周靜
在整個初中階段的數(shù)學學習中,推理占據(jù)了重要地位,不論是公式的推導、結論的得出,還是定理的證明,都離不開推理?!皥D形與幾何”是整個數(shù)學課程體系的重要內容,也是培養(yǎng)學生推理能力和邏輯思維必不可少的載體。本文通過對人教版義務教育教科書的深入研讀,結合初中幾何課堂教學的實踐,總結了培養(yǎng)學生幾何推理能力的三種有效方法。
一、數(shù)學語言——形成幾何推理
在幾何教學中,數(shù)學語言表現(xiàn)為文字語言、符號語言和圖形語言,它們是數(shù)學思維和交流必不可少的工具。讓學生認識三種語言并掌握三種語言的轉化,是培養(yǎng)學生幾何推理能力的重要基礎。
在平面幾何的入門階段,教師要引導學生初步學習幾何語言,特別要弄清一些詞(如“經(jīng)過”“有”“只有”等)的意義,懂得一些幾何語言的意義,能畫出圖形表示這些語言,還要逐漸學會用正確的幾何語言說出一些幾何事實。教學“直線、射線、線段”時,教師可以這樣引導。
師(出示圖1):大家已經(jīng)學會了用文字語言和符號語言來表示直線、射線和線段,你們能嘗試描述下圖中的組合圖形嗎?
生1:(1)中,直線a經(jīng)過點P。
師:還可以怎樣說?
生2:點P在直線a上。
師:“直線a經(jīng)過點P”和“點P在直線a上”,兩者有區(qū)別嗎?
生3:前一種說的是線的位置,直線經(jīng)過點,后一種說的是點的位置,點在直線上。
師:大家用這兩種方式分別描述一下其他三幅圖。
生4:(2)中,點E在直線b外,或直線b不經(jīng)過點E。
生5:(3)中,點C在直線AB外,或直線AB不經(jīng)過點C。
生6:(4)中,點F既在直線l上,也在直線n上,或者說成,直線l和直線n都經(jīng)過點F。
師:(4)也可以說成直線l與直線n相交于點F。同學們已經(jīng)掌握了將圖形語言轉化為文字語言的方法,我們再試試將文字語言轉化為圖形語言。(1)點A在直線EF外;(2)直線a經(jīng)過點N;(3)直線l、直線m、直線n交于一點O;(4)點P是線段CD與線段PQ的交點。
生7:我是這樣表示的,如圖2所示。
幾何語言和生活語言有很大的區(qū)別,在日常教學中,教師對每一個幾何術語都必須認真講解,尤其要注意幾何語言的表達和板書要規(guī)范嚴謹,以起到良好的示范作用。
二、幾何直觀——建構幾何推理
幾何直觀是指借助圖形來進行數(shù)學想象和思考。從實質上來說,它其實是先通過直觀的圖形產(chǎn)生感觀上的初始認識,然后展開充分想象,使抽象的形式具體化,最后形成邏輯推理。通過幾何直觀可以促進知識由未知向已知的轉化,緩解學生學習幾何的心理障礙,激發(fā)他們學習幾何的興趣。在“等邊三角形”的教學中,教師設計了以下三個環(huán)節(jié)。
環(huán)節(jié)一:認識等邊三角形。
(1)幾何畫板軟件演示等腰△ABC的頂點A沿對稱軸運動的過程,同時顯示出AB,AC,BC的長度值,讓學生觀察是否存在某個點A的位置,使得△ABC的三邊都相等(見圖3)。
(2)三邊都相等的三角形是等邊三角形。通過動畫演示,學生可以感受到等邊三角形與等腰三角形的聯(lián)系和區(qū)別,等邊三角形是特殊的等腰三角形。
環(huán)節(jié)二:探究等邊三角形的性質。
(1)學生分小組通過畫圖、測量等方式探索等邊三角形的性質。
(2)學生得出結論后,教師引導學生從邊、角、重要線段、對稱性四個方面進行梳理,并用表格呈現(xiàn)。
環(huán)節(jié)三:探究等邊三角形的判定。
(1)類比在探索全等三角形判定方法時用到的作圖實驗,學生借助圓規(guī)、量角器、直尺等工具,嘗試用不同方法畫等邊三角形。
(2)小組交流后全班展示,比一比哪個小組畫等邊三角形的方法多。
(3)教師用幾何畫板軟件展示學生的幾種典型畫法,并由這些畫法探索等邊三角形的判定定理。(見圖4、圖5、圖6)。
(4)師生共同歸納出等邊三角形的判定定理。
學生在前一節(jié)課剛學習了等腰三角形的相關知識,很容易類比等腰三角形的研究思路來學習等邊三角形。本節(jié)課從觀察等腰三角形的圖形演變入手,讓學生在運動變化中自然而然地發(fā)現(xiàn)等邊三角形與等腰三角形之間的關系。
三、關鍵問題——發(fā)展幾何推理
幾何推理必須講究推理的過程和依據(jù),要有前因后果,要根據(jù)一定的方法及概念之間的內在邏輯關系,使學生形成有序思維,發(fā)展邏輯推理能力。教學“線段的垂直平分線的性質”時,教師是這樣引導的。
師(出示圖7):已知線段AB,除線段AB的中點C外,線段的對稱軸上是否還存在其他的點到點A和點B的距離相等呢?找一找,有多少個?
生1:在l上任意取一點,通過直尺測量、圓規(guī)測距、對折重合等方法發(fā)現(xiàn)這點到線段兩端點的距離相等,對稱軸l上的點到點A和點B的距離都相等,這樣的點有無數(shù)個。
師:將上述結論中的端點改成線段上的任意點,結論還成立嗎?
生2:把端點換成這條線段上的任意一對對稱點,結論是成立的,如果不是對稱點就不成立。
師:當點P在線段AB的垂直平分線上時,結論成立,如果點P不在線段AB的垂直平分線上,結論還成立嗎?
生3:如果點P不在線段AB的垂直平分線上,PA不等于PB,結論不成立。
師:也就是說,只有當點P在線段AB的垂直平分線上時,才有PA等于PB。那么反過來,當滿足PA=PB時,點P在哪里?
生4:點P在線段AB的垂直平分線上。
師:所以,到線段兩個端點的距離相等的點一定在這條線段的垂直平分線上。
……
在設計本課時,教師首先思考了一個問題:前面的知識與本節(jié)課的知識存在什么樣的邏輯關系?對這個問題的思考實質就是對本節(jié)課教學起點的思考。學習過程中,隨著課程內容的不斷加深,對學生抽象思維能力和邏輯思維能力的要求也越來越高,教師要關注學生對數(shù)學知識本質的理解,給學生充足的時間去感受邏輯的魅力,幫助學生形成推理的意識,享受到思考的樂趣,將數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)落實到課堂教學中,實現(xiàn)了數(shù)學的育人價值。
(作者單位:宜昌市西陵區(qū)教育科學研究院)
責任編輯? 張敏
推理能力的培養(yǎng)應該貫穿于整個數(shù)學學習的過程中。推理一般分為合情推理和演繹推理。合情推理是從已有的事實出發(fā),憑借經(jīng)驗和直覺,通過歸納和類比等推斷某些結果;演繹推理是從已有的事實和確定的規(guī)則出發(fā),按照邏輯推理的法則證明和計算。本期,我們著眼于課堂教學,從核心素養(yǎng)下的幾何推理、推理能力培養(yǎng)的具體方法和典型素材等角度,探討學生推理能力的培養(yǎng)。