張一媚，董朝宇，董曉紅，肖 遷，張明東，賈宏杰

（1. 智能電網(wǎng)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室（天津大學(xué)）,天津市300072；2. 河北工業(yè)大學(xué)人工智能與數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院,天津市300130；3. 天津大學(xué)智能與計(jì)算學(xué)部,天津市300072）

0 引言

隨著環(huán)境污染加劇和化石資源逐漸枯竭以及間歇性可再生能源的大規(guī)模利用,經(jīng)聚合后形成的電動(dòng)汽車（electric vehicle,EV）集群,憑借快速的功率輸出與響應(yīng)特性,成為一種很好的調(diào)控資源,可用于平滑可再生能源出力、提供輔助服務(wù)等領(lǐng)域［1-5］。利用EV 集群提供調(diào)頻服務(wù)已成為近期的一個(gè)研究熱點(diǎn)。

EV 集群參與調(diào)頻時(shí),首先需收集和發(fā)送EV 狀態(tài)到控制中心,然后根據(jù)控制信號(hào),對(duì)集群內(nèi)EV 充放電行為實(shí)施控制［6］,這一過(guò)程涉及對(duì)大量EV 的信息收集和協(xié)調(diào)控制。毫無(wú)疑問(wèn),此時(shí)的電力系統(tǒng)成為一個(gè)典型的信息能源系統(tǒng),即信息與能源技術(shù)深度融合并集成能源網(wǎng)、通信和計(jì)算的復(fù)雜系統(tǒng)［7-11］,評(píng)估其穩(wěn)定性需要同時(shí)考慮能量流和信息流的影響。在對(duì)大量分散EV 進(jìn)行調(diào)控時(shí),出于經(jīng)濟(jì)性考慮,應(yīng)用異構(gòu)通信手段甚至直接借助公共通信媒介成為必然選擇,由此導(dǎo)致信息傳輸環(huán)節(jié)的數(shù)據(jù)擁塞、丟包、延時(shí)等情況必然時(shí)有發(fā)生。在數(shù)學(xué)模型中可用時(shí)滯對(duì)其統(tǒng)一加以刻畫(huà)［12］。而時(shí)滯往往會(huì)影響系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能甚至引發(fā)失穩(wěn)［13-16］。頻率小擾動(dòng)穩(wěn)定過(guò)程既可能是秒級(jí)的短期現(xiàn)象［17］,也可能是從幾十秒到幾分鐘的長(zhǎng)期現(xiàn)象［18-20］。研究EV 集群參與系統(tǒng)調(diào)頻時(shí),需借助時(shí)滯穩(wěn)定性分析方法來(lái)科學(xué)評(píng)估時(shí)滯的影響［21-26］。

時(shí)滯穩(wěn)定性分析方法包含時(shí)域法和頻域法［16］：時(shí)域法通過(guò)對(duì)Lyapunov 泛函進(jìn)行放縮得到充分不必要條件,盡管可以通過(guò)等效變換［21］、新泛函構(gòu)造［22-23］及優(yōu)化判據(jù)推導(dǎo)［24］等手段對(duì)其加以改進(jìn),但依然無(wú)法消除保守性；而頻域法的基礎(chǔ)是頻域變換技術(shù)和特征值理論,盡管沒(méi)有保守性,但時(shí)滯引入難以處理的超越項(xiàng)［16］。在文獻(xiàn)［26］中,利用指數(shù)延遲項(xiàng)的Pade 有理多項(xiàng)式逼近,避免了直接求解時(shí)滯特征方程的困難,但難以應(yīng)用于時(shí)滯較大或規(guī)模較大的系統(tǒng)中。文獻(xiàn)［15］采用解算子離散化方案求解系統(tǒng)關(guān)鍵特征值,但是存在時(shí)滯研究范圍較小的局限性。

為分析時(shí)滯對(duì)EV 聚合調(diào)控效果的影響,本文將基于頻域法,推導(dǎo)一種信息能源系統(tǒng)譜特征和穩(wěn)定性評(píng)估方法。首先,建立EV 集群調(diào)頻的系統(tǒng)模型。進(jìn)一步,將含物理-信息環(huán)節(jié)的系統(tǒng)譜轉(zhuǎn)換成無(wú)窮小算子的譜,消除超越項(xiàng)；然后,基于用戶準(zhǔn)確度與速度需求選擇離散化方案,利用切比雪夫離散化生成有限維近似矩陣,進(jìn)而利用牛頓迭代校正近似矩陣的特征值,得到系統(tǒng)準(zhǔn)確特征值；最后,刻畫(huà)系統(tǒng)穩(wěn)定域,可多角度評(píng)估時(shí)滯對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。提出的方法解決了時(shí)域法存在保守性的問(wèn)題,也消除了頻域法中難以處理的超越項(xiàng),通過(guò)將譜變換、譜離散、牛頓迭代等關(guān)鍵技術(shù)與用戶需求相結(jié)合,可以實(shí)現(xiàn)高效準(zhǔn)確評(píng)估規(guī)?；驎r(shí)滯較大系統(tǒng)。

