倪賢燦，陳 曦，凌 飛，鄭 樸，洪 昊

（上海理工大學能源與動力工程學院，上海 200093）

0 引言

近年來，隨著紅外探測、高溫超導、低溫醫(yī)療等技術的迅速發(fā)展，對高效率、輕量化制冷機的需求越來越急迫。斯特林制冷機作為回熱式低溫制冷機[1]，因其采用環(huán)保工質氦氣、結構簡單緊湊、效率高等得到了廣泛應用與發(fā)展。然而FPSC在運行過程中會產生一定的振動力，影響制冷機工作與應用性能。大量實驗研究發(fā)現(xiàn)，斯特林制冷機振動諧波主要是由基頻和一系列高階倍頻組成，其中基頻占主要成分。基頻一般是壓縮機的驅動頻率，高階倍頻諧波來自于氣體、彈簧和機械結構的非線性因素[2]。斯特林制冷機的振動控制分為主動控制和被動控制兩類。其中，主動振動控制系統(tǒng)主要由振動測量傳感器、控制器與吸振器組成，通過主動調節(jié)輸出控制信號來驅動吸振器，在各個離散諧波頻率處均產生與制冷機振動力大小相等方向相反的簡諧力，從而實現(xiàn)振動抵消[3?5]。被動控制分為被動式隔振、被動式阻尼減振以及動力減振三類[6]，被動式隔振是在制冷機冷頭端與被冷卻器之間安裝隔振器，減小振動對被冷卻器的影響；被動式阻尼減振利用阻尼消耗振動能量，使瞬態(tài)振動迅速衰減；動力減振通過添加彈簧質量系統(tǒng)使振動減小。鑒于動力減振具有結構簡單、不額外耗能、可靠性高等優(yōu)點[7]，本文采用被動控制減振方案作為自由活塞斯特林制冷機減振器，并對動力吸振器進行理論研究、結構設計及實驗驗證。

1 動力吸振器理論分析

1.1 吸振器的動力學理論分析

自由活塞斯特林制冷機運行時頻率f保持恒定，可利用動力吸振器來抵消整機振動。圖1為二自由度系統(tǒng)受迫振動模型。

圖1 二自由度系統(tǒng)受迫動力學模型Fig.1 Forced dynamics model of a two-degree-of-freedom system

質量為m1的整機系統(tǒng)受到振幅為Fω0，角頻率為ω的簡諧振動，與彈簧剛度為k2和質量為m2的無阻尼動力吸振器連接，忽略整機活塞運行過程產生的摩擦阻尼，其運動方程為：

式（1）經拉普拉斯變換，求解得：

由式（2）可知，當k2=m2ω2時，即制冷機運行頻率等于吸振器固有頻率，整機位移x1為0，吸振器可有效減振。從上述公式可以看出，當運行頻率與彈簧剛度一定時，可通過改變吸振器動子質量來實現(xiàn)頻率的匹配。

1.2 吸振器彈簧結構理論分析

渦旋臂型柔性彈簧廣泛應用于小型低溫制冷機，圖2為等槽寬渦旋臂型柔性板彈簧結構示意圖，彈簧片外側有四個圓周固定孔，用于連接質量塊，中心固定孔用于連接減振桿。其中，Ds為渦旋臂型柔性彈簧的外徑，Ls為渦旋臂長，ws為渦旋臂寬。由于直線臂型柔性彈簧的直臂相對于渦旋臂更適合進行簡單的分析計算，Marquardt等[8]通過對兩端夾緊的懸臂梁進行分析，得出了直線臂型柔性彈簧性能的計算公式。用該公式也可定性分析渦旋臂型柔性彈簧的結構參數(shù)對彈簧性能的影響，并作為減振彈簧型線設計的依據(jù)[9]。

圖2 等槽寬渦旋臂型柔性彈簧的結構示意圖Fig.2 Schematic diagram of the structure of the equal groove width scroll arm type flexible spring

較小的疲勞應力是保證柔性彈簧長壽命可靠運行的關鍵，通常須要把彈簧的最大應力控制在材料疲勞極限的80%,最大應力σmax表達式：

式中：n為彈簧臂數(shù)，圖2中n=4；E為彈性模量；ts為彈簧厚度；s為活塞行程；Ls為渦旋臂長度。

由式（3）可知，最大應力σmax隨著彈性模量E、彈簧厚度ts、活塞行程s的增加而增大，隨著渦旋臂長度Ls的增大而減小。

軸向剛度kz和徑向剛度kr的表達式為：

式中：Ns為彈簧片數(shù)；ws為渦旋臂寬。

由式（4）、式（5）可知，軸向剛度kz與彈簧厚度ts的三次方成正比，徑向剛度kr與渦旋臂寬ws的三次方成正比。G是一個關于s∕Ls的函數(shù)，用于闡明徑向剛度kr隨著彈簧軸向位移的增加而減小。彈簧在最大軸向形變時對應的徑向剛度會比無軸向形變時小一個數(shù)量級[8]，當軸向位移為0時，G（0）=1。圖3所示為變槽寬渦旋型柔性彈簧，渦旋臂寬ws不是一個常數(shù)，它隨著渦旋臂長的變化而變化。由式（4）和式（5）可知，在設計板彈簧時，若剛度達不到給定要求，可以增加ws以增加剛度，實現(xiàn)變槽寬渦旋臂型彈簧的設計。

