■四川省綿陽實驗高級中學(xué) 余 強(qiáng)

從近幾年的高考命題情況分析，利用空間向量處理立體幾何問題仍是高考命題的熱點。通常在第（1）問考查直線與平面、平面與平面平行或垂直的判定；第（2）問考查線面角與二面角的求解，向量法是較好的解題方法，特別是在處理探索性問題時，向量法更具優(yōu)勢。在2021年的復(fù)習(xí)備考中，特別要注意判定定理與性質(zhì)定理中條件的完整性，這是解答題解題規(guī)范的基本要求。同時要掌握并會運用向量法求解空間角和距離問題，一是要特別重視坐標(biāo)系的建立，建系的原則是簡潔清晰，便于表示相關(guān)點的坐標(biāo)；二是要加強(qiáng)運算能力的訓(xùn)練，熟練、準(zhǔn)確的運算是完成解答題的基本要求。歷年來立體幾何的考查內(nèi)容比較穩(wěn)定，但由于在題型、試題材料背景、重要知識點的考法上具有較大的靈活性，近幾年立體幾何試題在命題設(shè)計與立意上不斷創(chuàng)新。下面結(jié)合部分最新模擬題介紹立體幾何試題變化的新趨勢，供同學(xué)們復(fù)習(xí)時參考。

方向1:特殊幾何體中的位置關(guān)系與空間角的求解

我們在平時的學(xué)習(xí)中碰到很多的立體幾何解答題，主要是以棱柱或者棱錐為載體進(jìn)行考查，而近幾年高考是以圓錐為載體考查了線面垂直的位置關(guān)系和二面角的計算。解決這類問題，需要我們對于一些特殊幾何體（如圓柱、圓錐、正四面體等）的相關(guān)性質(zhì)有深刻的認(rèn)識，在平時復(fù)習(xí)中需要我們關(guān)注。

例1（河南省中原名校聯(lián)盟2020—2021 學(xué)年高三第一次質(zhì)檢）如圖1，S 為圓錐的頂點，O 為底面圓心，點A，B 在底面圓周上，且∠AOB=60°，C，D 分別為SB，OB 的中點。

（1）求證：AC⊥OB；

圖1

（2）若圓錐的底面半徑為2，高為4，求直線AC 與平面SOA 所成的角的正弦值。

解析：（1）由題意知SO⊥底面圓O，C，D分別為SB，OB 的中點，所以CD∥SO，CD⊥底面圓O。

因為OB 在底面圓O 內(nèi)，所以O(shè)B⊥CD。

因為∠AOB=60°，所以△AOB 為正三角形。

又因為D 為OB 的中點，所以O(shè)B⊥AD。

又AD∩CD=D，且AD ?平面ACD，CD?平面ACD，所以O(shè)B⊥平面ACD。

又因為AC ?平面ACD，所以AC⊥OB。

（2）如圖2，以D 為坐標(biāo)原 點，DA，DB，DC 所在直線為x 軸，y 軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，由題意可知A（，0，0），C（0，0，2），O（0，-1，0），S（0，-1，4），故0，2）

圖2

評注：解答本題需要同學(xué)們熟悉圓錐的定義和性質(zhì)：以直角三角形的直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)360 度而成的曲面所圍成的幾何體叫作圓錐，旋轉(zhuǎn)軸叫作圓錐的軸，垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫作圓錐的底面。

方向2:空間角的探索性和最值問題

立體幾何中的存在性問題主要包括兩類：一類是與空間平行、垂直等位置關(guān)系有關(guān)的存在性問題；另一類是與空間角有關(guān)的存在性問題。向量法是解決此類問題的常用方法，它可以將幾何存在問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程是否有解等問題。

例2（湖南省百校聯(lián)考2020—2021 學(xué)年高三上學(xué)期月考）如圖3，已知AC⊥BC，DB⊥平面ABC，EA⊥平面ABC，過點D 且垂直于DB 的平面α 與平面BCD的交線為l，AC=BD=1，AE=2。

圖3

（1）證明：l⊥平面AEC；

（2）設(shè)P 是l 上任意一點，求平面PAE與平面ACD 所成銳二面角的最小值。

解析：（1）因為BD⊥α，BD⊥平面ABC，所以α∥平面ABC。

又α∩平面BCD=l，平面ABC∩平面BCD=BC，所以BC∥l。

因為EA⊥平面ABC，所以BC⊥AE。

又BC⊥AC，AE∩EA=A，所以BC⊥平面AEC，從而l⊥平面AEC。

（2）以C 為坐標(biāo)原點，CB，CA 所在直線為x 軸，y 軸，過C 與AE平行的直線為z 軸，建立如圖4所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz，由題意可知A（0，1，0），C（0，0，0），D（，0，1），E（0，1，2）。設(shè)P（a，0，1），則