1 系統(tǒng)模型

1.1 EV 集群動(dòng)態(tài)特性

考慮大量EV 集群行為時(shí),一般可用EV 集群來(lái)表示。假設(shè)系統(tǒng)中存在k個(gè)EV 集群,即

式中：GA為EV 集群構(gòu)成的集合；GAi為第i個(gè)EV 集群；i=1,2,…,k。

對(duì)于任意用于頻率調(diào)節(jié)研究的EV 集群GAi,其中的EV 模型由電池模型和電池充電器模型（包括DC/AC 逆變器）組成。電池充電器控制交流電氣系統(tǒng)和電池之間的電力交換,電池儲(chǔ)存驅(qū)動(dòng)EV 所需的能量。本文采用基于戴維南的模型作為電池的等效電路模型［27-28］。

為簡(jiǎn)化分析,忽略了EV 集群中EV 的個(gè)體差異。因此,在分析時(shí),假設(shè)集群內(nèi)EV 的荷電狀態(tài)（SOC）為常數(shù),認(rèn)為集群具有等效集群電池系統(tǒng)增益KEVA,i,且集群內(nèi)EV 的時(shí)間常數(shù)相同,表示為TEVA,i?？捎萌缦乱浑A慣性環(huán)節(jié)表示EV 集群的動(dòng)態(tài)特性［29-32］：

式中：GEVA,i和KEVA,i分別為集群GAi的動(dòng)態(tài)特性函數(shù)和增益；TEVA,i=Lc/Rc為EV 集群電池系統(tǒng)時(shí)間常數(shù),即EV 充電器的時(shí)間常數(shù),其中Lc為電池充電器中與電網(wǎng)相連的濾波電抗器,其阻抗通常設(shè)計(jì)為系統(tǒng)總阻抗的5%,電阻Rc為電抗器電阻及逆變器損耗,取決于電纜尺寸、安裝媒介及導(dǎo)體材料［4,33］。

KEVA,i由頻率調(diào)節(jié)效果和電池SOC 約束之間的相互限制來(lái)決定,以表示EV 輸出功率對(duì)頻率偏差的敏感性,其數(shù)值主要取決于集群內(nèi)EV 數(shù)量、EV電池的開(kāi)路電壓、單個(gè)EV 采用的控制策略及控制增益最大值［3,28,34］。而控制增益最大值可由EV 入網(wǎng)（V2G）最大功率（或電流）對(duì)系統(tǒng)允許頻率偏差的敏感度計(jì)算［35］。綜合考慮上述因素,可以對(duì)EV調(diào)頻等值模型中的參數(shù)KEVA,i和TEVA,i進(jìn)行確定。

需要指出的是,式（2）模型主要用于模擬EV 集群在參與調(diào)頻時(shí)的總體動(dòng)態(tài)特征,它忽略了EV 個(gè)體之間的細(xì)微差異,在EV 數(shù)量較大時(shí),這一處理誤差較?。?6］。

1.2 考慮時(shí)滯時(shí)的調(diào)頻模型

多個(gè)EV 集群參與系統(tǒng)調(diào)頻的實(shí)現(xiàn)原理如圖1所示。當(dāng)EV 接入電網(wǎng)時(shí),可通過(guò)充放電裝置并利用V2G 技術(shù),實(shí)現(xiàn)EV 與電網(wǎng)間能量和信息的雙向流動(dòng)。因EV 單體功率較小,大量分散接入電網(wǎng)后,需引入EV 集成商來(lái)負(fù)責(zé)EV 的充放電管理,以及與上級(jí)調(diào)度中心的交互。圖1 中的每一個(gè)集成商負(fù)責(zé)監(jiān)視、收集、分析和計(jì)算EV 集群的調(diào)控能力,然后上傳至調(diào)度中心,同時(shí)負(fù)責(zé)執(zhí)行調(diào)度中心下達(dá)的控制指令。

圖1 EV 集群參與調(diào)頻的信息能源系統(tǒng)控制框架Fig.1 Framework of frequency regulation for cyber-energy system with EV cluster

信息在EV 和調(diào)度中心之間的雙向傳輸過(guò)程中必然存在一定時(shí)滯。為簡(jiǎn)單起見(jiàn),假設(shè)每個(gè)EV 集群內(nèi)所有的EV 擁有相同數(shù)據(jù)傳輸時(shí)滯,則由時(shí)滯構(gòu)成的集合如下：

