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(南京航空航天大學(xué) 自動化學(xué)院，江蘇 南京 210016)

0 引言

裂紋作為一種齒輪故障，其發(fā)生率較高，且容易誘發(fā)其他故障，如點(diǎn)蝕、斷齒等。研究裂紋的易萌生位置、擴(kuò)展路徑和速率對提高齒輪的可靠性和使用壽命具有重要意義。

國內(nèi)外學(xué)者對齒輪裂紋擴(kuò)展路徑及速率有大量的研究。高云等[1]以漸開線圓柱齒輪為對象，利用有限元法得到齒根裂紋擴(kuò)展路徑，計算裂紋擴(kuò)展過程應(yīng)力強(qiáng)度因子變化情況，運(yùn)用Paris公式對齒根疲勞裂紋壽命進(jìn)行預(yù)測。劉雙等[2]運(yùn)用參數(shù)化建模建立漸開線齒輪副，通過對加載后齒輪副的應(yīng)力分析，確定裂紋的開裂位置以及方向，根據(jù)最大周向應(yīng)力法計算裂紋尖端的擴(kuò)展角度。余洋等[3]以直齒輪為研究對象，研究初始裂紋參數(shù)對齒根二維裂紋擴(kuò)展路徑的影響。研究表明，初始裂紋位置越靠近齒槽中心越容易發(fā)生齒輪輪緣斷裂。趙國平等[4]以斜齒輪為研究對象,綜合考慮混合潤滑狀態(tài)下摩擦動力學(xué)特性對齒面應(yīng)力分布的影響以及滲碳表層硬度梯度和殘余應(yīng)力的非均勻分布特征,以風(fēng)險疲勞累積理論為基礎(chǔ)，建立了疲勞裂紋萌生壽命預(yù)估模型。此外，國內(nèi)外學(xué)者也對其他部件的裂紋及其演變規(guī)律進(jìn)行了大量研究。袁浩等[5]使用ANSYS軟件建立有限寬板中心裂紋模型，分別使用J積分、相互作用積分和位移外推法計算裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子，并分析了多種因素對計算結(jié)果的影響。范磊等[6]以某型號直升機(jī)主減速器行星架為研究對象，采用Paris公式并結(jié)合Miner準(zhǔn)則，定量計算行星架裂紋的擴(kuò)展速率及其損傷發(fā)展過程，使用有限元軟件ANSYS Workbench對計算結(jié)果進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

本文主要研究確定了齒輪裂紋易萌生位置，根據(jù)ABAQUS仿真軟件得到的裂紋擴(kuò)展路徑及裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子，建立了基于Paris公式的齒根裂紋擴(kuò)展速率模型，實(shí)現(xiàn)了對含齒根裂紋齒輪的壽命估計。

1 Paris裂紋擴(kuò)展理論

Paris理論主要用于描述裂紋穩(wěn)定擴(kuò)展階段的裂紋擴(kuò)展速率，其表達(dá)式如下：

da/dN=C(ΔK)m

(1)

式中：a為裂紋長度；N為有效加載循環(huán)次數(shù)；C和m為齒輪材料常數(shù)；ΔK為應(yīng)力強(qiáng)度因子幅，ΔK=Kmax-Kmin。其中：Kmax為嚙合周期內(nèi)應(yīng)力強(qiáng)度因子最大值，Kmin為嚙合周期內(nèi)應(yīng)力強(qiáng)度因子最小值。

將式(1)兩邊取積分可得式(2)

(2)

式中：ath為裂紋擴(kuò)展危險閾值；ao為初始裂紋長度。

由于裂紋長度與應(yīng)力強(qiáng)度因子幅存在一定的函數(shù)關(guān)系，即

ΔK=f(a)

(3)

將式(3)帶入式(2)可得

(4)

通過式(4)可知，在已知裂紋擴(kuò)展危險閾值和初始裂紋長度情況下，可以求得含裂紋齒輪的壽命。

2 齒根裂紋有限元仿真

2.1 模型的建立

使用SolidWorks建模軟件建立齒輪副模型，如圖1所示。齒輪材料為20CrNiMo，齒輪副幾何與材料參數(shù)如表1所示。

圖1 齒輪副3D模型

表1 齒輪幾何與參數(shù)

2.2 裂紋萌生位置分析

由斷裂力學(xué)理論可知，裂紋更容易在應(yīng)力集中且反復(fù)作用的區(qū)域，所以通過仿真觀察輪齒的應(yīng)力分布，可以確定裂紋萌生的位置。

