石慧榮，程艷霞，李宗剛，高 溥, 2

(1.蘭州交通大學 機電工程學院，甘肅 蘭州 730070；2.蘭州石化職業(yè)技術(shù)學院，甘肅 蘭州 730060)

隨著列車運行速度的不斷提高，要求列車各部分具有更高的穩(wěn)定性，而良好的機車齒輪箱傳動特性可有效提升機車的整體運行性能。由于輻板式齒輪能夠減小傳動質(zhì)量，常被應(yīng)用于機車齒輪箱的傳動系統(tǒng)中，但輻板和輪緣變形會使系統(tǒng)的動態(tài)特性變得更加復(fù)雜，而且齒輪時變嚙合剛度一直是齒輪箱傳動系統(tǒng)振動和噪聲的主要來源之一[1-2]，所以只有準確計算輻板式齒輪傳動的嚙合剛度，才能保證機車齒輪傳動動態(tài)分析的可靠性。

圓柱齒輪傳動嚙合剛度計算方法已得到廣泛研究，很多學者將接觸力學分析法、有限元法和切片法等應(yīng)用于嚙合剛度計算。Cooley等[3]將有限元法和分析力學原理相結(jié)合，擬合了輪齒的力變形曲線，根據(jù)曲線斜率變化關(guān)系對嚙合剛度進行了計算分析。Ankur等[4]應(yīng)用應(yīng)變能法分析了軸線偏斜和齒面摩擦對直齒輪嚙合剛度的影響。Zhan等[5]利用有限元法和準靜態(tài)分析法對直齒輪的嚙合剛度進行了計算，通過與ISO算法和文獻[6]算法的比較，驗證了該方法的準確性。Pedro等[7]基于剛性齒假設(shè)，應(yīng)用改進的拋物線單齒嚙合剛度和ISO單位長度最大嚙合剛度準則對斜齒輪嚙合剛度進行了計算，研究表明該方法能夠快速準確地計算斜齒輪傳動嚙合剛度。Gu等[8]應(yīng)用切片法對直齒和斜齒輪嚙合剛度進行了計算。Ma等[9]利用改進的嚙合剛度計算方法分析了輪齒延伸接觸和齒頂修行對嚙合特性的影響，表明該方法計算更加準確、快速。常樂浩等[10]、王奇斌[11]等為了提升嚙合剛度計算效率和準確，利用改進切片法計算了斜齒輪嚙合剛度，驗證了方法的有效性。

以上嚙合剛度計算方法大多忽略了輻板結(jié)構(gòu)對嚙合剛度的影響，不能準確計算機車腹板式齒輪傳動系統(tǒng)的時變嚙合剛度。由于輻板和輪緣變形引起齒輪基體剛度變化[12]，從而改變齒輪嚙合剛度。而切片法在輻板處存在空切，有限單元法計算量較大、效率較低[13-15]， 基于實驗法的ISO 6336-1—2006[16]計算準則雖然給出了輪緣和輻板的剛度影響因子CR，但受載荷限制考慮范圍相對粗略簡單。因此本文根據(jù)輻板式齒輪結(jié)構(gòu)特點和應(yīng)變能原理，建立針對輻板式直齒圓柱齒輪嚙合剛度計算方法，分析輻板結(jié)構(gòu)對嚙合剛度波動的影響規(guī)律；為了減小傳動系統(tǒng)慣性力，增加齒輪傳動的平穩(wěn)性，采用多目標遺傳算法對輻板結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化，以期優(yōu)化后的機車輻板式齒輪傳動系統(tǒng)能夠在縮減傳動質(zhì)量的情況下具有更加良好的傳動性能。

