彭偉超，黃劍鋒，魏曉慧

（惠州學(xué)院 電子信息與電氣工程學(xué)院，廣東 惠州 516007）

精密加工機(jī)床廣泛用于航空、手機(jī)、汽車、儀器儀表等領(lǐng)域內(nèi)精密零部件制造［1-2］.誤差測(cè)量作為提高機(jī)床幾何精度基礎(chǔ)的環(huán)節(jié)，如何準(zhǔn)確測(cè)量或辨識(shí)誤差項(xiàng)成為國(guó)內(nèi)外學(xué)者關(guān)注的焦點(diǎn)［3］.由于誤差辨識(shí)需借助測(cè)量?jī)x器的空間位姿，空間位姿的擺放誤差影響機(jī)床的測(cè)量精度，故需對(duì)機(jī)床測(cè)量誤差辨識(shí)模型進(jìn)行誤差敏感度分析.

由于直接測(cè)量機(jī)床誤差非常耗時(shí)且復(fù)雜［4］，間接的數(shù)控機(jī)床空間誤差測(cè)量辨識(shí)方法引起了國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者進(jìn)行廣泛而深入的研究，先后出現(xiàn)了9線法［5］、10線法［6］，14線法［7］、激光跟蹤法［8］、基于激光干涉儀三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)綜合誤差檢定［9］和基于開普勒激光干涉儀分步對(duì)角線法［10］等.其中，九線法是一般辨識(shí)3軸機(jī)床誤差項(xiàng)常用的方法.目前國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者已應(yīng)用九線位移辨識(shí)法對(duì)3軸數(shù)控機(jī)床進(jìn)行誤差項(xiàng)的辨識(shí)和補(bǔ)償.如：劉又午［3］通過(guò)9線辨識(shí)法理論，辨識(shí)三坐標(biāo)立式加工中心整個(gè)工作空間共21項(xiàng)幾何誤差參數(shù)，并驗(yàn)證了方法的正確性；王金棟［8］以九線法的誤差分離原理為基礎(chǔ)，對(duì)雙驅(qū)立式銑床進(jìn)行幾何誤差分離；胡建忠［11］基于九線位移法對(duì)DM1007數(shù)控銑床進(jìn)行幾何誤差識(shí)別.目前針對(duì)測(cè)量?jī)x器擺放誤差的敏感度分析文獻(xiàn)還較少，基于九線法辨識(shí)高精度機(jī)床誤差項(xiàng)時(shí)，辨識(shí)精度有待進(jìn)一步提高.

在實(shí)際測(cè)量中由于九線法缺少分析角度偏差的影響，引起其辨識(shí)結(jié)果與真實(shí)測(cè)量結(jié)果之間存在差距［12］.本文針對(duì)九線法在實(shí)際測(cè)量中，在同一個(gè)基準(zhǔn)坐標(biāo)系下，不同的擺放位置對(duì)求解結(jié)果影響的情況，首先通過(guò)相鄰體運(yùn)動(dòng)位移誤差理論，建立九線法誤差辨識(shí)模型，然后通過(guò)矩陣微分法對(duì)九線法進(jìn)行單軸測(cè)量位置誤差敏感度分析，建立位置誤差敏感度數(shù)學(xué)模型，根據(jù)數(shù)學(xué)模型計(jì)算敏感度系數(shù)，最后根據(jù)系數(shù)的大小從而選擇最優(yōu)測(cè)量擺放位置，提高機(jī)床空間誤差辨識(shí)的精度.

1 機(jī)床幾何誤差參數(shù)九線位移誤差辨識(shí)法

根據(jù)精密多軸數(shù)控機(jī)床的結(jié)構(gòu)和運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，分析其單軸運(yùn)動(dòng)平臺(tái)與基座的運(yùn)動(dòng)關(guān)系，用齊次變換矩陣表示運(yùn)動(dòng)平臺(tái)與基座的運(yùn)動(dòng)誤差量的關(guān)系，推導(dǎo)出運(yùn)動(dòng)平臺(tái)相對(duì)機(jī)床基座的特征矩陣和運(yùn)動(dòng)方程，建立兩相鄰體的運(yùn)動(dòng)誤差辨識(shí)模型.根據(jù)此辨識(shí)模型，通過(guò)測(cè)量運(yùn)動(dòng)軸的綜合誤差量，最后辨識(shí)出三軸機(jī)床的21項(xiàng)幾何誤差參數(shù)（表1）［3］.

