石慧榮，程艷霞，李宗剛，高 溥, 2

(1.蘭州交通大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070；2.蘭州石化職業(yè)技術(shù)學(xué)院，甘肅 蘭州 730060)

隨著列車(chē)運(yùn)行速度的不斷提高，要求列車(chē)各部分具有更高的穩(wěn)定性，而良好的機(jī)車(chē)齒輪箱傳動(dòng)特性可有效提升機(jī)車(chē)的整體運(yùn)行性能。由于輻板式齒輪能夠減小傳動(dòng)質(zhì)量，常被應(yīng)用于機(jī)車(chē)齒輪箱的傳動(dòng)系統(tǒng)中，但輻板和輪緣變形會(huì)使系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性變得更加復(fù)雜，而且齒輪時(shí)變嚙合剛度一直是齒輪箱傳動(dòng)系統(tǒng)振動(dòng)和噪聲的主要來(lái)源之一[1-2]，所以只有準(zhǔn)確計(jì)算輻板式齒輪傳動(dòng)的嚙合剛度，才能保證機(jī)車(chē)齒輪傳動(dòng)動(dòng)態(tài)分析的可靠性。

圓柱齒輪傳動(dòng)嚙合剛度計(jì)算方法已得到廣泛研究，很多學(xué)者將接觸力學(xué)分析法、有限元法和切片法等應(yīng)用于嚙合剛度計(jì)算。Cooley等[3]將有限元法和分析力學(xué)原理相結(jié)合，擬合了輪齒的力變形曲線(xiàn)，根據(jù)曲線(xiàn)斜率變化關(guān)系對(duì)嚙合剛度進(jìn)行了計(jì)算分析。Ankur等[4]應(yīng)用應(yīng)變能法分析了軸線(xiàn)偏斜和齒面摩擦對(duì)直齒輪嚙合剛度的影響。Zhan等[5]利用有限元法和準(zhǔn)靜態(tài)分析法對(duì)直齒輪的嚙合剛度進(jìn)行了計(jì)算，通過(guò)與ISO算法和文獻(xiàn)[6]算法的比較，驗(yàn)證了該方法的準(zhǔn)確性。Pedro等[7]基于剛性齒假設(shè)，應(yīng)用改進(jìn)的拋物線(xiàn)單齒嚙合剛度和ISO單位長(zhǎng)度最大嚙合剛度準(zhǔn)則對(duì)斜齒輪嚙合剛度進(jìn)行了計(jì)算，研究表明該方法能夠快速準(zhǔn)確地計(jì)算斜齒輪傳動(dòng)嚙合剛度。Gu等[8]應(yīng)用切片法對(duì)直齒和斜齒輪嚙合剛度進(jìn)行了計(jì)算。Ma等[9]利用改進(jìn)的嚙合剛度計(jì)算方法分析了輪齒延伸接觸和齒頂修行對(duì)嚙合特性的影響，表明該方法計(jì)算更加準(zhǔn)確、快速。常樂(lè)浩等[10]、王奇斌[11]等為了提升嚙合剛度計(jì)算效率和準(zhǔn)確，利用改進(jìn)切片法計(jì)算了斜齒輪嚙合剛度，驗(yàn)證了方法的有效性。

以上嚙合剛度計(jì)算方法大多忽略了輻板結(jié)構(gòu)對(duì)嚙合剛度的影響，不能準(zhǔn)確計(jì)算機(jī)車(chē)腹板式齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的時(shí)變嚙合剛度。由于輻板和輪緣變形引起齒輪基體剛度變化[12]，從而改變齒輪嚙合剛度。而切片法在輻板處存在空切，有限單元法計(jì)算量較大、效率較低[13-15]， 基于實(shí)驗(yàn)法的ISO 6336-1—2006[16]計(jì)算準(zhǔn)則雖然給出了輪緣和輻板的剛度影響因子CR，但受載荷限制考慮范圍相對(duì)粗略簡(jiǎn)單。因此本文根據(jù)輻板式齒輪結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和應(yīng)變能原理，建立針對(duì)輻板式直齒圓柱齒輪嚙合剛度計(jì)算方法，分析輻板結(jié)構(gòu)對(duì)嚙合剛度波動(dòng)的影響規(guī)律；為了減小傳動(dòng)系統(tǒng)慣性力，增加齒輪傳動(dòng)的平穩(wěn)性，采用多目標(biāo)遺傳算法對(duì)輻板結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化，以期優(yōu)化后的機(jī)車(chē)輻板式齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)能夠在縮減傳動(dòng)質(zhì)量的情況下具有更加良好的傳動(dòng)性能。