1 機車輻板式齒輪嚙合剛度計算

某機車用輻板式大齒輪見圖1，輪緣相對輻板對稱，輪緣和輻板厚度分別為tp和tb，n個半徑為rh的輻板孔沿周向均勻布置，b表示齒寬。

圖1 輻板式直齒圓柱齒輪

1.1 嚙合剛度計算原理

由于機車齒輪箱傳遞功率較大，會導(dǎo)致輪緣和腹板出現(xiàn)較大形變，從而改變輪齒理論接觸線的有效長度，因此為了保證輻板式直齒輪嚙合剛度計算的準確性，必須計入齒輪基體對嚙合剛度的影響，而ISO 6336-1—2006標準中基體結(jié)構(gòu)影響因子CR受實驗條件限制，不能滿足機車輻板式齒輪嚙合剛度計算需求。通常線性剛度滿足如下關(guān)系

(1)

式中：k為剛度；F為外載荷；s為位移。但此公式只適合于集中載荷問題，對于承受分布載荷的齒輪傳動系統(tǒng)，可運用應(yīng)變能法計算嚙合剛度。在直齒輪傳動系統(tǒng)中，假設(shè)Ub為輪齒的彎曲應(yīng)變能，Ua為軸向壓縮應(yīng)變能，Uh為接觸應(yīng)變能，Us為剪切應(yīng)變能，則可分別表示為

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

其中：Fn為嚙合點的作用力；kb、ka、kh、ks分別為輪齒的彎曲剛度、軸向壓縮剛度、接觸剛度、剪切剛度；Fa、Fb分別為徑向力、切向力；G、E、υ分別為剪切模量、楊氏模量、泊松比；Ax、hx、Ix分別為距齒根圓x處的截面積、半齒厚、慣性矩；h、l分別為嚙合點處的半齒厚和嚙合點到齒根圓的距離。各參數(shù)在輪齒的對應(yīng)關(guān)系見圖2。

圖2 直齒輪輪齒模型

則嚙合輪齒的總應(yīng)變能可表示為

Us，p+Us，g+Uh

(7)

根據(jù)式(1)～式(7)，輪齒的總剛度kz為

(8)

式中:Ua,i、Ub,i和Us,i分別是齒輪i輪齒的壓縮、彎曲和剪切應(yīng)變能，ka,i、kb,i和ks,i分別為對應(yīng)的壓縮、彎曲和剪切剛度，i=p,g，分別代表主動輪和從動輪。由于實體齒輪基體具有較大剛度，其嚙合剛度可利用式(8)和切片法準確計算，但是由于輻板式齒輪的輻板和輪緣變形較大，可能導(dǎo)致輪齒接觸狀態(tài)改變，因此必須計入齒輪基體對嚙合剛度的影響。與輪齒受載類似，齒輪基體剛度kzb可以表示為

(9)

式中：kab,i、kbb,i和ksb,i分別表示齒輪i基體的壓縮、彎曲和剪切剛度。

由此得出輻板式直齒輪的總嚙合剛度km為

(10)

式中：Uzb為齒輪體應(yīng)變能；Um為輻板式直齒輪的總應(yīng)變能。

1.2 輻板式齒輪傳動嚙合剛度波動因子

機車輻板式齒輪傳動的平穩(wěn)性與其嚙合剛度變化特性直接相關(guān)，而不同的齒輪輻板結(jié)構(gòu)會誘發(fā)不同的輪齒接觸形式，從而使嚙合剛度的時變特性更加復(fù)雜，在一定條件下會導(dǎo)致傳動的不穩(wěn)定。為了減小輻板、輪緣和輻板孔變化引起的嚙合剛度波動，保證機車齒輪系統(tǒng)傳動的穩(wěn)定性，定義嚙合剛度波動因子η來衡量嚙合剛度波動幅度，它可以寫成

(11)