表1 三軸機(jī)床21項(xiàng)幾何誤差參數(shù)［3］

（續(xù)表1）

1.1 相鄰運(yùn)動(dòng)體間的運(yùn)動(dòng)誤差辨識(shí)模型

以機(jī)床單軸運(yùn)動(dòng)為例，機(jī)床運(yùn)動(dòng)部件Bk相對(duì)于基座Bj沿X運(yùn)動(dòng)軸作單向運(yùn)動(dòng)，通過(guò)多體系統(tǒng)理論，得出它們之間特征矩陣和運(yùn)動(dòng)方程（圖1）.

圖1描述了運(yùn)動(dòng)平臺(tái)Bk與相鄰基座Bj間的運(yùn)動(dòng)關(guān)系，圖中Oj、Qk、Ok分別表示基座Bj坐標(biāo)系、運(yùn)動(dòng)平臺(tái)Bk運(yùn)動(dòng)參考坐標(biāo)系、運(yùn)動(dòng)平臺(tái)Bk坐標(biāo)系；理想位置矢量、位置誤差矢量、實(shí)際位置矢量分別由Pkl、Pke、Pk表示；S lkh、S ekh、Skh分別表示運(yùn)動(dòng)平臺(tái)理想位移矢量、位移誤差矢量、實(shí)際位移矢量；rk是Bk上給定點(diǎn)P（激光測(cè)量點(diǎn)）的位置矢量，Pkh是P點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系下的位置矢量.

圖1 相鄰運(yùn)動(dòng)體運(yùn)動(dòng)原理

根據(jù)相鄰體間變換矩陣式［13］，運(yùn)動(dòng)平臺(tái)Bk相對(duì)于基座Bj沿X軸運(yùn)動(dòng)可如下式表示：

其中，kjT為兩相鄰體運(yùn)動(dòng)位移誤差矢量，kjTp為運(yùn)動(dòng)平臺(tái)Bk相對(duì)于基座Bj初始位置矢量,kjTpe為運(yùn)動(dòng)平臺(tái)Bk相對(duì)于基座Bj初始位置誤差矢量,kjTs為運(yùn)動(dòng)平臺(tái)Bk相對(duì)于基座Bj位移矢量，kjTse為運(yùn)動(dòng)平臺(tái)Bk相對(duì)于基座Bj位移誤差矢量.

運(yùn)動(dòng)平臺(tái)Bk沿X軸運(yùn)動(dòng)時(shí)，假設(shè)運(yùn)動(dòng)開始前Bk與Bj坐標(biāo)系重合（即Qk與Oj重合），可得Bk體上測(cè)量點(diǎn)在單向運(yùn)動(dòng)時(shí)的相對(duì)位置方程：

把式（1）代入式（2），得

其中，xkh、ykh、zkh分別為Pkh沿x、y、z方向位置矢量分量；Xk、Yk、Zk分別為rk沿x、y、z方向位置矢量分量.

測(cè)量點(diǎn)P從原點(diǎn)位置運(yùn)動(dòng)到第m位置時(shí)，其相對(duì)位移可由下式所示：

假設(shè)體坐標(biāo)系原點(diǎn)與其運(yùn)動(dòng)參考坐標(biāo)系原點(diǎn)重合，且各項(xiàng)誤差初始參數(shù)為零，則位移方程為：

式（5）就是相鄰運(yùn)動(dòng)體間的運(yùn)動(dòng)誤差辨識(shí)模型，根據(jù)此辨識(shí)模型，通過(guò)測(cè)量運(yùn)動(dòng)軸的綜合誤差量，即可辨識(shí)機(jī)床的幾何誤差參數(shù).

1.2 九線位移誤差辨識(shí)法理論

根據(jù)九線位移誤差辨識(shí)模型［1］，如圖2所示，點(diǎn)P（xi，yi，zi）（i=1，2，3）為工作臺(tái)局部坐標(biāo)系的測(cè)量點(diǎn)；對(duì)測(cè)量線1，同時(shí)測(cè)定其Y向和Z向直線度，X向定位誤差；對(duì)測(cè)量線2，同時(shí)測(cè)定其Y向直線度和X向定位誤差；對(duì)測(cè)量線3，測(cè)定其X向定位誤差.

把測(cè)量結(jié)果Δx 1(X)、Δy 1(X)、Δz 1(X)等代入式（6），可得以下方程：

用矩陣形式表示，令

則有

其中［EX］為系數(shù)矩陣，具體形式如下：

其中，（X1，Y1，Z1）、（X2，Y2，Z2）、（X3，Y3，Z3）分別為測(cè)量點(diǎn)P相對(duì)于工作臺(tái)局部坐標(biāo)系擺放第一、二、三點(diǎn)坐標(biāo)；

適當(dāng)選取各測(cè)量點(diǎn)位置，保證［Ex］系數(shù)矩陣滿秩，即可辨識(shí)出（δx（X），δy（X），δz（X），εx（x），εy（x），εz（x））.同理，可辨識(shí)出沿Y和Z向運(yùn)動(dòng)時(shí)的12項(xiàng)誤差參數(shù).由各軸的直線度誤差測(cè)量結(jié)果，計(jì)算出3項(xiàng)垂直度誤差［3］，因此，機(jī)床21項(xiàng)幾何誤差可由9條單坐標(biāo)移動(dòng)和直線度的綜合測(cè)量數(shù)據(jù)求解得出.