式中：τi為集群GAi的時(shí)滯。

本文在研究EV 集群參與系統(tǒng)調(diào)頻時(shí),將采用文獻(xiàn)［6］的多區(qū)域電力系統(tǒng)模型。任何一個(gè)區(qū)域w的情況如圖2 所示（假設(shè)系統(tǒng)中共包含g個(gè)如圖2 所示區(qū)域）,它包含一個(gè)等效發(fā)電單元和多個(gè)EV 集群。發(fā)電單元包含調(diào)速器和再熱式渦輪機(jī),EV 集群考慮了信息傳輸時(shí)滯,它們通過(guò)參與因子α0,α1,…,αk實(shí)現(xiàn)功率分擔(dān)。不同區(qū)域間通過(guò)區(qū)域控制誤差（area control error,ACE）實(shí)現(xiàn)有機(jī)協(xié)調(diào)［6］。

圖2 包括多個(gè)EV 集群的電力系統(tǒng)調(diào)頻模型Fig.2 Frequency regulation model of power system with multiple EV clusters

單個(gè)區(qū)域的狀態(tài)空間方程為［37-38］：

式中：xw,u,yw分別為系統(tǒng)的狀態(tài)、控制、輸出變量；A,B0,Bi,F,C分別為狀態(tài)矩陣、非時(shí)滯控制矩陣、時(shí)滯控制矩陣、擾動(dòng)矩陣、輸出矩陣；ΔPL為負(fù)荷偏差。式（4）的詳細(xì)推導(dǎo)及各矩陣組成見(jiàn)附錄A。

經(jīng)簡(jiǎn)單變換,式（4）可表述為時(shí)滯微分方程：

式 中：φw( =xw0)為 區(qū) 域w的 初 始 狀 態(tài)；τw,max=max {τi},其中i=1,2,…,k；K=［KP,KI］,其中KP和KI分別為區(qū)域w中比例-積分（PI）控制器的比例增益和積分增益。

需要指出的是,當(dāng)系統(tǒng)存在g（g＞1）個(gè)區(qū)域時(shí),每一個(gè)區(qū)域內(nèi)的系統(tǒng)方程均可通過(guò)上述過(guò)程推導(dǎo)。最后,再將各區(qū)域方程進(jìn)一步整合,得到整個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程［6］,即

其中

式中：x為系統(tǒng)的狀態(tài)；φ為系統(tǒng)的初始狀態(tài)；x0為系統(tǒng)初始狀態(tài)。

進(jìn)而可以得到系統(tǒng)的特征方程為：

式中：λ為特征值；υ為對(duì)應(yīng)特征向量。

2 基于譜特征提取的穩(wěn)定域求解方法

由式（8）和式（16）可知,系統(tǒng)的漸進(jìn)穩(wěn)定性將由φ、系數(shù)矩陣A?和A?i（i=1,2,…,m）以及信息環(huán)節(jié)時(shí)滯τ1,τ2,…,τm唯一決定。理論上,上述參數(shù)給定后,時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行區(qū)域（穩(wěn)定域）可唯一確定,而穩(wěn)定域可用于多角度評(píng)估系統(tǒng)穩(wěn)定性。本章將推導(dǎo)一種穩(wěn)定域求解方法,其中間過(guò)程的一些結(jié)果還有助于分析系統(tǒng)關(guān)鍵特征值信息。其主要步驟如下。

1）譜變換：利用無(wú)窮小算子,將反映信息能源系統(tǒng)模型動(dòng)態(tài)的時(shí)滯微分方程映射為常微分方程,從而消除難以處理的超越項(xiàng)。

2）切比雪夫離散化：對(duì)譜變換得到的無(wú)窮小算子進(jìn)行切比雪夫離散化,得到近似離散化矩陣,將無(wú)窮維特征值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有限維特征值問(wèn)題。

3）牛頓迭代校正：計(jì)算離散化矩陣的特征值及特征向量,將其作為牛頓法初值進(jìn)行迭代校正,得到系統(tǒng)準(zhǔn)確特征值。

4）穩(wěn)定域求解：基于用戶需求,快速推導(dǎo)出信息能源系統(tǒng)的臨界特征值,進(jìn)而通過(guò)搜索法求解系統(tǒng)穩(wěn)定域,多角度評(píng)估系統(tǒng)穩(wěn)定性。

2.1 譜變換

對(duì)于式（8）系統(tǒng),令X：=C([-τmax,0],Cn)為由將區(qū)間[-τmax,0]映射到n維復(fù)數(shù)向量空間Cn的連續(xù)函數(shù)構(gòu)成的巴拿赫空間。因?yàn)槭剑?）在［0,∞）內(nèi)連續(xù),假設(shè)初始狀態(tài)φ存在于巴拿赫空間上,系統(tǒng)x（t）軌跡將在時(shí)域內(nèi)連續(xù)且唯一,因此可將式（8）重新表述為巴拿赫空間X上的抽象常微分方程［39］：