在ABAQUS軟件中，設(shè)置小齒輪以恒定角速度旋轉(zhuǎn)，對大齒輪施加大小為10000N·mm的載荷。齒輪副應(yīng)力分布如圖2所示。

圖2 齒輪副應(yīng)力分布

從圖2可以看出，除輪齒接觸區(qū)域外，齒根圓角過渡處應(yīng)力較為集中，所以確定齒根圓角過渡處為裂紋易萌生位置。

2.3 裂紋擴(kuò)展路徑

結(jié)合以上分析，在ABAQUS軟件中添加可擴(kuò)展型裂紋，裂紋富集區(qū)選擇大齒輪齒根圓角過渡處。通過ABAQUS擴(kuò)展有限元仿真得到的裂紋擴(kuò)展路徑如圖3所示。通過對比實(shí)際裂紋擴(kuò)展路徑，仿真得到的擴(kuò)展路徑符合實(shí)際情況。

圖3 裂紋擴(kuò)展路徑

將裂紋擴(kuò)展路徑分段，使用有限元法計算各階段裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的大小。由于齒輪裂紋多為Ⅰ型裂紋，所以只計算Ⅰ型應(yīng)力強(qiáng)度因子，計算結(jié)果及對應(yīng)裂紋長度如圖4所示。

圖4 裂紋擴(kuò)展數(shù)據(jù)

3 含裂紋齒輪壽命估計模型的構(gòu)建

3.1 ΔK與裂紋長度函數(shù)關(guān)系分析

由典型疲勞裂紋擴(kuò)展速率曲線可知，在穩(wěn)態(tài)擴(kuò)展區(qū)(裂紋擴(kuò)展第二階段)，log(dα/dN)—log(ΔK)呈線性關(guān)系，可知ΔK—a函數(shù)關(guān)系為指數(shù)關(guān)系，即

ΔK=αeβa

(5)

為驗(yàn)證理論分析正確性，選取一次函數(shù)、多項(xiàng)式函數(shù)、冪函數(shù)[7]作為對比。選取表1中的前10個數(shù)據(jù)用于擬合函數(shù)，后5個數(shù)據(jù)用于驗(yàn)證擬合效果。擬合函數(shù)關(guān)系式如下。

指數(shù)函數(shù)：ΔK=30.3562e0.456 3a

(6)

冪函數(shù)：ΔK=46.4705a0.220 4

(7)

多項(xiàng)式函數(shù)：ΔK=-24.0368a3+24.265a2+13.542a+29.2655

(8)

一次函數(shù)：ΔK=18.6595a+29.2818

(9)

擬合函數(shù)曲線如圖5所示。

圖5 擬合函數(shù)曲線圖

3.2 曲線擬合評價指標(biāo)

選取擬合優(yōu)度和相對誤差，對擬合效果進(jìn)行評價。

1) 擬合優(yōu)度

擬合優(yōu)度是指回歸值對觀測值的擬合程度，度量擬合優(yōu)度的統(tǒng)計量為確定系數(shù)R2，R2越接近1表示擬合程度越好；反之越差。擬合優(yōu)度表達(dá)式如式(10)。

(10)

2) 相對誤差

相對誤差表達(dá)式如下。

RErrori=(ΔKi-ΔK'i)/ΔK'i×100%

(11)

各函數(shù)擬合優(yōu)度和擬合相對誤差整理見表2、表3。

表2 各函數(shù)擬合優(yōu)度

表3 各函數(shù)擬合相對誤差 單位：%

通過表2、表3可以得出，指數(shù)函數(shù)擬合效果最好。

3.3 含齒根裂紋齒輪壽命估計

將式(6)帶入式(4)，可得

(12)

本文中裂紋危險閾值設(shè)定為2mm，即認(rèn)為當(dāng)裂紋長度達(dá)到2mm時，裂紋擴(kuò)展開始進(jìn)入快速失穩(wěn)階段，初始裂紋長度為0.01mm。通過式(12)可計算出齒輪的有效加載循環(huán)數(shù)，即壽命為165833次。

4 結(jié)語

綜上所述，可以得到以下結(jié)論：

1) 齒輪根部圓角過渡處更容易產(chǎn)生裂紋；

2) 含裂紋齒輪的壽命，相較于設(shè)計壽命(一般約為107次)，大幅縮短。