惠小健

西京學(xué)院 理學(xué)院，西安710123

執(zhí)行重復(fù)運(yùn)動(dòng)的工業(yè)機(jī)器人的精確軌跡跟蹤控制，對(duì)保證生產(chǎn)安全，提升產(chǎn)品品質(zhì)具有重要的意義。迭代學(xué)習(xí)控制算法是工業(yè)機(jī)器人最常用的控制算法[1-4]，但迭代學(xué)習(xí)控制算法實(shí)現(xiàn)軌跡跟蹤的前提是每次的迭代初值相同，該要求在實(shí)際工程中很難實(shí)現(xiàn)，為此，研究任意初態(tài)下的機(jī)器人軌跡精確跟蹤控制具有重要的工程應(yīng)用意義。

迭代學(xué)習(xí)控制[5]（Iterative Learning Control，ILC）通過(guò)利用先前的軌跡跟蹤誤差和控制輸入信息來(lái)產(chǎn)生當(dāng)前次的控制輸入，以實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)跟蹤估計(jì)的調(diào)整，在足夠次的迭代學(xué)習(xí)下，系統(tǒng)輸出達(dá)到對(duì)期望軌跡的精確跟蹤。迭代學(xué)習(xí)控制算法的核心是迭代學(xué)習(xí)的收斂性，而迭代初值則制約著迭代學(xué)習(xí)算法的收斂性[6-7]。綜合現(xiàn)有研究成果，迭代初值問(wèn)題主要分三種情況[6-8]，第一種情況是迭代初值固定，第二種情況是迭代初值在期望值某一領(lǐng)域內(nèi)變動(dòng)，第三種情況則是任意初態(tài)下的迭代學(xué)習(xí)控制。只有第三種情況因最符合實(shí)際工程應(yīng)用，使得其成為當(dāng)前學(xué)者攻關(guān)的重點(diǎn)。對(duì)任意初態(tài)下的迭代學(xué)習(xí)控制算法，當(dāng)前主要有兩種方法，一種是基于壓縮映射方法[9]，在固定PID迭代學(xué)習(xí)控制器的前提下，探討的是抑制任意初態(tài)的策略和保證PID 迭代學(xué)習(xí)控制收斂的條件。第二種算法則是基于李雅普諾夫函數(shù)推出的非線性迭代學(xué)習(xí)控制算法[10-12]，該方法是基于李雅普諾夫穩(wěn)定理論，構(gòu)造非線性迭代學(xué)習(xí)控制器，以實(shí)現(xiàn)對(duì)期望軌跡的局部精確跟蹤。隨著現(xiàn)代控制理論研究成果的成熟，如何將現(xiàn)代控制理論與迭代學(xué)習(xí)控制相結(jié)合，以改善迭代學(xué)習(xí)控制算法的魯棒性和任意初值問(wèn)題，成為一個(gè)新的研究點(diǎn)，為此，本文根據(jù)滑模控制算法中的任意初態(tài)能在有限時(shí)間內(nèi)收斂到滑模面的特性[13]，提出一種基于滑模面的機(jī)器人迭代學(xué)習(xí)控制算法，達(dá)到對(duì)任意初態(tài)下的機(jī)器人軌跡精確跟蹤控制，并從理論上和數(shù)值仿真上驗(yàn)證本方法的有效性和可行性。

本文的主要?jiǎng)?chuàng)新點(diǎn)主要表現(xiàn)在：（1）建立關(guān)于跟蹤誤差的滑模面，使處于任意位置下的系統(tǒng)初態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)收斂到滑模面內(nèi)，而滑模面在有限次迭代后將收斂到0，實(shí)現(xiàn)機(jī)器人軌跡與期望軌跡的精確跟蹤。（2）基于李雅普諾夫穩(wěn)定理論，為機(jī)器人軌跡跟蹤系統(tǒng)設(shè)計(jì)了非線性迭代學(xué)習(xí)控制算法，并理論證明了迭代學(xué)習(xí)的收斂性。

1 控制問(wèn)題描述

考慮如下n自由度剛性機(jī)器人系統(tǒng)[9]：

機(jī)器人系統(tǒng)中的矩陣滿足如下條件：

（1）矩陣D(q)為對(duì)稱正定矩陣。

控制問(wèn)題描述：對(duì)在區(qū)間[0,T]上做重復(fù)運(yùn)動(dòng)的工業(yè)機(jī)器人系統(tǒng)，記期望位置函數(shù)為qd(t)，且速度和加速度存在。位置跟蹤誤差為ek(t)=qd(t)-qk(t)，其中k為迭代次數(shù)。設(shè)在任意初態(tài)條件下，即ek(0)≠0，設(shè)計(jì)迭代控制器uk，使跟蹤誤差ek(t)在區(qū)間[Δ,T]上實(shí)現(xiàn)完全跟蹤。

