殷嘯宇，齊鳴瑞

(南京航空航天大學(xué) 能源與動(dòng)力學(xué)院，江蘇 南京 210016)

0 引言

循環(huán)載荷引發(fā)的疲勞失效是航空發(fā)動(dòng)機(jī)壓氣機(jī)葉片產(chǎn)生故障失效的主要原因[1]。為了有效抑制航空發(fā)動(dòng)機(jī)壓氣機(jī)葉片的振動(dòng)，國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者對(duì)壓氣機(jī)葉片的減振方法進(jìn)行了大量的研究[2-3]。最為有效的方法是在壓氣機(jī)葉片表面涂覆一層或多層阻尼材料[4-5]，其中黏彈性阻尼材料減振效果好而且價(jià)格低廉，是一種經(jīng)濟(jì)有效的減振手段。

將黏彈性阻尼材料應(yīng)用于阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)的固有頻率與損耗因子是結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性和減振耗能性能的兩個(gè)重要指標(biāo)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)此展開(kāi)了廣泛且深入的討論[6-7]。RAO D K[8]首先提出了在復(fù)雜邊界條件下復(fù)合夾層梁的頻率階損耗因子的理論求解方法；RIKARDS R[9]等采取復(fù)模量模型對(duì)材料特性進(jìn)行描述；任志剛等[10]在考慮黏彈性材料彈性模量頻率依賴性的基礎(chǔ)上采用復(fù)模量模型對(duì)材料進(jìn)行擬合，并提出用迭代的經(jīng)典模態(tài)應(yīng)變能法與迭代的復(fù)特征值法求解復(fù)合結(jié)構(gòu)固有頻率與模態(tài)損耗因子；孫偉等[11]采用特征向量增值法對(duì)復(fù)特征值法進(jìn)行了改進(jìn)計(jì)算；伍先俊[12]基于模態(tài)應(yīng)能法給出了求解復(fù)雜結(jié)構(gòu)阻尼的有限元計(jì)算方法；鄒萬(wàn)杰等[13]采用一般積分形式黏彈性阻尼器微積分方程組建立了結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程，并使用模態(tài)應(yīng)變能法將其解耦，進(jìn)而采用傳遞矩陣法進(jìn)行求解，獲得了結(jié)構(gòu)響應(yīng)解析表達(dá)式。

綜上，對(duì)于考慮頻率依賴性的黏彈性復(fù)合結(jié)構(gòu)，可使用復(fù)特征值迭代法進(jìn)行動(dòng)力學(xué)特性的計(jì)算，但計(jì)算量較大。也可采用模態(tài)應(yīng)變能迭代法，模態(tài)應(yīng)變能迭代法雖不如復(fù)特征值迭代法精確，但在滿足工程應(yīng)用的誤差允許范圍內(nèi)，具有更高的計(jì)算效率。本文將涂覆黏彈性涂層的壓氣機(jī)葉片簡(jiǎn)化為考慮頻率依賴性的黏彈性復(fù)合板，基于經(jīng)典模態(tài)應(yīng)變能法提出了一種修正的模態(tài)應(yīng)變能法，推導(dǎo)出考慮頻率依賴性的黏彈性復(fù)合板的求解算法，即一種基于修正模態(tài)應(yīng)變能法的迭代求解方法，對(duì)具有頻率依賴性的黏彈性復(fù)合板進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)特性分析。

1 修正模態(tài)應(yīng)變能法原理

由模態(tài)應(yīng)變能法得出了一種使用實(shí)特征向量求解阻尼系統(tǒng)損耗因子的近似方法，極大地提高了運(yùn)算效率并且其運(yùn)算過(guò)程可以很容易地通過(guò)大型商業(yè)有限元軟件實(shí)現(xiàn)。然而對(duì)經(jīng)典模態(tài)應(yīng)變能法的計(jì)算公式進(jìn)行分析后不難發(fā)現(xiàn)，經(jīng)典模態(tài)應(yīng)變能法采用無(wú)阻尼系統(tǒng)實(shí)特征向量替代阻尼系統(tǒng)復(fù)特征向量，這是由于沒(méi)有將剛度矩陣的虛部考慮進(jìn)去，即沒(méi)有考慮阻尼剛度矩陣[KI]，這樣會(huì)在一定程度上導(dǎo)致誤差的出現(xiàn)。本文推導(dǎo)了一種修正的模態(tài)應(yīng)變能法，其核心思想是通過(guò)加權(quán)阻尼剛度矩陣對(duì)無(wú)阻尼系統(tǒng)的模態(tài)振型進(jìn)行修正，修正后的特征方程為：