1 機(jī)車(chē)輻板式齒輪嚙合剛度計(jì)算

某機(jī)車(chē)用輻板式大齒輪見(jiàn)圖1，輪緣相對(duì)輻板對(duì)稱(chēng)，輪緣和輻板厚度分別為tp和tb，n個(gè)半徑為rh的輻板孔沿周向均勻布置，b表示齒寬。

圖1 輻板式直齒圓柱齒輪

1.1 嚙合剛度計(jì)算原理

由于機(jī)車(chē)齒輪箱傳遞功率較大，會(huì)導(dǎo)致輪緣和腹板出現(xiàn)較大形變，從而改變輪齒理論接觸線(xiàn)的有效長(zhǎng)度，因此為了保證輻板式直齒輪嚙合剛度計(jì)算的準(zhǔn)確性，必須計(jì)入齒輪基體對(duì)嚙合剛度的影響，而ISO 6336-1—2006標(biāo)準(zhǔn)中基體結(jié)構(gòu)影響因子CR受實(shí)驗(yàn)條件限制，不能滿(mǎn)足機(jī)車(chē)輻板式齒輪嚙合剛度計(jì)算需求。通常線(xiàn)性剛度滿(mǎn)足如下關(guān)系

(1)

式中：k為剛度；F為外載荷；s為位移。但此公式只適合于集中載荷問(wèn)題，對(duì)于承受分布載荷的齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)，可運(yùn)用應(yīng)變能法計(jì)算嚙合剛度。在直齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中，假設(shè)Ub為輪齒的彎曲應(yīng)變能，Ua為軸向壓縮應(yīng)變能，Uh為接觸應(yīng)變能，Us為剪切應(yīng)變能，則可分別表示為

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

其中：Fn為嚙合點(diǎn)的作用力；kb、ka、kh、ks分別為輪齒的彎曲剛度、軸向壓縮剛度、接觸剛度、剪切剛度；Fa、Fb分別為徑向力、切向力；G、E、υ分別為剪切模量、楊氏模量、泊松比；Ax、hx、Ix分別為距齒根圓x處的截面積、半齒厚、慣性矩；h、l分別為嚙合點(diǎn)處的半齒厚和嚙合點(diǎn)到齒根圓的距離。各參數(shù)在輪齒的對(duì)應(yīng)關(guān)系見(jiàn)圖2。

圖2 直齒輪輪齒模型

則嚙合輪齒的總應(yīng)變能可表示為

Us，p+Us，g+Uh

(7)

根據(jù)式(1)～式(7)，輪齒的總剛度kz為

(8)

式中:Ua,i、Ub,i和Us,i分別是齒輪i輪齒的壓縮、彎曲和剪切應(yīng)變能，ka,i、kb,i和ks,i分別為對(duì)應(yīng)的壓縮、彎曲和剪切剛度，i=p,g，分別代表主動(dòng)輪和從動(dòng)輪。由于實(shí)體齒輪基體具有較大剛度，其嚙合剛度可利用式(8)和切片法準(zhǔn)確計(jì)算，但是由于輻板式齒輪的輻板和輪緣變形較大，可能導(dǎo)致輪齒接觸狀態(tài)改變，因此必須計(jì)入齒輪基體對(duì)嚙合剛度的影響。與輪齒受載類(lèi)似，齒輪基體剛度kzb可以表示為

(9)

式中：kab,i、kbb,i和ksb,i分別表示齒輪i基體的壓縮、彎曲和剪切剛度。

由此得出輻板式直齒輪的總嚙合剛度km為

(10)