2 基于滑模面的迭代學(xué)習(xí)控制器設(shè)計(jì)

對(duì)于任意初值的重復(fù)運(yùn)動(dòng)過(guò)程，其核心問(wèn)題是在最初的[0,Δ]時(shí)間內(nèi)，軌跡跟蹤誤差ek(t)≠0，但只要能保證軌跡跟蹤誤差在區(qū)間[Δ,T]上滿足ek(t)≡0，則依然能滿足機(jī)械臂執(zhí)行重復(fù)運(yùn)動(dòng)的控制目標(biāo)，因此，任意初態(tài)下的迭代學(xué)習(xí)控制，其核心是要求在有限時(shí)間Δ內(nèi)，使得系統(tǒng)的軌跡跟蹤誤差收斂到0，基于此，本文結(jié)合有限時(shí)間控制方法，給出一種抑制任意初態(tài)的滑模迭代學(xué)習(xí)控制算法?；？刂频鷮W(xué)習(xí)控制的結(jié)構(gòu)圖見(jiàn)圖1所示。

圖1 滑模迭代學(xué)習(xí)控制結(jié)構(gòu)圖

定理1[14]如果存在正定Lyapunov函數(shù)V(x)及參數(shù)λ1＞0,λ2＞0 和0＜α ＜1 滿足：

則系統(tǒng)狀態(tài)x(t)能夠在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)原點(diǎn)，且到達(dá)時(shí)間滿足：

設(shè)有滑模面：

當(dāng)σ(t)=0 時(shí)，，取李雅普諾夫函數(shù)V0=0.5eTe，則有：

根據(jù)定理1，可得到跟蹤誤差將會(huì)在有限時(shí)間內(nèi)收斂到0，且收斂時(shí)間：

可見(jiàn)，選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)k1,k2,β，使得：

則在t≥Δ之后，系統(tǒng)的跟蹤誤差e(t)≡0，同理可以得到

對(duì)于t≥Δ，要使跟蹤誤差在t∈[Δ,T]滿足e(t)≡0，其前提是滑模面σ(t)=0，因此，在對(duì)機(jī)器人系統(tǒng)設(shè)計(jì)迭代學(xué)習(xí)控制器時(shí)，若能使系統(tǒng)經(jīng)過(guò)有限次迭代后，使得在整個(gè)迭代區(qū)間[0,T]內(nèi)，滑模面σ(t)≡0，即可保證機(jī)械臂的軌跡跟蹤誤差在t∈[Δ,T]滿足e(t)≡0。

根據(jù)式（1），記第k次迭代的機(jī)器人系統(tǒng)為：

引入新的變量：

則本文建立迭代學(xué)習(xí)控制器為：

下面證明迭代學(xué)習(xí)控制的收斂性和穩(wěn)定性。

第一步，構(gòu)造正定李雅普諾夫函數(shù)Vk(t)，并證明李雅普諾夫函數(shù)Vk(t)關(guān)于時(shí)間t單調(diào)遞減。根據(jù)滑模面的定義，有：

對(duì)滑模面求導(dǎo)，得：

構(gòu)造動(dòng)態(tài)方程：

構(gòu)造正定李雅普諾夫函數(shù)：

則有：

將控制器式（7）代入式（11），則有：

式（12）說(shuō)明Vk(t)關(guān)于時(shí)間t單調(diào)遞減。

當(dāng)k=1時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)D(q1),σ1(t) 分別關(guān)于時(shí)間t連續(xù)，且t∈[0,T] ，因此V1(t) 在t∈[0,T] 內(nèi)有界。再由可知，有界。

說(shuō)明李雅普諾夫函數(shù)Vk(T)隨迭代次數(shù)而遞減。

通過(guò)以上證明可以得到，本文所設(shè)計(jì)的控制器式（7）能有效抑制隨機(jī)初始狀態(tài)，且能保證隨著迭代次數(shù)的增加，實(shí)現(xiàn)對(duì)給定期望的精確跟蹤。