式中：H：D(Hφ)?X→X是由式（18）定義的無(wú)窮小算子。

利用上式將t處系統(tǒng)狀態(tài)映射到t+θ處,根據(jù)譜映射原理,原系統(tǒng)特征值將等于H的特征值［40］。

2.2 切比雪夫離散化

譜變換后得到的式（17）仍為無(wú)窮維系統(tǒng),為簡(jiǎn)化求解,利用切比雪夫多項(xiàng)式插值近似初始函數(shù),從而構(gòu)造離散矩陣來(lái)逼近H。

首先,給定正整數(shù)N,考慮由N+1 個(gè)在區(qū)間[-τmax,0]內(nèi)的離散點(diǎn)組成的網(wǎng)格ΩN：

離散化矩陣HN的詳細(xì)推導(dǎo)及表達(dá)形式如附錄B 所示。

經(jīng)上述處理后,無(wú)限維的H被簡(jiǎn)化成有限維的HN。進(jìn)而可直接求解系統(tǒng)的一組臨界特征值,而不必求解其全部（無(wú)窮多）特征值。

2.3 牛頓迭代

在計(jì)算得到系統(tǒng)臨界特征值的近似結(jié)果λ?后（即HN最右側(cè)特征值）,將其和對(duì)應(yīng)Krylov 向量的前n個(gè)元素v?,一起作為式（16）的初值{λ?,v?},然后利用牛頓法迭代校正,以得到準(zhǔn)確值。

首先,將特征方程式（16）寫(xiě)成如下格式：

式中：In為n階單位矩陣。

在迭代過(guò)程中v需要有一些標(biāo)準(zhǔn)化處理,以保證解的唯一性,迭代過(guò)程基于式（23）或式（24）。

式中：λp和vp分別為第p次迭代得到的特征值及特征向量。

式（24）可寫(xiě)為如下形式：

式中：fp為第p次迭代的函數(shù)值f；Δz包括Δv的所有元素,其中Δv中的單位元素被替換為Δλ；J為雅可比矩陣。

將式（25）轉(zhuǎn)換為迭代公式,求得第p+1 次的迭代結(jié)果為：

經(jīng)迭代達(dá)到收斂精度后,可得到系統(tǒng)準(zhǔn)確特征值和特征向量{λ,v}。

2.4 系統(tǒng)穩(wěn)定域求解

根據(jù)牛頓迭代得到的準(zhǔn)確特征值,可以評(píng)估系統(tǒng)穩(wěn)定性,進(jìn)而可根據(jù)用戶需求刻畫(huà)穩(wěn)定域。

通常用戶需求體現(xiàn)在2 個(gè)方面：①穩(wěn)定域準(zhǔn)確度；②計(jì)算時(shí)間?；诖丝梢詫?duì)離散化參數(shù)N進(jìn)行選擇,以尋求計(jì)算準(zhǔn)確度與速度指標(biāo)的平衡。

利用選擇的特征值計(jì)算方法對(duì)某一參數(shù)下的系統(tǒng)特征值進(jìn)行求解,進(jìn)而可以使用成熟的特征值分析方法,對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性進(jìn)行分析。

基于此,設(shè)置一定的搜索步長(zhǎng),沿時(shí)滯增大方向前進(jìn),在時(shí)滯空間中搜索系統(tǒng)的負(fù)實(shí)部臨界特征值,直至到達(dá)研究區(qū)域邊界?？梢栽诓煌目刂破鲄?shù)設(shè)置下,對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定域進(jìn)行刻畫(huà)。

本文提出的譜特征和穩(wěn)定性評(píng)估方法流程如附錄C 圖C1 所示：包括系統(tǒng)初始化和參數(shù)輸入、建模、譜變換、切比雪夫離散化、牛頓校正、輸出特征值。而后續(xù)進(jìn)行穩(wěn)定域刻畫(huà)則是在時(shí)滯空間中對(duì)負(fù)實(shí)部臨界特征值進(jìn)行搜索,搜索過(guò)程對(duì)上述算法進(jìn)行重復(fù)以求解各搜索點(diǎn)特征值。

3 算例分析

以含單個(gè)EV 集群調(diào)頻的信息能源系統(tǒng)為例,具體參數(shù)列在文獻(xiàn)［25］中?；谔岢龅淖V特征提取法對(duì)引入通信環(huán)節(jié)時(shí)滯后系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行綜合評(píng)估,并將其與以不考慮通信環(huán)節(jié)時(shí)滯的系統(tǒng)為初始狀態(tài)的牛頓迭代法及線性矩陣不等式（LMI）方法進(jìn)行對(duì)比算例分析。