式中：Uzb為齒輪體應(yīng)變能；Um為輻板式直齒輪的總應(yīng)變能。

1.2 輻板式齒輪傳動(dòng)嚙合剛度波動(dòng)因子

機(jī)車(chē)輻板式齒輪傳動(dòng)的平穩(wěn)性與其嚙合剛度變化特性直接相關(guān)，而不同的齒輪輻板結(jié)構(gòu)會(huì)誘發(fā)不同的輪齒接觸形式，從而使嚙合剛度的時(shí)變特性更加復(fù)雜，在一定條件下會(huì)導(dǎo)致傳動(dòng)的不穩(wěn)定。為了減小輻板、輪緣和輻板孔變化引起的嚙合剛度波動(dòng)，保證機(jī)車(chē)齒輪系統(tǒng)傳動(dòng)的穩(wěn)定性，定義嚙合剛度波動(dòng)因子η來(lái)衡量嚙合剛度波動(dòng)幅度，它可以寫(xiě)成

(11)

式中:k0、kmin、kmax分別為一個(gè)周期內(nèi)嚙合剛度的平均值、最小值及最大值。

1.3 嚙合剛度計(jì)算驗(yàn)證

本文以文獻(xiàn)[8]給出的實(shí)體直齒圓柱齒輪為例，利用式(10)計(jì)算其單位齒寬嚙合剛度，計(jì)算結(jié)果與原文獻(xiàn)結(jié)果的比較見(jiàn)圖3。

圖3 嚙合剛度對(duì)比

由圖3可以看出，應(yīng)用本文給出方法計(jì)算得到的實(shí)體直齒輪嚙合剛度與文獻(xiàn)[8]采用的改進(jìn)切片方法所得結(jié)果基本一致，但由于進(jìn)入雙齒嚙合時(shí)大齒輪齒頂和齒中受載，大齒輪彎曲變形較大，而退出時(shí)大齒輪齒中和齒根受力，大齒輪變形較小，因此進(jìn)入雙齒嚙合時(shí)的剛度較退出雙齒嚙合略小；而對(duì)于單齒嚙合區(qū)，主要是大小齒輪輪齒中部接觸，本文計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[8]結(jié)果一致。通過(guò)上述比較可以看出，本文采用的方法能夠更加精確反應(yīng)齒輪嚙合過(guò)程中形變特點(diǎn)，保證直齒圓柱齒輪傳動(dòng)嚙合剛度計(jì)算的準(zhǔn)確性。

2 嚙合剛度影響因素分析

機(jī)車(chē)齒輪傳動(dòng)中為了有效減小齒輪傳動(dòng)質(zhì)量，大齒輪采用圖1所示的輻板式結(jié)構(gòu)。設(shè)大、小齒輪的齒數(shù)分別為103和22，齒輪壓力角為20°，模數(shù)為0.008 m，齒輪有效寬度b=0.142 m，初始輪緣厚度tp=0.013 14 m，輻板厚度tb=0.028 4 m，輻板孔徑rh=0.1 m，孔數(shù)n=6。機(jī)車(chē)運(yùn)行速度160 km/h，牽引電機(jī)功率1 225 kW，小齒輪為實(shí)體齒輪。在后續(xù)分析中未作特別說(shuō)明，各參數(shù)均為初始參數(shù)。

2.1 輻板孔數(shù)對(duì)嚙合剛度的影響

嚙合剛度隨輻板孔數(shù)的變化曲線(xiàn)見(jiàn)圖4。由圖4(a)可見(jiàn)，輻板式直齒圓柱齒輪的嚙合剛度km隨輻板孔數(shù)n的增加而減小，而且也注意到較大的n會(huì)使km大幅下降，如當(dāng)n=18時(shí)對(duì)應(yīng)的嚙合剛度最大值為5.1×108N/m，相對(duì)于n=6時(shí)的最大嚙合剛度下降了3.76×108N/m；圖4(b)表明平均嚙合剛度k0隨n的增大逐漸減小，當(dāng)n>16后k0隨n的增大迅速下降，因此較多的輻板孔會(huì)嚴(yán)重影響齒輪的傳動(dòng)性能；由圖4(c)可以看出，隨著n的增加嚙合剛度波動(dòng)因子η近似呈上升趨勢(shì)，但是n取特定值會(huì)引起嚙合剛度波動(dòng)因子η大幅增加。