式中:k0、kmin、kmax分別為一個周期內(nèi)嚙合剛度的平均值、最小值及最大值。

1.3 嚙合剛度計算驗證

本文以文獻[8]給出的實體直齒圓柱齒輪為例，利用式(10)計算其單位齒寬嚙合剛度，計算結(jié)果與原文獻結(jié)果的比較見圖3。

圖3 嚙合剛度對比

由圖3可以看出，應(yīng)用本文給出方法計算得到的實體直齒輪嚙合剛度與文獻[8]采用的改進切片方法所得結(jié)果基本一致，但由于進入雙齒嚙合時大齒輪齒頂和齒中受載，大齒輪彎曲變形較大，而退出時大齒輪齒中和齒根受力，大齒輪變形較小，因此進入雙齒嚙合時的剛度較退出雙齒嚙合略小；而對于單齒嚙合區(qū)，主要是大小齒輪輪齒中部接觸，本文計算結(jié)果與文獻[8]結(jié)果一致。通過上述比較可以看出，本文采用的方法能夠更加精確反應(yīng)齒輪嚙合過程中形變特點，保證直齒圓柱齒輪傳動嚙合剛度計算的準確性。

2 嚙合剛度影響因素分析

機車齒輪傳動中為了有效減小齒輪傳動質(zhì)量，大齒輪采用圖1所示的輻板式結(jié)構(gòu)。設(shè)大、小齒輪的齒數(shù)分別為103和22，齒輪壓力角為20°，模數(shù)為0.008 m，齒輪有效寬度b=0.142 m，初始輪緣厚度tp=0.013 14 m，輻板厚度tb=0.028 4 m，輻板孔徑rh=0.1 m，孔數(shù)n=6。機車運行速度160 km/h，牽引電機功率1 225 kW，小齒輪為實體齒輪。在后續(xù)分析中未作特別說明，各參數(shù)均為初始參數(shù)。

2.1 輻板孔數(shù)對嚙合剛度的影響

嚙合剛度隨輻板孔數(shù)的變化曲線見圖4。由圖4(a)可見，輻板式直齒圓柱齒輪的嚙合剛度km隨輻板孔數(shù)n的增加而減小，而且也注意到較大的n會使km大幅下降，如當n=18時對應(yīng)的嚙合剛度最大值為5.1×108N/m，相對于n=6時的最大嚙合剛度下降了3.76×108N/m；圖4(b)表明平均嚙合剛度k0隨n的增大逐漸減小，當n>16后k0隨n的增大迅速下降，因此較多的輻板孔會嚴重影響齒輪的傳動性能；由圖4(c)可以看出，隨著n的增加嚙合剛度波動因子η近似呈上升趨勢，但是n取特定值會引起嚙合剛度波動因子η大幅增加。

圖4 輻板孔數(shù)對嚙合剛度的影響

2.2 輻板孔徑對嚙合剛度的影響

不同輻板孔徑時嚙合剛度變化曲線見圖5。由圖5(a)可知，隨著輻板孔徑rh的增加，嚙合剛度km逐漸減小，而且較大的rh會導(dǎo)致嚙合剛度快速下降；由圖5(b)可見，rh=0.08 m時的平均嚙合剛度k0比rh=0.18 m時高約3.2×108N/m；圖5(c)表明，隨著rh的增加，嚙合剛度波動因子η波動上升，但rh不會引起的大幅變化。由此可知，雖然可以通過增加輻板孔徑減小輻板式齒輪傳動的慣性力，但是較大的孔徑會造成齒輪嚙合剛度大幅下降，而且在一定程度上增加嚙合剛度的波動，影響輻板式齒輪的傳動性能。

圖5 孔徑對嚙合剛度的影響

2.3 輻板厚度對嚙合剛度的影響

嚙合剛度隨輻板厚度的變化關(guān)系見圖6。在圖6(a)中，輻板厚度tb增大，嚙合剛度km也隨之增加，而且較小的腹板厚度tb會引起嚙合剛度大幅下降；由圖6(b)可見，輻板厚度tb=0.078 1 m時的平均嚙合剛度k0相對于tb=0.014 2 m時減小了5.86×108N/m，所以輻板厚度變化會嚴重影響嚙合剛度變化，較薄的輻板也不能滿足機車齒輪傳動要求，會導(dǎo)致傳動的不可靠；圖6(c)表明，當輻板厚度tb增大時，嚙合剛度波動因子η呈近似下降趨勢，但腹板厚度變化不會引起η的大幅變化。因此較小的輻板厚度會引起傳動系統(tǒng)嚙合剛度的大幅下降，使剛度波動增大，從而加劇機車齒輪箱傳動的振動和噪聲問題。