為了進(jìn)一步驗(yàn)證所提出方法,研究EV 時(shí)滯與電力系統(tǒng)調(diào)度網(wǎng)絡(luò)時(shí)滯的區(qū)別,在3.3 節(jié)設(shè)置考慮發(fā)電單元引入時(shí)滯的信息能源系統(tǒng),對(duì)其穩(wěn)定域進(jìn)行刻畫(huà)。

3.1 單時(shí)滯含EV 調(diào)頻的信息能源系統(tǒng)算例

對(duì)含單EV 集群的調(diào)頻信息能源系統(tǒng)進(jìn)行分析,其中控制器增益KP設(shè)置為0.2,KI設(shè)置為0.2,時(shí)滯τ設(shè)置為100 s,其余系統(tǒng)參數(shù)如文獻(xiàn)［25］所示。對(duì)此典型算例,利用本文提出方法對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性進(jìn)行分析,實(shí)現(xiàn)過(guò)程如下。

步驟1：系統(tǒng)初始化和參數(shù)輸入。以設(shè)置N=30 為例,即離散化矩陣維數(shù)（N+1）n=186；設(shè)置牛頓校正收斂精度為10-6,最大迭代次數(shù)為100。

步驟2：建模?；?.2 節(jié)方法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行建模,推導(dǎo)得到系統(tǒng)非時(shí)滯參數(shù)矩陣和時(shí)滯參數(shù)矩陣。

步驟3：譜變換。為了避免直接求解含超越項(xiàng)的時(shí)滯微分方程,利用無(wú)窮小算子將其轉(zhuǎn)化為抽象常微分方程。這樣,時(shí)滯系統(tǒng)的譜轉(zhuǎn)化為無(wú)窮小算子H的譜,進(jìn)而可以通過(guò)計(jì)算H的特征值（σ(H)）來(lái)獲得原系統(tǒng)的特征值。

步驟4：切比雪夫離散化?；谇斜妊┓蚨囗?xiàng)式對(duì)H進(jìn)行離散,得到有限維離散矩陣HN。進(jìn)而可以計(jì)算HN的特征值（σ(HN)）,對(duì)H的特征值進(jìn)行近似求解,如附錄D 圖D1（a）所示。

步驟5：牛頓迭代。由于離散化步驟是近似逼近,因此需要進(jìn)行校正。以HN的n（n=6）維臨界特征 值 及 特 征 向 量{λ?,v?}為 初 值,應(yīng) 用 牛 頓 法 求 解式（16）。第p次迭代的J和函數(shù)值fp可以由式（24）計(jì)算。

步驟6：輸出特征值并進(jìn)行穩(wěn)定性分析。得到準(zhǔn)確特征值后,可以有效使用特征值分析方法分析當(dāng)前參數(shù)下系統(tǒng)穩(wěn)定性。在此參數(shù)下,臨界特征值實(shí)部為0.002 1＞0,意味著系統(tǒng)為負(fù)阻尼狀態(tài),會(huì)發(fā)生增幅振蕩失穩(wěn)。

步驟7：穩(wěn)定域求解?；谏鲜龇治鲞^(guò)程,可以對(duì)研究范圍內(nèi)其他搜索點(diǎn)進(jìn)行特征值計(jì)算與穩(wěn)定性分析。設(shè)置時(shí)滯搜索步長(zhǎng)為0.1 s,控制器比例增益步長(zhǎng)為0.002,以刻畫(huà)在不同的控制器參數(shù)下系統(tǒng)的穩(wěn)定域,如圖3 中紅色區(qū)域所示。

3.2 對(duì)比算例分析

3.2.1 與以不考慮通信環(huán)節(jié)時(shí)滯的系統(tǒng)為初始狀態(tài)的牛頓迭代法比較

為了驗(yàn)證所提方法的有效性,同時(shí)定量分析譜離散化對(duì)結(jié)果的影響及必要性,設(shè)置以不考慮通信環(huán)節(jié)時(shí)滯的系統(tǒng)為初始狀態(tài)的牛頓迭代法進(jìn)行對(duì)比分析。

同時(shí),為對(duì)離散化維數(shù)設(shè)置對(duì)所提方法影響進(jìn)行分析,設(shè)置不同離散化維數(shù)進(jìn)行對(duì)比。

基于上述方法,分別對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性評(píng)估,得到了指定系統(tǒng)參數(shù)下能獲取準(zhǔn)確特征值允許的時(shí)滯研究范圍（在本文研究范圍內(nèi),采用所提出方法N=200 后再增大離散化維數(shù),特征值結(jié)果不變,如附錄E 表E1 所示,因此將該方法得到的特征值,作為驗(yàn)證方法精確性的基準(zhǔn)）。