圖4 輻板孔數(shù)對(duì)嚙合剛度的影響

2.2 輻板孔徑對(duì)嚙合剛度的影響

不同輻板孔徑時(shí)嚙合剛度變化曲線(xiàn)見(jiàn)圖5。由圖5(a)可知，隨著輻板孔徑rh的增加，嚙合剛度km逐漸減小，而且較大的rh會(huì)導(dǎo)致嚙合剛度快速下降；由圖5(b)可見(jiàn)，rh=0.08 m時(shí)的平均嚙合剛度k0比rh=0.18 m時(shí)高約3.2×108N/m；圖5(c)表明，隨著rh的增加，嚙合剛度波動(dòng)因子η波動(dòng)上升，但rh不會(huì)引起的大幅變化。由此可知，雖然可以通過(guò)增加輻板孔徑減小輻板式齒輪傳動(dòng)的慣性力，但是較大的孔徑會(huì)造成齒輪嚙合剛度大幅下降，而且在一定程度上增加嚙合剛度的波動(dòng)，影響輻板式齒輪的傳動(dòng)性能。

圖5 孔徑對(duì)嚙合剛度的影響

2.3 輻板厚度對(duì)嚙合剛度的影響

嚙合剛度隨輻板厚度的變化關(guān)系見(jiàn)圖6。在圖6(a)中，輻板厚度tb增大，嚙合剛度km也隨之增加，而且較小的腹板厚度tb會(huì)引起嚙合剛度大幅下降；由圖6(b)可見(jiàn)，輻板厚度tb=0.078 1 m時(shí)的平均嚙合剛度k0相對(duì)于tb=0.014 2 m時(shí)減小了5.86×108N/m，所以輻板厚度變化會(huì)嚴(yán)重影響嚙合剛度變化，較薄的輻板也不能滿(mǎn)足機(jī)車(chē)齒輪傳動(dòng)要求，會(huì)導(dǎo)致傳動(dòng)的不可靠；圖6(c)表明，當(dāng)輻板厚度tb增大時(shí)，嚙合剛度波動(dòng)因子η呈近似下降趨勢(shì)，但腹板厚度變化不會(huì)引起η的大幅變化。因此較小的輻板厚度會(huì)引起傳動(dòng)系統(tǒng)嚙合剛度的大幅下降，使剛度波動(dòng)增大，從而加劇機(jī)車(chē)齒輪箱傳動(dòng)的振動(dòng)和噪聲問(wèn)題。

圖6 輻板厚度對(duì)嚙合剛度的影響

2.4 輪緣厚度對(duì)嚙合剛度的影響

嚙合剛度隨輪緣厚度的變化關(guān)系見(jiàn)圖7。圖7(a)表明，嚙合剛度km隨輪緣厚度tp的減小而減小，但輪緣厚度對(duì)嚙合剛度影響較?。挥蓤D7(b)可以看出，當(dāng)輪緣厚度tp由0.023 1 m 減小為0.006 6 m，對(duì)應(yīng)的平均嚙合剛度k0僅下降了1.8×107N/m，因此相對(duì)于輻板孔徑和孔數(shù)、輻板厚度，輪緣厚度對(duì)剛度影響最小；由圖7(c)可知，輪緣厚度tp對(duì)嚙合剛度波動(dòng)因子η的影響較復(fù)雜，選取特定的輪緣厚度能夠減小機(jī)車(chē)齒輪傳動(dòng)的剛度波動(dòng)，增加傳動(dòng)的平穩(wěn)性。