圖6 輻板厚度對嚙合剛度的影響

2.4 輪緣厚度對嚙合剛度的影響

嚙合剛度隨輪緣厚度的變化關(guān)系見圖7。圖7(a)表明，嚙合剛度km隨輪緣厚度tp的減小而減小，但輪緣厚度對嚙合剛度影響較小；由圖7(b)可以看出，當輪緣厚度tp由0.023 1 m 減小為0.006 6 m，對應(yīng)的平均嚙合剛度k0僅下降了1.8×107N/m，因此相對于輻板孔徑和孔數(shù)、輻板厚度，輪緣厚度對剛度影響最小；由圖7(c)可知，輪緣厚度tp對嚙合剛度波動因子η的影響較復(fù)雜，選取特定的輪緣厚度能夠減小機車齒輪傳動的剛度波動，增加傳動的平穩(wěn)性。

圖7 輪緣厚度對嚙合剛度的影響

通過以上分析可知，對于機車輻板式齒輪傳動系統(tǒng)，嚙合剛度及其波動特性都會隨輻板孔徑rh、孔數(shù)n、厚度tb和輪緣厚度tp變化而不斷改變，從而導(dǎo)致機車齒輪箱傳動特性的變化。為了改進齒輪箱傳動性能，可以針對輻板結(jié)構(gòu)采用參數(shù)匹配設(shè)計，減小嚙合剛度波動和慣性力，增進機車高速運行時的穩(wěn)定性和舒適性。

3 機車輻板式齒輪優(yōu)化設(shè)計

3.1 多目標遺傳算法優(yōu)化

多目標遺傳算法優(yōu)化是建立在生物進化基礎(chǔ)上，根據(jù)進化過程中的選擇和遺傳機理，對工程實際問題進行多目標隨機搜索，實現(xiàn)對彼此制約和相互矛盾問題的優(yōu)化，避免出現(xiàn)局部最優(yōu)，其具有較強的通用性和穩(wěn)定性。本文針對輻板式直齒輪傳動系統(tǒng)，通過對輻板結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計，實現(xiàn)輻板式齒輪質(zhì)量和嚙合剛度波動的最小化，從而使機車輻板式直齒輪系統(tǒng)具有最佳的傳動性能。

3.2 設(shè)計變量

由于機車輻板式直齒圓柱齒輪傳動系統(tǒng)的質(zhì)量和嚙合剛度受輻板厚度tb、輪緣厚度tp、輻板孔數(shù)n和孔徑rh的影響較大，因此通過對輻板結(jié)構(gòu)的優(yōu)化可以在有效減小輻板式齒輪傳動系統(tǒng)質(zhì)量的條件下，改善機車齒輪系統(tǒng)的動態(tài)特性。在此假定設(shè)計變量的矢量形式為

X=[x1,x2,x3,x4]T=[n,rh,tb,tp]T

(12)

根據(jù)輻板式齒輪結(jié)構(gòu)設(shè)計和制造要求，一般輻板孔數(shù)取4≤n≤16的偶數(shù)，為滿足機車齒輪箱傳動要求, 輻板式齒輪輪緣厚度應(yīng)大于全齒高的0.2倍，因此優(yōu)化時0.006 569 m≤tp≤0.032 845 m，輻板孔徑的取值范圍是0.006 569 m≤rh≤0.032 845 m，輻板厚度應(yīng)在b/10≤tb≤b變化，同時為了保證齒輪傳動中不出現(xiàn)疲勞破壞，輪齒的彎曲疲勞應(yīng)力σF≤[σ]F=300 MPa，接觸疲勞應(yīng)力σH≤[σ]H=450 MPa。