圖3 本文方法與文獻(xiàn)[25]方法結(jié)果比較Fig.3 Comparison between the proposed method and that in reference [25]

首先采用以不考慮通信環(huán)節(jié)時(shí)滯的系統(tǒng)為初始狀態(tài)的牛頓迭代法,驗(yàn)證直接進(jìn)行牛頓迭代的結(jié)果,對(duì)無(wú)時(shí)滯的系統(tǒng)(KP=0.2,KI=0.2)求取特征值,將其作為牛頓法初值,經(jīng)過(guò)迭代得到最終值,結(jié)果顯示：當(dāng)時(shí)滯τ≤0.5 s 時(shí),可以準(zhǔn)確計(jì)算系統(tǒng)全部特征值；當(dāng)0.5 s ＜τ≤36 s 時(shí),不能準(zhǔn)確計(jì)算全部特征值但仍可準(zhǔn)確捕捉臨界（最右側(cè)）特征值；而當(dāng)τ＞36 s時(shí),全部特征值計(jì)算不準(zhǔn)確。

隨后基于譜特征方法,即對(duì)牛頓法初值進(jìn)行預(yù)處理,在相同控制器參數(shù)設(shè)置下,改變N（N=10,N=20,N=30）,研究全部特征值準(zhǔn)確、臨界特征值準(zhǔn)確、全部特征值不準(zhǔn)確這3 種準(zhǔn)確度標(biāo)準(zhǔn)對(duì)應(yīng)的時(shí)滯范圍,如附錄E 圖E1 所示。

總結(jié)上述結(jié)果,可以得出如下結(jié)論。

1）牛頓法實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確校正的條件是迭代初值接近準(zhǔn)確值：由譜離散化獲得的初值影響牛頓校正結(jié)果,進(jìn)而影響穩(wěn)定性分析準(zhǔn)確性。

2）時(shí)滯較小時(shí),不考慮時(shí)滯的系統(tǒng)特征值與時(shí)滯系統(tǒng)近似,即牛頓迭代初值在成功校正范圍內(nèi),經(jīng)校正可以獲得準(zhǔn)確的全部特征值。

3）隨時(shí)滯增大,計(jì)算特征值不再全部準(zhǔn)確,只有臨界特征值準(zhǔn)確,時(shí)滯繼續(xù)增大,迭代后全部特征值均存在誤差。

4）所提出方法會(huì)顯著增大對(duì)信息網(wǎng)絡(luò)的時(shí)滯分析范圍。

5）隨離散化矩陣維數(shù)增大,特征值計(jì)算準(zhǔn)確度提高,時(shí)滯分析范圍增大,但計(jì)算時(shí)間增加,如附錄E 表E2 所 示。

根據(jù)附錄E 圖E1 所示各方法的適用范圍,針對(duì)不同的時(shí)滯研究范圍和特征值提取要求,選擇不同的離散化方案。

對(duì)于全部特征值準(zhǔn)確計(jì)算的目標(biāo),由附錄E 圖E1 中藍(lán)色折線可以看出：①當(dāng)τ≤0.5 s 時(shí),選擇不考慮通信環(huán)節(jié)時(shí)滯系統(tǒng)為初始狀態(tài)的牛頓迭代法；②當(dāng)時(shí)滯范圍擴(kuò)大到0.5～30 s 時(shí),采用N=10 的譜特征方法；③繼續(xù)增大研究時(shí)滯范圍,相應(yīng)采用的N也變大。而當(dāng)特征值提取要求降低時(shí),如進(jìn)行穩(wěn)定性分析時(shí),只需保證臨界特征值計(jì)算準(zhǔn)確,如附錄E圖E1 中紅色折線所示。

基于此,可以針對(duì)用戶需求（時(shí)滯研究范圍和特征值提取要求（全部/臨界特征值準(zhǔn)確））對(duì)方法進(jìn)行選擇。

隨后在不同離散化維數(shù)設(shè)置下,對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定域進(jìn)行求解。首先改變離散化矩陣維數(shù),在N=10,N=20,N≥30 的 設(shè) 置 下,在N=10 和N=20 離 散化方案下刻畫(huà)3.1 節(jié)算例中穩(wěn)定域,如附錄E 圖E2和圖E3 所示。

在N≥30 方案下,獲得的穩(wěn)定域與3.1 節(jié)一致,如圖3 中紅色區(qū)域所示。經(jīng)驗(yàn)證該結(jié)果與仿真（MATLAB,Simulink）一致,如附錄E 圖E4 所示。