圖7 輪緣厚度對(duì)嚙合剛度的影響

通過(guò)以上分析可知，對(duì)于機(jī)車(chē)輻板式齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)，嚙合剛度及其波動(dòng)特性都會(huì)隨輻板孔徑rh、孔數(shù)n、厚度tb和輪緣厚度tp變化而不斷改變，從而導(dǎo)致機(jī)車(chē)齒輪箱傳動(dòng)特性的變化。為了改進(jìn)齒輪箱傳動(dòng)性能，可以針對(duì)輻板結(jié)構(gòu)采用參數(shù)匹配設(shè)計(jì)，減小嚙合剛度波動(dòng)和慣性力，增進(jìn)機(jī)車(chē)高速運(yùn)行時(shí)的穩(wěn)定性和舒適性。

3 機(jī)車(chē)輻板式齒輪優(yōu)化設(shè)計(jì)

3.1 多目標(biāo)遺傳算法優(yōu)化

多目標(biāo)遺傳算法優(yōu)化是建立在生物進(jìn)化基礎(chǔ)上，根據(jù)進(jìn)化過(guò)程中的選擇和遺傳機(jī)理，對(duì)工程實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行多目標(biāo)隨機(jī)搜索，實(shí)現(xiàn)對(duì)彼此制約和相互矛盾問(wèn)題的優(yōu)化，避免出現(xiàn)局部最優(yōu)，其具有較強(qiáng)的通用性和穩(wěn)定性。本文針對(duì)輻板式直齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)，通過(guò)對(duì)輻板結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)輻板式齒輪質(zhì)量和嚙合剛度波動(dòng)的最小化，從而使機(jī)車(chē)輻板式直齒輪系統(tǒng)具有最佳的傳動(dòng)性能。

3.2 設(shè)計(jì)變量

由于機(jī)車(chē)輻板式直齒圓柱齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的質(zhì)量和嚙合剛度受輻板厚度tb、輪緣厚度tp、輻板孔數(shù)n和孔徑rh的影響較大，因此通過(guò)對(duì)輻板結(jié)構(gòu)的優(yōu)化可以在有效減小輻板式齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)質(zhì)量的條件下，改善機(jī)車(chē)齒輪系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。在此假定設(shè)計(jì)變量的矢量形式為

X=[x1,x2,x3,x4]T=[n,rh,tb,tp]T

(12)

根據(jù)輻板式齒輪結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和制造要求，一般輻板孔數(shù)取4≤n≤16的偶數(shù)，為滿(mǎn)足機(jī)車(chē)齒輪箱傳動(dòng)要求, 輻板式齒輪輪緣厚度應(yīng)大于全齒高的0.2倍，因此優(yōu)化時(shí)0.006 569 m≤tp≤0.032 845 m，輻板孔徑的取值范圍是0.006 569 m≤rh≤0.032 845 m，輻板厚度應(yīng)在b/10≤tb≤b變化，同時(shí)為了保證齒輪傳動(dòng)中不出現(xiàn)疲勞破壞，輪齒的彎曲疲勞應(yīng)力σF≤[σ]F=300 MPa，接觸疲勞應(yīng)力σH≤[σ]H=450 MPa。

3.3 目標(biāo)函數(shù)

在機(jī)車(chē)輻板式齒輪傳動(dòng)中，較大的嚙合剛度波動(dòng)可能導(dǎo)致齒輪傳動(dòng)誤差劇烈變化，從而影響傳動(dòng)的平穩(wěn)性；而且厚重的機(jī)車(chē)齒輪會(huì)增加傳動(dòng)質(zhì)量、能耗、材料損耗和制造成本，因此本文以機(jī)車(chē)輻板式直齒圓柱齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的嚙合剛度波動(dòng)因子和輻板式大齒輪質(zhì)量為優(yōu)化目標(biāo)，使其最小以提升系統(tǒng)的傳動(dòng)性能，則目標(biāo)函數(shù)F為

(13)