3.3 目標函數(shù)

在機車輻板式齒輪傳動中，較大的嚙合剛度波動可能導(dǎo)致齒輪傳動誤差劇烈變化，從而影響傳動的平穩(wěn)性；而且厚重的機車齒輪會增加傳動質(zhì)量、能耗、材料損耗和制造成本，因此本文以機車輻板式直齒圓柱齒輪傳動系統(tǒng)的嚙合剛度波動因子和輻板式大齒輪質(zhì)量為優(yōu)化目標，使其最小以提升系統(tǒng)的傳動性能，則目標函數(shù)F為

(13)

式中：f(·)和g(·)分別為嚙合剛度波動因子函數(shù)和大齒輪質(zhì)量函數(shù)；mg為輻板式大齒輪質(zhì)量。

3.4 優(yōu)化結(jié)果

圖8為通過對機車輻板式齒輪進行多目標優(yōu)化獲得的Pareto最優(yōu)解集?？梢钥闯?，Pareto最優(yōu)解只是可行解集中性能較好的一些個體，它們并不惟一，而且也不存在優(yōu)劣之分。依據(jù)遺傳算法原理，通過繁殖使性能較好的個體均勻擴展到整個準Pareto面，而后經(jīng)過交叉、變異保證種群的多樣性，使參與繁殖個體所產(chǎn)生的后代與父代個體共同競爭獲得下一代種群，由此可以避免超級個體的過度繁殖，防止早熟收斂，保證個體的優(yōu)良性。經(jīng)過多次迭代獲得的最優(yōu)解，可以縮減機車齒輪系統(tǒng)質(zhì)量，減小嚙合剛度波動，提升機車齒輪箱傳動性能。優(yōu)化前后齒輪結(jié)構(gòu)參數(shù)見表1。

圖8 Pareto前沿

通過對表1中優(yōu)化前后輻板式齒輪結(jié)構(gòu)的比較可知，相對于優(yōu)化前，優(yōu)化后的輻板式齒輪輪緣厚度tp縮小了0.006 223 m，輻板孔徑rh增大了0.016 75 m，輻板厚度tb減小了0.001 382 m，輻板孔數(shù)n保持不變，此時嚙合剛度波動因子η下降了0.001 2，而且大齒輪質(zhì)量縮減了21.15%。

優(yōu)化前后嚙合剛度見圖9。由圖9中可以看出，雖然優(yōu)化后的輻板式齒輪傳動的嚙合剛度最大值為8.02×108N/m，相對于優(yōu)化前的最大嚙合剛度減小了5.5×107N/m，但降幅較小，可以滿足機車齒輪的應(yīng)用需求。所以通過對機車輻板式齒輪傳動的優(yōu)化，能夠在減小傳動慣性力學的條件下，在一定程度上提升了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

表1 輻板式大齒輪結(jié)構(gòu)參數(shù)

圖9 優(yōu)化前后嚙合剛度

4 機車輻板式齒輪傳動特性分析

4.1 輻板式齒輪傳動動力學模型

假定齒輪嚙合系統(tǒng)不考慮齒面摩擦力，將齒輪近似為剛體，此時可以將機車直齒圓柱齒輪傳動系統(tǒng)近似只考慮在嚙合線方向的運動，則直齒圓柱齒輪系統(tǒng)的動力學模型見圖10。圖中Ii、mi和Ri分別表示齒輪的轉(zhuǎn)動慣量、質(zhì)量和基圓半徑，ki和ci為等效的支撐剛度和阻尼，yi和θi是齒輪的垂向位移和轉(zhuǎn)動，Ti是齒輪受到的轉(zhuǎn)矩，下標i=p、g分別代表主動輪和從動輪，km(t)和cm(t)表示齒輪的時變嚙合剛度和阻尼。

圖10 機車齒輪動力學模型

根據(jù)圖10所示的齒輪傳動系統(tǒng)，機車齒輪耦合傳動的動力學方程為

(14)