結(jié)合附錄E 圖E2、圖E3 和圖3 分析可知,在N較小時(shí),隨時(shí)滯增大,會(huì)出現(xiàn)穩(wěn)定域刻畫(huà)不準(zhǔn)確的現(xiàn)象。但是在N≥30 參數(shù)設(shè)置下,均可以獲得準(zhǔn)確穩(wěn)定域,且計(jì)算效率較高。

附錄E 表E2 給出了不同離散化維數(shù)設(shè)置下的穩(wěn)定域求解方法的迭代次數(shù)和計(jì)算時(shí)間等信息。通過(guò)對(duì)比分析可知：隨離散化維數(shù)增大,譜離散所得特征值準(zhǔn)確性提高,導(dǎo)致牛頓校正迭代次數(shù)變小。但由于矩陣維數(shù)變大,單次特征值計(jì)算時(shí)間增加,刻畫(huà)穩(wěn)定域效率下降,但時(shí)滯分析范圍顯著上升。

對(duì)附錄E 圖E2、圖E3 和圖3 呈現(xiàn)的規(guī)律進(jìn)一步細(xì)化,以N=2 為步長(zhǎng),研究穩(wěn)定域計(jì)算準(zhǔn)確度（判斷準(zhǔn)確區(qū)域與總區(qū)域點(diǎn)數(shù)之比）與N的對(duì)應(yīng)關(guān)系,結(jié)果顯示：N增大到24 后,已經(jīng)可以實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確刻畫(huà)穩(wěn)定域,隨后增大N,準(zhǔn)確度不會(huì)再提升但計(jì)算效率下降。基于此,可依據(jù)用戶需求,選擇離散化方案,以尋求計(jì)算準(zhǔn)確度與計(jì)算速度之間的平衡。

總結(jié)上述結(jié)果,可得出如下結(jié)論。

1）本文提出方法,與以不考慮通信環(huán)節(jié)時(shí)滯的系統(tǒng)為初始狀態(tài)進(jìn)行牛頓迭代相比,會(huì)顯著增大對(duì)信息網(wǎng)絡(luò)的時(shí)滯分析范圍,實(shí)現(xiàn)在時(shí)滯較大時(shí),仍能準(zhǔn)確高效捕捉系統(tǒng)特征值。

2）采用譜特征提取法評(píng)估系統(tǒng)穩(wěn)定性時(shí),隨離散化維數(shù)增大,時(shí)滯分析范圍增大,穩(wěn)定域準(zhǔn)確度提高但速度下降。在N=30 內(nèi)可以獲取準(zhǔn)確穩(wěn)定域且實(shí)現(xiàn)較高效率。

3.2.2 與LMI 方法的比較

一般來(lái)說(shuō),利用李雅普諾夫定理引入保守性。一些研究不斷對(duì)時(shí)域法進(jìn)行優(yōu)化試圖減少判據(jù)保守性。參考文獻(xiàn)［25］基于Lyaponuv 理論和LMI 方法,利用基于Writinger 的改進(jìn)積分不等式提出了時(shí)滯穩(wěn)定性準(zhǔn)則。其判據(jù)被公認(rèn)為保守性很小。為此,將本文方法與其對(duì)比,并基于2 種方法分別對(duì)3.1 節(jié)算例中的系統(tǒng)穩(wěn)定域進(jìn)行刻畫(huà)。結(jié)果如圖3所示。從圖中可以看出,該算法仍存在不可避免的保守性,求得的穩(wěn)定裕度小于系統(tǒng)實(shí)際穩(wěn)定邊界值,并且不能計(jì)算出第1 個(gè)穩(wěn)定域之后隨時(shí)滯增大再次出現(xiàn)的穩(wěn)定域。而本文提出方法解決了傳統(tǒng)LMI方法保守性的問(wèn)題,可以準(zhǔn)確刻畫(huà)系統(tǒng)全部穩(wěn)定域。

3.3 考慮EV 時(shí)滯與電力系統(tǒng)調(diào)度網(wǎng)絡(luò)時(shí)滯的雙時(shí)滯系統(tǒng)算例

為進(jìn)一步驗(yàn)證本文所提方法,并研究EV 時(shí)滯與系統(tǒng)調(diào)度網(wǎng)絡(luò)時(shí)滯的區(qū)別。本節(jié)構(gòu)建考慮EV 時(shí)滯與系統(tǒng)調(diào)度網(wǎng)絡(luò)時(shí)滯的信息能源系統(tǒng),綜合考慮發(fā)電單元與EV 引入時(shí)滯,考慮時(shí)滯后發(fā)電單元模型如圖4 所示,整個(gè)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)及狀態(tài)空間方程如附錄F 所示。