(1)

其中β為修正系數(shù)，其計(jì)算方法如下：

(2)

采用修正模態(tài)應(yīng)變能法時(shí)，其結(jié)構(gòu)模態(tài)損耗因子定義為

(3)

由于修正模態(tài)應(yīng)變能法將結(jié)構(gòu)復(fù)剛度矩陣的虛部貢獻(xiàn)考慮在內(nèi)，因此可提高結(jié)構(gòu)阻尼預(yù)估的準(zhǔn)確性。HU B[14]針對(duì)該方法與經(jīng)典模態(tài)應(yīng)變能法進(jìn)行了誤差分析，分析結(jié)果顯示該修正方法具有更小的誤差。

2 修正模態(tài)應(yīng)變能法計(jì)算方法

基于修正模態(tài)應(yīng)變能法的計(jì)算流程主要包含5個(gè)關(guān)鍵步驟：無(wú)阻尼振型的求解、修正系數(shù)的計(jì)算、原始損耗因子的計(jì)算、修正振型的求解和修正損耗因子的求解，具體流程圖如表1、表2所示。

圖1 修正模態(tài)應(yīng)變能法的計(jì)算流程

為了對(duì)比修正模態(tài)應(yīng)變能法與經(jīng)典模態(tài)應(yīng)變能法計(jì)算結(jié)果的差別，以不考慮頻率依賴性的黏彈性復(fù)合板為研究對(duì)象，黏彈性復(fù)合板參數(shù)如表1和表2所示。

表1 方形板幾何參數(shù)與材料參數(shù)

表2 黏彈性涂層幾何參數(shù)與材料參數(shù)

依次設(shè)置方形板的材料損耗因子為0.0001、0.001、0.01、0.1，分別使用經(jīng)典模態(tài)應(yīng)變能法與修正模態(tài)應(yīng)變能法進(jìn)行1階模態(tài)損耗因子的計(jì)算，并將兩種計(jì)算方法的誤差進(jìn)行對(duì)比(圖2)。

圖2 兩種計(jì)算方法誤差率

圖中誤差率定義為(計(jì)算結(jié)果-精確解)/精確解。精確解定義為復(fù)特征值法的1階固有頻率計(jì)算結(jié)果。根據(jù)圖2可知，使用修正模態(tài)應(yīng)變能法的誤差率低于經(jīng)典模態(tài)應(yīng)變能法。

3 修正模態(tài)應(yīng)變能迭代法計(jì)算方法

黏彈性材料的材料屬性在不同頻率下具有不同的數(shù)值，即存在頻率依賴性，因此無(wú)法在整個(gè)分析過(guò)程中指定一個(gè)確定的彈性模量與材料損耗因子。對(duì)于這種情況，可使用迭代法逐步計(jì)算各階固有頻率[15]，并且通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該方法的有效性。由于黏彈性層的厚度相對(duì)于彈性層略小，為減少計(jì)算量，先計(jì)算無(wú)頻率依賴性復(fù)合結(jié)構(gòu)的各階固有頻率，并以此作為求解考慮頻率依賴性復(fù)合結(jié)構(gòu)各階固有頻率的基礎(chǔ)。這里使用黏彈性材料的靜態(tài)模量作為無(wú)頻率依賴性的材料彈性模量，迭代法求解固有頻率的具體計(jì)算流程如下，流程圖如圖3所示。

1) 求解無(wú)頻率依賴性結(jié)構(gòu)的固有頻率，即設(shè)置材料參數(shù)為ω=0對(duì)應(yīng)的彈性模量值；

2) 使用無(wú)頻率依賴性的結(jié)構(gòu)第r階頻率計(jì)算具有頻率依賴性結(jié)構(gòu)的黏彈性材料層的儲(chǔ)能模量；

3) 使用ωi,j-1對(duì)應(yīng)的黏彈性層材料參數(shù)計(jì)算當(dāng)前結(jié)構(gòu)的第r階固有頻率ωr,j；

5) 輸出滿足收斂性的第r階固有頻率ωr，計(jì)算結(jié)束。

圖3 迭代法求解固有頻率計(jì)算流程圖

根據(jù)上述固有頻率的計(jì)算步驟，可得考慮頻率依賴性的復(fù)合結(jié)構(gòu)各階固有頻率，再根據(jù)各階固有頻率確定各階模態(tài)對(duì)應(yīng)的黏彈性材料的彈性模量。因此可將問(wèn)題簡(jiǎn)化為計(jì)算常值彈性模量的結(jié)構(gòu)損耗因子問(wèn)題，進(jìn)而應(yīng)用前文提出的修正模態(tài)應(yīng)變能法進(jìn)行求解。該求解過(guò)程主要由以下幾個(gè)步驟組成(圖4)。