圖3 變槽寬渦旋臂型柔性彈簧結構示意圖Fig.3 Schematic diagram of variable slot width scroll arm type flexible spring

2 吸振器設計及模態(tài)分析

圖4為自由活塞斯特林制冷機實物圖，吸振器一般安裝于制冷機底部以抵消整機振動。吸振器主要由減振桿、固定螺釘、減振彈簧、減振質量塊和墊片組成，如圖5所示。吸振器的優(yōu)化設計主要涉及板彈簧型線選擇、結構布置形式選擇以及質量與剛度的匹配等。

圖4 自由活塞斯特林制冷機實物圖Fig.4 Free Piston Stirling Cooler

圖5 吸振器實物圖Fig.5 The shock absorber

2.1 彈簧型線選擇

圖2和圖3分別為等槽寬型與變槽寬型減振板彈簧，利用Ansys Workbench中的Static Structural模塊對兩種型線的彈簧進行有限元分析。其中，板彈簧材料為不銹鋼，型線長度均為184 mm，外徑和厚度均相等，軸向荷載力為1 N。圖6所示為減振彈簧位移分布，等槽寬型減振彈簧最大位移為0.076 6 mm,變槽寬型減振彈簧最大位移為0.029 0 mm,可知變槽寬型減振彈簧的軸向剛度要遠遠大于等槽寬型減振彈簧的軸向剛度，有利于延長彈簧的運行壽命。圖7為兩種不同型線減振彈簧處于3.5 mm單側軸向位移時對應的應力分布云圖，其中等槽寬型減振彈簧最大應力為321.04 MPa，而變槽寬型減振彈簧最大應力為351.57 MPa，兩者均滿足應力要求。綜合考慮，本設計選用變槽寬型減振彈簧。

圖6 1 N外力下減振彈簧位移分布云圖Fig.6 Displacement cloud diagram of damping spring under 1 N external force

圖7 兩種不同型線減振彈簧處于3.5 mm單側軸向位移時對應的應力分布云圖Fig.7 Stress distribution of two kinds of shock absorber with different profiles at 3.5 mm unilateral axial displacement

2.2 結構形式選擇

吸振器結構形式有中心孔連接外殼體和圓周孔連接外殼體兩種，前者通過外圓部分吸收振動，后者則在中心部分吸收振動。圖8為設計的變槽寬型減振彈簧在不同結構形式下處于3.5 mm單側軸向位移時對應的應力分布云圖。采用中心孔連接外殼體時，最大應力為351.57 MPa，位于型線尾端；而圓周孔連接方式的最大應力為358.42 MPa，位于型線始端。中心孔連接方式的應力低于圓周孔連接，且中心孔連接方式的結構更簡單，裝配更方便，故吸振器采用該結構形式。

2.3 質量與剛度匹配

由式（2）可知，當吸振器固有頻率接近運行頻率時，根據(jù)二自由度系統(tǒng)的反共振特性，即可有效地吸收整機振動力，故須對吸振器進行質量與剛度匹配，使其接近制冷機運行頻率。本文設計了三種型號的吸振器，分別為：a——小質量塊?單片板彈簧型；b——中等質量塊?兩片板彈簧型；c——大質量塊?三片板彈簧型。在三維設計軟件中，調整減振塊結構尺寸并賦予相應材料屬性，優(yōu)化運動組件質量，使固有頻率達到設計范圍，設計結果如表1所列。其中，吸振器a、b、c的設計固有頻率值分別為81.45 Hz、79.98 Hz、80.14 Hz，制冷機設計總質量為3 169 g，可得三種吸振器的總運動質量與整機設計總質量的比值分別為0.04、0.09、0.13。

圖8 變槽寬型減振彈簧在不同結構形式下處于3.5 mm單側軸向位移時對應的應力分布云圖Fig.8 Stress distribution of variable groove width type shock absorption spring under different structual arrangements at 3.5 mm unilateral axial displacement

表1 三種吸振器模擬優(yōu)化結果Tab.1 Simulation and optimization results of three kinds of shock absorbers

2.4 一階模態(tài)分析

利用Ansys Workbench中Modal模塊對三種吸振器進行有限元分析，模擬各吸振器在一階模態(tài)時的固有頻率及模態(tài)振型。定義各零件之間的接觸類型（contact region）為bonded，材料設置為structural steel。