圖4 考慮時(shí)滯的發(fā)電單元模型Fig.4 Power generation unit model considering delays

采用本文提出方法,在KP=0.2 和KI=0.2 的參數(shù)設(shè)置下,首先固定發(fā)電單元時(shí)滯不變（τ0=5 s）,研究不同離散化維數(shù)下特征值準(zhǔn)確度與EV 時(shí)滯的對(duì)應(yīng)關(guān)系、結(jié)果如附錄G 表G1 所示。隨后固定EV時(shí)滯（τ1=5 s）,特征值準(zhǔn)確度與發(fā)電單元時(shí)滯的關(guān)系如附錄G 表G2 所示。

對(duì)比2 個(gè)表格,可以觀察到固定τ0時(shí)該方法對(duì)τ1的時(shí)滯分析范圍比固定τ1時(shí)對(duì)τ0的分析范圍更大,附錄G 圖G1 解釋了該結(jié)果：固定τ0時(shí),隨著τ1增大,臨界特征值會(huì)逐漸收斂于固定值不再變化,因而在較小的離散化維數(shù)下可以獲得更大的時(shí)滯分析范圍。而固定τ1增大τ0,臨界特征值不會(huì)收斂,因而時(shí)滯分析范圍相對(duì)較小。

隨后采用提出方法（N=30）,在τ0∈[0,100]s,τ1∈[0,100]s 的研究范圍內(nèi),求解系統(tǒng)穩(wěn)定域,如圖5 所示。

圖5 信息能源系統(tǒng)穩(wěn)定域Fig.5 Stability region of cyber-energy system

1）EV 時(shí)滯的穩(wěn)定域呈現(xiàn)3 個(gè)區(qū)間（τ0=0 s,τ1=30 s 處存在一個(gè)小區(qū)間）,而對(duì)于發(fā)電單元時(shí)滯,則存在一個(gè)確定的穩(wěn)定裕度,當(dāng)時(shí)滯小于裕度系統(tǒng)穩(wěn)定,超過(guò)裕度系統(tǒng)失穩(wěn)。

2）EV 時(shí)滯比發(fā)電單元時(shí)滯對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定域影響大,如圖5 所示。當(dāng)τ0在[0,10]s 范圍內(nèi)取值時(shí),系統(tǒng)存在穩(wěn)定域（在τ0∈[0,10]s 范圍畫(huà)豎線,均有穩(wěn)定域與直線相交）；當(dāng)τ1∈[4,10]s 時(shí),無(wú)論τ0取值為多少,系統(tǒng)均不穩(wěn)定。

以N=2 為步長(zhǎng),研究穩(wěn)定域計(jì)算準(zhǔn)確度與N的關(guān)系,結(jié)果繪制于附錄G 圖G2。在N增大到14后,可以實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確刻畫(huà)穩(wěn)定域。

進(jìn)一步,對(duì)EV 與發(fā)電單元對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性產(chǎn)生不同影響的原因進(jìn)行探究,結(jié)果如附錄H 所示。

4 結(jié)語(yǔ)

本文提出了一種含EV 集群調(diào)頻的信息能源系統(tǒng)譜特征和穩(wěn)定性評(píng)估方法。利用譜變換、譜離散、牛頓迭代等關(guān)鍵技術(shù),計(jì)算得到系統(tǒng)特征值,對(duì)信息能源系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性綜合評(píng)估。

1）含EV 集群調(diào)頻的信息能源系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析結(jié)果表明,該方法能夠較準(zhǔn)確且高效地求解信息能源系統(tǒng)特征值。

2）基于譜特征提取方法分析穩(wěn)定性時(shí),準(zhǔn)確求解特征值的時(shí)滯范圍與離散化維數(shù)有關(guān),當(dāng)N在30以內(nèi),可以獲得全部準(zhǔn)確穩(wěn)定域；再增加系統(tǒng)維數(shù),計(jì)算效率下降。

3）基于用戶需求,可以對(duì)穩(wěn)定性評(píng)估方法進(jìn)行選擇,以尋求計(jì)算準(zhǔn)確度與速度間的平衡。

4）綜合考慮EV 時(shí)滯與電力系統(tǒng)調(diào)度網(wǎng)絡(luò)時(shí)滯的算例結(jié)果揭示了EV 時(shí)滯與調(diào)度網(wǎng)絡(luò)時(shí)滯對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定域影響的區(qū)別：前者的穩(wěn)定域呈現(xiàn)若干個(gè)區(qū)間,而后者則是存在一個(gè)確定的穩(wěn)定裕度。同時(shí),EV時(shí)滯對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定域的影響更大。

本文提出方法存在當(dāng)時(shí)滯很大時(shí)為了保證準(zhǔn)確性使得離散化維數(shù)增大從而導(dǎo)致計(jì)算效率下降的局限性。今后的工作中將進(jìn)一步對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行降維以實(shí)現(xiàn)更高的計(jì)算效率。

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