式中：f(·)和g(·)分別為嚙合剛度波動(dòng)因子函數(shù)和大齒輪質(zhì)量函數(shù)；mg為輻板式大齒輪質(zhì)量。

3.4 優(yōu)化結(jié)果

圖8為通過(guò)對(duì)機(jī)車(chē)輻板式齒輪進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化獲得的Pareto最優(yōu)解集。可以看出，Pareto最優(yōu)解只是可行解集中性能較好的一些個(gè)體，它們并不惟一，而且也不存在優(yōu)劣之分。依據(jù)遺傳算法原理，通過(guò)繁殖使性能較好的個(gè)體均勻擴(kuò)展到整個(gè)準(zhǔn)Pareto面，而后經(jīng)過(guò)交叉、變異保證種群的多樣性，使參與繁殖個(gè)體所產(chǎn)生的后代與父代個(gè)體共同競(jìng)爭(zhēng)獲得下一代種群，由此可以避免超級(jí)個(gè)體的過(guò)度繁殖，防止早熟收斂，保證個(gè)體的優(yōu)良性。經(jīng)過(guò)多次迭代獲得的最優(yōu)解，可以縮減機(jī)車(chē)齒輪系統(tǒng)質(zhì)量，減小嚙合剛度波動(dòng)，提升機(jī)車(chē)齒輪箱傳動(dòng)性能。優(yōu)化前后齒輪結(jié)構(gòu)參數(shù)見(jiàn)表1。

圖8 Pareto前沿

通過(guò)對(duì)表1中優(yōu)化前后輻板式齒輪結(jié)構(gòu)的比較可知，相對(duì)于優(yōu)化前，優(yōu)化后的輻板式齒輪輪緣厚度tp縮小了0.006 223 m，輻板孔徑rh增大了0.016 75 m，輻板厚度tb減小了0.001 382 m，輻板孔數(shù)n保持不變，此時(shí)嚙合剛度波動(dòng)因子η下降了0.001 2，而且大齒輪質(zhì)量縮減了21.15%。

優(yōu)化前后嚙合剛度見(jiàn)圖9。由圖9中可以看出，雖然優(yōu)化后的輻板式齒輪傳動(dòng)的嚙合剛度最大值為8.02×108N/m，相對(duì)于優(yōu)化前的最大嚙合剛度減小了5.5×107N/m，但降幅較小，可以滿(mǎn)足機(jī)車(chē)齒輪的應(yīng)用需求。所以通過(guò)對(duì)機(jī)車(chē)輻板式齒輪傳動(dòng)的優(yōu)化，能夠在減小傳動(dòng)慣性力學(xué)的條件下，在一定程度上提升了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

表1 輻板式大齒輪結(jié)構(gòu)參數(shù)

圖9 優(yōu)化前后嚙合剛度

4 機(jī)車(chē)輻板式齒輪傳動(dòng)特性分析

4.1 輻板式齒輪傳動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型

假定齒輪嚙合系統(tǒng)不考慮齒面摩擦力，將齒輪近似為剛體，此時(shí)可以將機(jī)車(chē)直齒圓柱齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)近似只考慮在嚙合線(xiàn)方向的運(yùn)動(dòng)，則直齒圓柱齒輪系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型見(jiàn)圖10。圖中Ii、mi和Ri分別表示齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、質(zhì)量和基圓半徑，ki和ci為等效的支撐剛度和阻尼，yi和θi是齒輪的垂向位移和轉(zhuǎn)動(dòng)，Ti是齒輪受到的轉(zhuǎn)矩，下標(biāo)i=p、g分別代表主動(dòng)輪和從動(dòng)輪，km(t)和cm(t)表示齒輪的時(shí)變嚙合剛度和阻尼。

圖10 機(jī)車(chē)齒輪動(dòng)力學(xué)模型

根據(jù)圖10所示的齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)，機(jī)車(chē)齒輪耦合傳動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程為

(14)

(15)