(15)

其中：bc為齒輪側(cè)隙，對于本文的機車齒輪傳動bc=0.000 2 m。

4.2 傳動特性分析

為了考慮高速列車輻板式齒輪的動態(tài)特性，本文主要研究某機車運行速度分別為160、250、300 km/h時優(yōu)化前后輻板式齒輪系統(tǒng)的傳動誤差幅頻特性。機車輻板式齒輪傳動系統(tǒng)的等效剛度kp、kg分別是9.68×108、7.86×109N/m，對應(yīng)的等效阻尼cp、cg分別為1.46×103、4.62×103N·s/m。為了簡化計算，將嚙合剛度傅里葉級數(shù)展開，忽略高階項，取嚙合頻率ωm處的一階諧波形式，則優(yōu)化前的平均嚙合剛度k0和諧波幅值km1分別是7.31×108、2.08×108N/m，優(yōu)化后分別為6.84×108、1.93×108N/m，通過對方程(14)求解，可以得到如圖11所示的機車輻板式齒輪傳動誤差頻譜。

圖11 優(yōu)化前后頻率響應(yīng)曲線

由圖11可知，在機車不同運行速度下，與優(yōu)化前相比，優(yōu)化后的輻板式齒輪傳動系統(tǒng)，各階共振頻率處的傳動誤差q的峰值都有所下降。圖11(a)表明，當機車以300 km/h高速運行時，優(yōu)化的傳動結(jié)構(gòu)在一階共振頻率f0=2.186 kHz處的峰值較優(yōu)化前縮減5.86×10-6m，而且在2f0處峰值也減小了1.3×10-6m；由圖11(b)可見，當機車時速為250 km/h時，在f0=1.822 kHz處，優(yōu)化后的系統(tǒng)峰值減小了3.98×10-6m，而且在2f0處峰值縮減2.74×10-7m；而當機車以160 km/h的低速運行時，由圖11(c)可知，優(yōu)化的輻板式齒輪減振效果不明顯，系統(tǒng)傳動誤差峰值相對優(yōu)化前變化較小，但不會增加波動幅值。而且也可以看出，由于優(yōu)化的機車輻板式齒輪系統(tǒng)較優(yōu)化前質(zhì)量減小了21.15%，使高速傳動中的慣性力大幅下降，有效減小了齒輪傳動的動載荷，因此優(yōu)化后的傳動系統(tǒng)可以有效抑制優(yōu)化前圖11中的次諧波共振，甚至可以避免系統(tǒng)出現(xiàn)一些次諧波振動，進一步提升機車高速運行的平穩(wěn)性。

5 結(jié)論

通過對機車輻板式直齒輪傳動特點的分析，建立了輻板式直齒輪嚙合剛度的計算方法，分析了輻板結(jié)構(gòu)參數(shù)對嚙合剛度影響規(guī)律，并利用多目標遺傳算法對輻板式齒輪結(jié)構(gòu)進行了優(yōu)化，比較分析了優(yōu)化前后機車齒輪傳動系統(tǒng)的動態(tài)特性，主要得到以下幾點：

(1)本文給出的嚙合剛度計算方法能夠更加準確考慮齒輪基體對嚙合剛度的影響，保證機車輻板式齒輪傳動嚙合剛度計算的精確性；

(2)輻板式直齒圓柱齒輪傳動嚙合剛度受輻板結(jié)構(gòu)影響較大，減小輻板孔數(shù)和孔徑，增加輻板和輪緣厚度均能使嚙合剛度增加，而且較小的輻板厚度和較大的孔徑會導(dǎo)致嚙合剛度波動加??；

(3)利用多目標遺傳算法獲得輻板式直齒輪傳動系統(tǒng)，可以在保證系統(tǒng)具有較好傳動性的條件下，有效縮減系統(tǒng)質(zhì)量，降低機車齒輪傳動系統(tǒng)振動和能耗，保證運行的平穩(wěn)性。