式（8）就是九線位移誤差辨識(shí)綜合模型，它由測(cè)量點(diǎn)的坐標(biāo)，綜合測(cè)量誤差值和單軸6項(xiàng)幾何誤差組成.由式（9）可以看出，公式中X1、Y1、Z1、X2、Y2、Z2、X3、Y3、Z3若存在誤差（即擺放反射鏡時(shí)產(chǎn)生位置誤差），則會(huì)影響辨識(shí)的結(jié)果.因此，基于位置誤差敏感度分析可以獲取對(duì)求解結(jié)果影響較小的測(cè)量?jī)x器擺放位置.

2 位置誤差敏感度識(shí)別

實(shí)際測(cè)量中，由于存在擺放誤差的影響，九線法在不同位置進(jìn)行布線測(cè)量，辨識(shí)出系統(tǒng)誤差項(xiàng)結(jié)果不盡相同.根據(jù)九線位移誤差辨識(shí)綜合模型，利用矩陣微分法建立基于擺放位置誤差敏感度分析的數(shù)學(xué)模型.通過(guò)計(jì)算誤差項(xiàng)基于位置變化敏感度系數(shù)大小，識(shí)別出對(duì)求解結(jié)果具有重要影響的關(guān)鍵性擺放位置，從而為九線法合理的布線提供重要的理論依據(jù).

2.1 基于位置誤差敏感度分析模型的建立

以Y軸運(yùn)動(dòng)為例，根據(jù)式（8），可以建立一般三軸機(jī)床的九線法辨識(shí)模型：

其中，［Δ（Y）］為激光干涉儀測(cè)得綜合誤差矢量：

［Ey］為系數(shù)矩陣：

［δy］為Y軸幾何誤差參數(shù)矩陣：

對(duì)式（11）求基于第三線的X3坐標(biāo)偏導(dǎo)，即運(yùn)動(dòng)線3的X坐標(biāo)位置變化時(shí)對(duì)空間誤差影響程度的大小，得：

通過(guò)對(duì)式（13）左右兩邊化簡(jiǎn)可得：

進(jìn)一步化簡(jiǎn)得：

其中，S稱為擺放誤差敏感度矩陣，并具有如下形式：

其中，

至此，求得擺放位置X3的誤差敏感度的表達(dá)式.采用同樣的方法，可以得到基于擺放位置X1，Y1，Z1，X2，Y2，Z2，Y3，Z3的變化誤差敏感度表達(dá)式.

2.2 位置誤差敏感度系數(shù)的識(shí)別

九線位移誤差辨識(shí)法的辨識(shí)精度受到測(cè)量點(diǎn)擺放位置精度的影響，每一項(xiàng)擺放位置的誤差對(duì)九線法辨識(shí)誤差都會(huì)有一定程度的影響，由式（11）可以看出，公式中X1，Y1，Z1，X2，Y2，Z2，X3，Y3，Z3若存在誤差，則會(huì)對(duì)幾何誤差的辨識(shí)存在影響

通過(guò)誤差敏感度求解可獲得測(cè)量?jī)x器位置誤差元素產(chǎn)生變化時(shí)對(duì)辨識(shí)結(jié)果的影響，根據(jù)式（8）和式（16）的敏感度矩陣可得，誤差敏感度矩陣系數(shù)越大，該位置若產(chǎn)生微小的誤差對(duì)空間誤差項(xiàng)的求解影響很大.因此，需要對(duì)機(jī)床進(jìn)行擺放誤差敏感度分析以獲取測(cè)量?jī)x器對(duì)辨識(shí)結(jié)果影響較小的位置.

以Y軸運(yùn)動(dòng)為例，由式（16）可以看出εx（X）為系統(tǒng)固有誤差.通過(guò)測(cè)量方案的調(diào)整，合理的分布測(cè)量點(diǎn)的位置改變敏感度系數(shù)矩陣S的數(shù)值達(dá)到減小擺放誤差對(duì)總的空間誤差求解的影響.