3 仿真驗(yàn)證

本文選擇文獻(xiàn)[16]中的機(jī)器人模型參數(shù)：

3.1 有效性驗(yàn)證

采用本文所設(shè)計(jì)的迭代學(xué)習(xí)控制算法進(jìn)行編程，仿真次數(shù)設(shè)為10次，經(jīng)過(guò)10次迭代學(xué)習(xí)后，機(jī)器人系統(tǒng)輸出與期望輸出軌跡見(jiàn)圖2和圖3所示。

圖2 機(jī)器人位置跟蹤圖（第10次）

通過(guò)以上仿真結(jié)果可以看出，在每次迭代過(guò)程中，雖然機(jī)械臂的初始狀態(tài)為任意值，但在本文所設(shè)計(jì)的迭代學(xué)習(xí)控制算法下，機(jī)械臂的位置僅在最初很短時(shí)間內(nèi)與期望位置有偏差，隨后，機(jī)械臂的位置與期望位置幾乎達(dá)到精確跟蹤；機(jī)械臂的加速度對(duì)期望加速度的跟蹤收斂時(shí)間雖然長(zhǎng)一點(diǎn)，但是加速度也在0.2 s內(nèi)達(dá)到精確跟蹤，說(shuō)明本文所設(shè)計(jì)控制算法能有效抑制任意初態(tài)，且能保證機(jī)器人實(shí)現(xiàn)對(duì)期望軌跡的精確跟蹤。

圖3 機(jī)器人速度跟蹤圖（第10次）

3.2 抗干擾能力分析

為驗(yàn)證本文所設(shè)計(jì)迭代學(xué)習(xí)控制算法的抗干擾能力，在機(jī)器人軌跡跟蹤系統(tǒng)中增加外部干擾項(xiàng)采用同樣的控制參數(shù)和控制器進(jìn)行數(shù)值仿真，迭代10次后的仿真結(jié)果見(jiàn)圖4、圖5所示。

圖4 機(jī)器人位置跟蹤圖（第10次）

圖5 機(jī)器人速度跟蹤圖（第10次）

通過(guò)圖4和圖5可以看出，在相同仿真條件下，即便是機(jī)器人軌跡跟蹤系統(tǒng)中增加了外部干擾，經(jīng)過(guò)10 次迭代學(xué)習(xí)后，機(jī)器人依然能保證對(duì)期望軌跡的精確跟蹤，且跟蹤效果與沒(méi)有干擾項(xiàng)的跟蹤效果相同，說(shuō)明本文所設(shè)計(jì)的控制器也具有較強(qiáng)的抗干擾能力。

3.3 對(duì)比分析仿真

為驗(yàn)證本文所設(shè)計(jì)算法的優(yōu)越性，針對(duì)本文所給的機(jī)器人系統(tǒng)模型，分別采用本文設(shè)計(jì)的滑模迭代學(xué)習(xí)控制器與文獻(xiàn)[8]和文獻(xiàn)[9]所給的控制器進(jìn)行對(duì)比仿真分析，迭代10 次后的三種算法的仿真結(jié)果見(jiàn)圖6、圖7所示。

圖6 機(jī)器人位置跟蹤圖（第10次）

圖7 機(jī)器人速度跟蹤圖（第10次）

根據(jù)圖6和圖7可以看出，雖然文獻(xiàn)[8]和文獻(xiàn)[9]中的控制器最終也能實(shí)現(xiàn)對(duì)期望位置和速度的精確跟蹤，但在最初[0,Δ]時(shí)間內(nèi)，本文方法不僅跟蹤時(shí)間更短，且波動(dòng)幅度更小。就位置跟蹤精度來(lái)說(shuō)，通過(guò)圖6可以看出，本文方法的精度要比文獻(xiàn)[8]和文獻(xiàn)[9]的跟蹤精度更高。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文以任意初態(tài)下的機(jī)器人軌跡跟蹤控制系統(tǒng)為研究對(duì)象，基于有限時(shí)間控制理論，設(shè)計(jì)了基于位置和加速度跟蹤誤差的滑模面，使得在滑模面內(nèi)，無(wú)論初始位置和初始加速度處于何處，機(jī)器人的位置和加速度均能在有限時(shí)間內(nèi)收斂到期望的位置和加速度，有效解決了迭代學(xué)習(xí)中的任意初值問(wèn)題。接著從理論分析入手，理論證明了在本文所設(shè)計(jì)的非線性迭代學(xué)習(xí)控制算法下，機(jī)器人系統(tǒng)經(jīng)有限次迭代學(xué)習(xí)后，滑模面將一致收斂到零，以保證整個(gè)迭代學(xué)習(xí)過(guò)程的收斂性和機(jī)器人軌跡跟蹤的精確性。