圖4

設(shè)平面PAE 的法向量為m=（x1，y1，z1），則得y1=a，z1=0，即m=（1，a，0）。

設(shè)平面ACD 的法向量為n=（x2，y2，z2），則令x2=1，得

評注：探索性問題的求解策略：①條件追溯型。一般是先假設(shè)結(jié)論成立，然后把該結(jié)論作為一個已知條件，再結(jié)合題目中的其他已知條件逆推，一步一步推出所要求的條件，此時要注意推理的可逆性，不要默認(rèn)所有的條件都是充要條件。例如，涉及線段上點的位置的探索性問題，一般是先根據(jù)條件猜測點的位置再給出證明，所求點大多為中點或三等分點，也可以根據(jù)相似的知識找點，求解時注意三點共線條件的應(yīng)用。②存在探索型。首先假定題中的數(shù)學(xué)對象存在（或結(jié)論成立），然后在這個前提下進(jìn)行邏輯推理，若由此導(dǎo)出矛盾，則否定假設(shè)；否則，給出肯定結(jié)論。例如，借助空間直角坐標(biāo)系，把幾何對象上動態(tài)點的坐標(biāo)用參數(shù)（變量）表示出來，將幾何對象坐標(biāo)化，這樣根據(jù)所要滿足的題設(shè)要求得到相應(yīng)的方程或方程組，若方程或方程組有滿足題設(shè)要求的解，則通過參數(shù)的值反過來確定幾何對象的位置；若方程或方程組沒有滿足題設(shè)要求的解，則表示滿足題設(shè)要求的幾何對象不存在。

方向3:折疊問題

折疊問題是高考立體幾何問題中的常客，按照某種要求把一個平面圖形折起，轉(zhuǎn)化為空間圖形，進(jìn)而研究圖形在位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系上的變化，這就是折疊問題。解決折疊問題時，要注意折疊前后的變量與不變量，折疊前后同一半平面內(nèi)的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系均不發(fā)生變化。

例3（卓越聯(lián)盟2020—2021 學(xué)年新高考省份高三檢測）如圖5所示，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD，∠BAD =90°，DC=2AB，AD =AB，E 為BC 的中點，連接DE，將△DEC 沿著DE 翻折成圖6 所示的四棱錐C-ABED，使得AB。

圖5

圖6

（1）證明：平面CDE⊥平面ABED。

（2）求二面角D-BC-A 的余弦值。

解析：（1）在Rt△ABD 中，由AD =AB，可得

在直角梯形ABCD 中，可得BC=CD=2AB，所以△BCD 為等邊三角形。

又因為E 為BC 的中點，可得DE⊥BC，所以CE⊥DE。

又因 為DE ∩BE=E，BE，DE ?平 面ABED，所以CE⊥平面ABED。

因為CE?平面CDE，所以平面CDE⊥平面ABED。

（2）由（1）可知CE⊥EB，DE⊥BE，CE⊥DE，所以以E 為坐標(biāo)原點，ED，EB，EC 所在直線為x 軸，y 軸，z 軸，建 立 如圖7所示的空間直角坐標(biāo)系E-xyz。

圖7

設(shè)平面ABC 的法向 量 為n=（x1，y1，z1），由令得即n=（-1，

設(shè)平面BCD 的法向量為m=（x2，y2，z2），由令z2=得即

評注：解決翻折問題的核心在于抓住兩個圖形的特征關(guān)系，并弄清翻折前后哪些量發(fā)生了變化，哪些量沒有發(fā)生變化。準(zhǔn)確把握平面圖形翻折前后的兩個“不變關(guān)系”：與折痕垂直的線段，翻折前后垂直關(guān)系不改變；與折痕平行的線段，翻折前后平行關(guān)系不改變。一般情況下，折痕同一側(cè)的量保持著原有的數(shù)量關(guān)系和線線關(guān)系，抓住這些不變量和不變關(guān)系是解決翻折問題的關(guān)鍵。不變的線線關(guān)系（尤其是圖形中線線平行、線線垂直關(guān)系）是研究空間位置關(guān)系的重要依據(jù)；不變的數(shù)量關(guān)系是求解幾何體的數(shù)字特征的基礎(chǔ)。例如，空間幾何體的表面積、體積、空間角、距離、長度等。根據(jù)不變量和不變關(guān)系，利用有關(guān)定理、公式進(jìn)行推理和計算，從而解決問題，同時注意轉(zhuǎn)化與化歸思想在此類問題中的應(yīng)用。

從近幾年的高考數(shù)學(xué)試題可以看出，立體幾何的考題依然堅守“重視通性通法，淡化技巧”，這為我們的備考指明了一個明確的方向：高考數(shù)學(xué)備考不宜過難過偏，要多從歸納解題通法的角度去進(jìn)行備考。每年高考數(shù)學(xué)試卷中的立體幾何解答題都主要采用“論證與計算”相結(jié)合的模式，即先利用定義、定理、公理等證明空間的線線、線面、面面平行或垂直，再利用空間向量進(jìn)行空間角的計算，重在考查邏輯推理能力及計算能力。同學(xué)們想要掌握立體幾何的解題思路，就要立足“奠基、形象、圖解、取巧”四個方面進(jìn)行訓(xùn)練，只有在實戰(zhàn)訓(xùn)練中養(yǎng)成邏輯清晰的思路，才能在高考中“扣核心，抓重點，費時少”，達(dá)到高效解題的目的。