當(dāng)選定X1，Y1，Z1，X2，Y2，Z2，Y3，Z3的數(shù)值時(shí)，通常式（16）的分母和Z1-Z2的數(shù)值為正，當(dāng)X3越大時(shí)，敏感度系數(shù)矩陣S的數(shù)值會(huì)減小.即表明，當(dāng)我們進(jìn)行九線法辨識(shí)機(jī)床空間誤差項(xiàng)時(shí)，線3與線1盡可能橫跨整個(gè)工作空間，這樣辨識(shí)結(jié)果受到擺放誤差的影響較小，且辨識(shí)結(jié)果會(huì)較為精確.通過(guò)合理的擺放測(cè)量點(diǎn)能夠大大減小由于實(shí)際擺放誤差對(duì)求解結(jié)果造成的影響.以此為例，展開下面的試驗(yàn)驗(yàn)證.

3 結(jié)果與分析

本文采用RENISHAW XL-80激光干涉儀系統(tǒng)對(duì)三軸精密數(shù)控機(jī)床進(jìn)行九線法誤差辨識(shí)并驗(yàn)證敏感度模型以及上述結(jié)論的正確性，如圖3所示.

圖3 多軸精密數(shù)控機(jī)床現(xiàn)場(chǎng)測(cè)試圖

為了驗(yàn)證基于擺放誤差敏感度模型的可行性與第二節(jié)提出的結(jié)論的正確性.對(duì)4條運(yùn)動(dòng)線的布局如下所述：第1條運(yùn)動(dòng)線與第2條運(yùn)動(dòng)線有一定的高度差［4］，按照上述結(jié)論，第3條運(yùn)動(dòng)線與第1條運(yùn)動(dòng)線盡可能橫跨整個(gè)運(yùn)動(dòng)平臺(tái).第4條運(yùn)動(dòng)線與第3條運(yùn)動(dòng)線在空間中，保證其Y、Z坐標(biāo)相同，改變X坐標(biāo)的大小.機(jī)床的運(yùn)動(dòng)區(qū)域設(shè)定為-50～120 mm，且每運(yùn)動(dòng)10 mm測(cè)量一次，如此循環(huán)3次.當(dāng)X3越大時(shí)（即測(cè)量線3的X坐標(biāo)），敏感度系數(shù)矩陣S的數(shù)值越小，辨識(shí)誤差精度越精確的正確性.對(duì)4條運(yùn)動(dòng)線的布局與實(shí)驗(yàn)步驟如上所述大致一致，除了第4條運(yùn)動(dòng)線設(shè)置在第3條運(yùn)動(dòng)線與第1條運(yùn)動(dòng)線之間，具體見表2.

表2 運(yùn)動(dòng)線在測(cè)量平臺(tái)的空間坐標(biāo) mm

由2種測(cè)量方案基于X3變化的敏感度系數(shù)表（表3）可以看出：當(dāng)X3在250 mm處，各誤差項(xiàng)敏感系數(shù)比X3在135 mm處各誤差項(xiàng)敏感系數(shù)小.

表3 基于X3變化誤差敏感度系數(shù)

由2種方法檢測(cè)出定位誤差與實(shí)際誤差測(cè)量的偏差（圖4）可以看出：2種不同位置的擺放方式的辨識(shí)精度在-50～120 mm運(yùn)動(dòng)行程內(nèi)，誤差都在1 um以內(nèi)；X3在250 mm處的擺放方式在-50～120 mm運(yùn)動(dòng)行程內(nèi)辨識(shí)精度在0.6 um以內(nèi)，比X3在135 mm處的擺放方式辨識(shí)精度更高.從而驗(yàn)證了第二節(jié)所提出的假設(shè)，即通過(guò)合理的擺放測(cè)量點(diǎn)能夠大大減小由于實(shí)際擺放誤差對(duì)求解結(jié)果造成的影響.

圖4 2種方法檢測(cè)定位誤差與實(shí)際誤差測(cè)量的偏差

4 結(jié)論

基于多體系統(tǒng)理論和矩陣微分的方法，建立了考慮擺放位置誤差敏感度的九線位移誤差辨識(shí)的數(shù)學(xué)模型.實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明：利用本文的方法對(duì)多軸精密數(shù)控機(jī)床進(jìn)行各項(xiàng)幾何誤差的辨識(shí)，帶入誤差補(bǔ)償模型計(jì)算空間內(nèi)各點(diǎn)的測(cè)量誤差并利用軟件補(bǔ)償后，多軸精密機(jī)床單軸在170 mm測(cè)量范圍內(nèi)的最大測(cè)量誤差從3.677μm減小為0.613μm.通過(guò)位置誤差敏感度分析，分析了擺放位置誤差對(duì)誤差辨識(shí)的影響，通過(guò)數(shù)值計(jì)算，得出合理的布線策略，減小了擺放誤差對(duì)求解結(jié)果的影響.為機(jī)床高精度的測(cè)量提供了參考依據(jù).