其中：bc為齒輪側(cè)隙，對(duì)于本文的機(jī)車(chē)齒輪傳動(dòng)bc=0.000 2 m。

4.2 傳動(dòng)特性分析

為了考慮高速列車(chē)輻板式齒輪的動(dòng)態(tài)特性，本文主要研究某機(jī)車(chē)運(yùn)行速度分別為160、250、300 km/h時(shí)優(yōu)化前后輻板式齒輪系統(tǒng)的傳動(dòng)誤差幅頻特性。機(jī)車(chē)輻板式齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的等效剛度kp、kg分別是9.68×108、7.86×109N/m，對(duì)應(yīng)的等效阻尼cp、cg分別為1.46×103、4.62×103N·s/m。為了簡(jiǎn)化計(jì)算，將嚙合剛度傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)，忽略高階項(xiàng)，取嚙合頻率ωm處的一階諧波形式，則優(yōu)化前的平均嚙合剛度k0和諧波幅值km1分別是7.31×108、2.08×108N/m，優(yōu)化后分別為6.84×108、1.93×108N/m，通過(guò)對(duì)方程(14)求解，可以得到如圖11所示的機(jī)車(chē)輻板式齒輪傳動(dòng)誤差頻譜。

圖11 優(yōu)化前后頻率響應(yīng)曲線(xiàn)

由圖11可知，在機(jī)車(chē)不同運(yùn)行速度下，與優(yōu)化前相比，優(yōu)化后的輻板式齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)，各階共振頻率處的傳動(dòng)誤差q的峰值都有所下降。圖11(a)表明，當(dāng)機(jī)車(chē)以300 km/h高速運(yùn)行時(shí)，優(yōu)化的傳動(dòng)結(jié)構(gòu)在一階共振頻率f0=2.186 kHz處的峰值較優(yōu)化前縮減5.86×10-6m，而且在2f0處峰值也減小了1.3×10-6m；由圖11(b)可見(jiàn)，當(dāng)機(jī)車(chē)時(shí)速為250 km/h時(shí)，在f0=1.822 kHz處，優(yōu)化后的系統(tǒng)峰值減小了3.98×10-6m，而且在2f0處峰值縮減2.74×10-7m；而當(dāng)機(jī)車(chē)以160 km/h的低速運(yùn)行時(shí)，由圖11(c)可知，優(yōu)化的輻板式齒輪減振效果不明顯，系統(tǒng)傳動(dòng)誤差峰值相對(duì)優(yōu)化前變化較小，但不會(huì)增加波動(dòng)幅值。而且也可以看出，由于優(yōu)化的機(jī)車(chē)輻板式齒輪系統(tǒng)較優(yōu)化前質(zhì)量減小了21.15%，使高速傳動(dòng)中的慣性力大幅下降，有效減小了齒輪傳動(dòng)的動(dòng)載荷，因此優(yōu)化后的傳動(dòng)系統(tǒng)可以有效抑制優(yōu)化前圖11中的次諧波共振，甚至可以避免系統(tǒng)出現(xiàn)一些次諧波振動(dòng)，進(jìn)一步提升機(jī)車(chē)高速運(yùn)行的平穩(wěn)性。

5 結(jié)論

通過(guò)對(duì)機(jī)車(chē)輻板式直齒輪傳動(dòng)特點(diǎn)的分析，建立了輻板式直齒輪嚙合剛度的計(jì)算方法，分析了輻板結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)嚙合剛度影響規(guī)律，并利用多目標(biāo)遺傳算法對(duì)輻板式齒輪結(jié)構(gòu)進(jìn)行了優(yōu)化，比較分析了優(yōu)化前后機(jī)車(chē)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，主要得到以下幾點(diǎn)：

(1)本文給出的嚙合剛度計(jì)算方法能夠更加準(zhǔn)確考慮齒輪基體對(duì)嚙合剛度的影響，保證機(jī)車(chē)輻板式齒輪傳動(dòng)嚙合剛度計(jì)算的精確性；

(2)輻板式直齒圓柱齒輪傳動(dòng)嚙合剛度受輻板結(jié)構(gòu)影響較大，減小輻板孔數(shù)和孔徑，增加輻板和輪緣厚度均能使嚙合剛度增加，而且較小的輻板厚度和較大的孔徑會(huì)導(dǎo)致嚙合剛度波動(dòng)加?。?/p>

(3)利用多目標(biāo)遺傳算法獲得輻板式直齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)，可以在保證系統(tǒng)具有較好傳動(dòng)性的條件下，有效縮減系統(tǒng)質(zhì)量，降低機(jī)車(chē)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)振動(dòng)和能耗，保證運(yùn)行的平穩(wěn)性。