恰好是對(duì)稱矩陣對(duì)角化的步驟。

【師】 PPT再次展現(xiàn)引例，并解釋主軸定理在該例中的意義。

（4） 步驟四（例題演示）

【師】 PPT展示下面例題的完整過程。用正交變換化二次型

為標(biāo)準(zhǔn)形，并求出所用正交變換。

解：1）二次型f(X)的矩陣為

2）A的特征值為λ1=λ2=1,λ3=10；

【師】 提問學(xué)生怎樣從側(cè)面驗(yàn)證所求特征值是否正確？

【生】 通過矩陣的跡的性質(zhì)：即特征值之和等于矩陣對(duì)角線元素之和。

3）求出3個(gè)特征向量；

4）Schmidt正交化、單位化得Q=(γ1,γ2,γ3)為正交矩陣；

5）正交變換X=QY將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形g(y1,

【師】 提問學(xué)生對(duì)二次型賦值為1，前后兩個(gè)曲面分別表示什么圖形？

【生】 學(xué)生容易判讀變換后為橢球面，變換前未必看出。

【師】 利用PPT展示不同坐標(biāo)系中的橢球面，給學(xué)生造成視覺上的沖擊，并要求感興趣的學(xué)生課下用MATLAB嘗試進(jìn)行二次型的標(biāo)準(zhǔn)形和二次曲（線）面方程化簡(jiǎn)的實(shí)驗(yàn)。

（5） 步驟五（課堂練習(xí)）

【師】 PPT展示課堂練習(xí)題目，只要求學(xué)生計(jì)算出特征值即可。

【生】 草稿紙進(jìn)行驗(yàn)算。

通過以上步驟就完成了正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的教學(xué)過程，在此過程中多媒體輔助教學(xué)的作用凸顯得非常清楚。

4 多媒體教學(xué)的幾點(diǎn)思考

4.1 多媒體教學(xué)與傳統(tǒng)教學(xué)相輔相成

教學(xué)中發(fā)現(xiàn)有的教師整堂課都在播放多媒體課件，效果肯定不理想，對(duì)于一些重要的定理、命題的推導(dǎo)，比如向量組線性相關(guān)性的證明，最好還是在黑板上進(jìn)行，這樣不僅有助于引導(dǎo)學(xué)生思考，而且還有助于學(xué)生及時(shí)消化知識(shí)。對(duì)于常規(guī)的概念、普通的驗(yàn)證等完全可以用多媒體來展示。

4.2 加強(qiáng)師生互動(dòng)

學(xué)生在多媒體課堂上眼睛更多的時(shí)候會(huì)盯著屏幕，此時(shí)教師不能被講臺(tái)和顯示器束縛，可以采用激光筆來控制多媒體課件，要在教室中來回走動(dòng)，積極采用互動(dòng)式、啟發(fā)式教學(xué)，發(fā)揮教師肢體語言的作用，引起學(xué)生共鳴，教師通過大量的設(shè)問、反問加強(qiáng)與學(xué)生之間的互動(dòng)和交流，學(xué)生可以自由地發(fā)表自己的意見和想法，切實(shí)提高課堂教學(xué)質(zhì)量。傳統(tǒng)的線性代數(shù)課時(shí)少、內(nèi)容多、板書多，課堂互動(dòng)環(huán)節(jié)較少，而多媒體輔助教學(xué)為互動(dòng)式教學(xué)創(chuàng)造了條件，教學(xué)中堅(jiān)持“課前提問、課上提問、課后提問”可以提高學(xué)生課堂學(xué)習(xí)的參與度。

4.3 學(xué)習(xí)資源網(wǎng)絡(luò)化

對(duì)于課程的教學(xué)資源實(shí)行網(wǎng)絡(luò)化，充分利用超星學(xué)習(xí)通、雨課堂等平臺(tái)，及時(shí)將相關(guān)授課資源（課件、教案、視頻、測(cè)試題、拓展材料等）上傳，便于學(xué)生自由學(xué)習(xí)。目前滁州學(xué)院多數(shù)課程都建有網(wǎng)絡(luò)資源（畢博平臺(tái)、泛雅平臺(tái)及AHMOOC），學(xué)生可以在線進(jìn)行課前預(yù)習(xí)、模擬測(cè)試、查閱資料、課后復(fù)習(xí)，增強(qiáng)了自主學(xué)習(xí)的積極性，學(xué)習(xí)效果將得到大幅度提高。教師通過網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺(tái)進(jìn)行教學(xué)管理，極大提高了工作效率。 因此，完備的網(wǎng)絡(luò)資源庫不論是從空間還是時(shí)間上來說都是對(duì)課堂教學(xué)的一種有益的補(bǔ)充。

4.4 掌握好課堂教學(xué)節(jié)奏，注意及時(shí)歸納總結(jié)

精心設(shè)計(jì)好教學(xué)環(huán)節(jié)是極其重要的一環(huán)，哪些內(nèi)容先呈現(xiàn)、哪些后呈現(xiàn)、怎樣呈現(xiàn)，都要事先設(shè)計(jì)好，不僅要重難點(diǎn)突出，還要講解到位、畫面同步、課堂流暢、掌握好課堂節(jié)奏。板書教學(xué)模式下，在課堂上做練習(xí)基本不可能，但在多媒體輔助教學(xué)的情況下，可以在制作課件時(shí)精心設(shè)計(jì)課堂練習(xí)，因此“現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用、現(xiàn)炒現(xiàn)賣”的課堂練習(xí)變?yōu)榭赡?，學(xué)生的學(xué)習(xí)效果顯著提高。在授課過程中，教師及時(shí)對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行歸納、比較和總結(jié)是必要的，比如在矩陣問題中有三個(gè)非常重要的概念：矩陣等價(jià)、矩陣相似和矩陣合同。學(xué)生對(duì)這三個(gè)概念比較容易產(chǎn)生混淆，為此在比較定義的基礎(chǔ)上，直觀地畫出關(guān)系圖幫助學(xué)生更好地理解他們的內(nèi)在關(guān)系（圖1）。

圖 1 矩陣等價(jià)、相似、合同關(guān)系圖

5 結(jié)束語

教學(xué)是一門學(xué)問也是一門藝術(shù)，“教無定法，貴在得法”，多媒體教學(xué)和傳統(tǒng)模式有著自己的優(yōu)勢(shì)和劣勢(shì)。在實(shí)際教學(xué)過程中，根據(jù)具體內(nèi)容的需要，可以單純只用板書授課，也可以借助多媒體輔助教學(xué)，甚至實(shí)施微課、翻轉(zhuǎn)課堂等教學(xué)模式，只有不斷進(jìn)行深入探索和嘗試，才能達(dá)到預(yù)期的教學(xué)效果。