1) 計(jì)算第r階模態(tài)下，黏彈性材料的彈性模量Ev(ωr)；

2) 計(jì)算該階模態(tài)振型φ，計(jì)算修正系數(shù)β以及修正振型φ；

3) 計(jì)算損耗因子ηr。

圖4 修正模態(tài)應(yīng)變能迭代法計(jì)算流程圖

4 計(jì)算算例

考慮頻率依賴性的黏彈性復(fù)合板的參數(shù)如表1和表2所示，分別使用復(fù)特征值迭代法和修正模態(tài)應(yīng)變能迭代法計(jì)算其動(dòng)力學(xué)特性。

固有頻率計(jì)算結(jié)果如表3所示，表中誤差定義為：(復(fù)特征值迭代法計(jì)算結(jié)果-修正模態(tài)應(yīng)變能迭代法計(jì)算結(jié)果)/復(fù)特征值迭代法計(jì)算結(jié)果×100%。各階振型計(jì)算結(jié)果如表4所示。

表3 復(fù)特征值迭代法與修正模態(tài)應(yīng)變能迭代法固有頻率計(jì)算結(jié)果

表4 復(fù)特征值迭代法與修正模態(tài)應(yīng)變能迭代法振型計(jì)算結(jié)果

修正模態(tài)應(yīng)變能迭代法計(jì)算誤差隨階次增大逐漸增大，第6階誤差最大為1.56%。

使用修正模態(tài)應(yīng)變能迭代法與復(fù)特征值迭代法計(jì)算的前12階模態(tài)損耗因子如表5所示，表中誤差定義為：(復(fù)特征值迭代法計(jì)算結(jié)果-修正模態(tài)應(yīng)變能迭代法計(jì)算結(jié)果)/復(fù)特征值迭代法計(jì)算結(jié)果×100%。

表5 復(fù)特征值迭代法與修正模態(tài)應(yīng)變能迭代法模態(tài)損耗因子計(jì)算結(jié)果

兩種方法計(jì)算的黏彈性復(fù)合板的結(jié)構(gòu)損耗因子都在第6階出現(xiàn)峰值，此時(shí)誤差為0.39%。

5 結(jié)語(yǔ)

本文首先對(duì)比了經(jīng)典模態(tài)應(yīng)變能法和修正模態(tài)應(yīng)變能法對(duì)無(wú)頻率依賴性黏彈性復(fù)合板結(jié)構(gòu)損耗因子的計(jì)算結(jié)果，之后使用修正模態(tài)應(yīng)變能迭代法和復(fù)特征值迭代法計(jì)算頻率依賴性黏彈性復(fù)合板的動(dòng)力學(xué)特性，得出以下結(jié)論：

1) 修正模態(tài)應(yīng)變能法考慮了復(fù)剛度矩陣的虛部貢獻(xiàn)量，從算例計(jì)算結(jié)果來(lái)看相對(duì)于經(jīng)典模態(tài)應(yīng)變能法精確度更高，且計(jì)算量小于復(fù)特征值法。

2) 修正模態(tài)應(yīng)變能迭代法計(jì)算的固有頻率誤差會(huì)隨著階次增大逐漸增大。從振型來(lái)看，由于復(fù)特征值迭代法計(jì)算得出的振型為復(fù)振型，不同時(shí)刻節(jié)線的位置會(huì)變化，但是其振型與修正模態(tài)應(yīng)變能迭代法計(jì)算結(jié)果基本一致。

3) 修正模態(tài)應(yīng)變能迭代法在結(jié)構(gòu)損耗因子峰值附近計(jì)算結(jié)果最準(zhǔn)確，在遠(yuǎn)離峰值處計(jì)算誤差較大。

綜上，考慮到復(fù)特征值迭代法需要求出無(wú)阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)的全模態(tài)特征向量，對(duì)于自由度較多的結(jié)構(gòu)，其計(jì)算量較大，而修正模態(tài)應(yīng)變能迭代法計(jì)算精度較高，且相對(duì)于復(fù)特征值迭代法能夠提高計(jì)算效率。