張艷 胡躍華

特例法是研究、解決數(shù)學(xué)問題的一種簡單、常用的方法，它來源于特殊與一般的數(shù)學(xué)思想，其原理依據(jù)清晰、直觀、自然。是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識必須理解和掌握的基本方法之一。 它在解答數(shù)學(xué)各種題型或研究數(shù)學(xué)問題中都有巧妙的應(yīng)用，是一種得分的基本方法。

特殊與一般的數(shù)學(xué)思想：

根據(jù)數(shù)學(xué)原理，要證明一個(gè)命題是真命題，必須證明所有滿足條件的情形命題成立才行;而要否定一個(gè)命題，只要找到一個(gè)反例即可，即反駁。反例：即找到一個(gè)滿足條件而不能得出結(jié)論的例子，就可以否定這個(gè)結(jié)論。

一般成立特殊一定成立;

特殊成立一般不一定成立;

特殊不成立一般一定不成立.

我們可以巧妙地運(yùn)用特例法來解決數(shù)學(xué)問題。由于特例法是一種特殊的方法，它的應(yīng)用具有一定的局限性，雖然不能用來解決所有數(shù)學(xué)問題，但它是一種比較好的數(shù)學(xué)方法。主要有如下幾類問題可以使用特例法來解決。

一、利用特例法解答選擇題

有些選擇題可以用符合題設(shè)條件的某些特殊值代替有關(guān)字母;或者用符合題設(shè)條件的某個(gè)特殊圖形代替有關(guān)的一般圖形進(jìn)行具體的演算和推理，從而判斷各個(gè)選擇支的正確或錯(cuò)誤的方法。特例法是通過找特例來判斷錯(cuò)誤的選擇支，就能肯定正確的選擇支的方法， 它必須與排除法一起結(jié)合使用。

如果所給的問題比較難，比較抽象，比較復(fù)雜，可以通過特例法來解決。利用特殊與一般的思想，將一個(gè)較難的問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)相對較簡單的問題來解決。

通過比較，特例法是一種非常好的解答方法。

利用特例法解答選擇題需要注意以下幾個(gè)方面：

注意1：特例一定要滿足條件。它只能用來否定選項(xiàng)，而不能用來肯定選項(xiàng)。

注意2：選擇特例時(shí)要注意特例的類型。同一類型的特例選擇的次數(shù)不要太多，一般一種類型選擇一次。

注意3：特例選擇得越復(fù)雜，一次成功的概率就越大。但相對的運(yùn)算或分析就越復(fù)雜，要兩者兼顧。

注意4：越是難的問題，越劃算用特例法。

注意5：如果問題本身就是特殊情形的，不可以使用特例法。

注意6：答案中應(yīng)該有的元素，在選項(xiàng)中沒有，則該選項(xiàng)是錯(cuò)誤的。答案中不應(yīng)該有的元素，在選項(xiàng)中有，則該選項(xiàng)是錯(cuò)誤的。

注意7：選項(xiàng)也是問題的條件，在選擇特例時(shí)，要注意選項(xiàng)之間的關(guān)系。

特例法適用題型特點(diǎn)：

如果一個(gè)選擇題中含有動(dòng)態(tài)的量，這個(gè)選擇題就可以考慮使用特例法。

如：問題知含有變量、幾何圖形可以變化等?？蓮牟煌慕嵌葋砣√乩?，也可同時(shí)取不同的量的特例。

特例法使用情況統(tǒng)計(jì)：

在2005年全國Ⅲ文理科高考試卷中有7題選擇題可以使用特例法。

在2016年全國新課標(biāo)理科卷Ⅲ中有第1，5，8，11，12，17題可以使用特例法。

在2018年全國新課標(biāo)理科卷Ⅲ中有第3，4，5，10，12，15題可以使用特例法。

利用特例法能夠準(zhǔn)確，快速地解答選擇題！雖然不可以解決所有的問題，但利用到它，就能為我們節(jié)約大量的時(shí)間。特別是越是難的問題，越劃算用特例法來解決，因?yàn)橐粋€(gè)一般性的問題的解決是不容易的，特別在考試時(shí)可能是無法解決的，而選擇題沒有必要去找出一般性解答。

二、利用特例法解答填空題

當(dāng)題目提供的信息暗示答案確定時(shí)，可選取符合題設(shè)條件的特例來求解的方法。

在利用特例法解答填空題時(shí)，“暗示”的理解比較困難，想到就簡便了。

三、利用特例法與解答題

有些解答題可以用符合題設(shè)條件的某些特殊值代替有關(guān)字母;或者用符合題設(shè)條件的某個(gè)特殊圖形代替有關(guān)的一般圖形進(jìn)行具體的演算和推理，來肯定或否定某個(gè)結(jié)論，可以達(dá)到快速解決簡答題的相關(guān)問題。

3. 檢查代數(shù)式的化簡

當(dāng)遇到比較復(fù)雜的代數(shù)式的變形或化簡時(shí)，可以根據(jù)特殊與一般的思想，利用特例來檢驗(yàn)其結(jié)果的正確性。如果用一組特殊的數(shù)值檢驗(yàn)?zāi)硞€(gè)代數(shù)式，變形前后的答案不同，則說明變形過程出現(xiàn)錯(cuò)誤，提醒檢查變形過程，并及時(shí)改正。解決一個(gè)問題的方法已經(jīng)掌握了，若過程或運(yùn)算出現(xiàn)錯(cuò)誤，太不劃算了。

在高考試題中，解析幾何大題的運(yùn)算量是比較大的，如果能利用特例法進(jìn)行驗(yàn)證，避免在運(yùn)算方面出錯(cuò)，或及時(shí)發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤并改正，也是一種多得分的策略。

4. 檢驗(yàn)結(jié)論或答案

在結(jié)論是含有動(dòng)態(tài)的量的時(shí)候，可利用特例法來檢結(jié)論或答案是否正確。

如，在利用“錯(cuò)位相減法”求解數(shù)列求和問題時(shí)，大部分同學(xué)的化簡或計(jì)算會出現(xiàn)問題，如能利用特例法取n=1或2（最好利用在解答過程最好沒有用過的數(shù)據(jù)）來驗(yàn)證，可以保證該題拿到滿分。用n=1時(shí)檢驗(yàn)答案就是錯(cuò)誤的，說明解答過程已經(jīng)出錯(cuò)了。

5.尋找解答問題的方法

當(dāng)一個(gè)一般性的數(shù)學(xué)問題感覺比較難，無從下手時(shí)，可以利用特例法來研究這個(gè)問題，再研究在一般情況下是否成立，這就是降格策略。如果是解答題，雖然不能得到滿分，但可以得到部分分?jǐn)?shù)。

注意特例法只能用來否定。特例法是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要的方法。