圖9為吸振器b在3 ms內的運動位移云圖，當t=0 ms時，吸振器處于靜止狀態(tài)，t=0.6 ms時，吸振器b的外圓周開始運動，t=1.2～2.4 ms，吸振器b的外圓周振動開始加劇，直到t=3 ms時，振動達到最劇烈，而中心孔部分始終無明顯位移。由此可見，采用中心孔連接結構的吸振器振動集中在外圓周部分。

圖10所示為a、b、c三種吸振器的一階模態(tài)結果，最大形變量分別為84.908 mm、59.493 mm、48.803 mm，隨著總動子質量和總彈簧剛度的增大，吸振器外圓周總形變量幅值減小。根據(jù)一階模態(tài)分析結果得知，a、b、c吸振器的固有頻率模擬分別為75.734 Hz、79.561 Hz、80.572 Hz，與計算值誤差最小的是中等質量塊?兩片減振彈簧型吸振器，其誤差僅為0.5%。

此外，考慮到制冷機與吸振器加工誤差的存在，實際情況下并不能完全消除整機振動力，仍將存在部分振動影響，為避免因吸振器振幅過大降低板彈簧壽命，一般情況下吸振器運動質量設計值與整機質量設計值之比應大于或者接近于0.1，結合模態(tài)分析結果與輕量化需求，擬優(yōu)選吸振器b。

圖9 吸振器b在3 ms內的運動位移云圖Fig.9 Displacement cloud diagram of vibration absorber b within 3 ms

圖10 吸振器a、b、c的一階模態(tài)圖Fig.10 First-order modes of vibration absorbers a，b，c

3 吸振器工作性能掃頻實驗

對設計加工的吸振器a、b、c分別進行減振性能測試與驗證，確定三種吸振器的實際最優(yōu)工作頻率與減振效果，圖11為三種吸振器的實物圖。吸振器性能測試一般采用直接觀測、高速攝影機測試、加速度傳感器測試、應變片式位移傳感器測試等方法。由于應變片式位移傳感器結構簡單，安裝方便，測量范圍較廣，本文采用應變片式位移傳感器測試方法。其中，應變片由敏感柵、引線、黏結劑、基片和覆蓋層等部分組成，敏感柵是電阻應變片里的金屬絲，電阻隨著金屬絲長度變化而變化，可將位移信號轉化為電信號[11]，其信號峰值為最大位移形變量的微應變（με）。

根據(jù)一階模態(tài)分析結果，將應變片式位移傳感器安裝于總變形量最大的減振彈簧外圓周部分，將制冷機控制在輸入功為85 W、輸入電壓為14 V的工況下，分別對三種吸振器做掃頻實驗，確定其最優(yōu)工作頻率即共振點，驗證其減振效果。

圖11 三種吸振器實物圖Fig.11 Three kinds of physical drawings of shock absorbers

通過讀取信號峰值確定并分析各吸振器的最大變形量，圖12為三種吸振器掃頻實驗結果。外部激振力從66 Hz增加到71 Hz時，吸振器a的外圓周總形變量先緩慢增大后急劇增大，在固有頻率附近達到最大值；當激勵頻率從71 Hz增大到76 Hz時，總形變量急劇下降，有效減振頻率區(qū)間為70～72 Hz。同理可知，吸振器b、c的有效減振區(qū)間分別為76～78 Hz、77～79 Hz。吸振器a在其共振點處的信號峰值最大，b次之，c最小，與模態(tài)分析結果相符。吸振器a、b、c的共振頻率分別為71 Hz、77 Hz、78 Hz，頻率誤差分別為13%、3%、3%，而吸振器a誤差較大是因為其實際運動質量遠大于設計運動質量，導致共振點左移。

吸振器a、b、c的各項設計值、模擬值、實測計算值及實驗值參數(shù)對比如表2所列。其中，三種吸振器的共振頻率實驗值均小于設計值、模擬值以及實際測量后的計算值，主要是因為減振彈簧的實際軸向剛度略小于設計值34 455 N∕m，經實驗值反推計算，彈簧剛度應在31 000 N∕m左右?；陬l率誤差、質量比以及減振彈簧振幅等參數(shù)分析，優(yōu)選吸振器b。b型吸振器的實驗值為77 Hz，可調整質量塊的質量來使得其固有頻率滿足設計目標。

圖12 三種吸振器掃頻實驗結果曲線Fig.12 Frequency sweep experimental results of three dinds vibration absorber

表2 三種吸振器參數(shù)對比Tab.2 Parameters comparison of three kinds of vibration absorber

4 總結

本文對一臺280 K@300 W斯特林制冷機的動力吸振器開展了理論分析、模擬優(yōu)化、實驗驗證等研究，得出以下結論：

（1）將直線臂型柔性彈簧的理論公式應用于等槽寬型彈簧的定性分析，在此基礎上，通過調整渦旋臂寬ωs來調整剛度，可以實現(xiàn)變槽寬型彈簧的設計。

（2）變槽寬型減振彈簧的軸向剛度遠大于等槽寬型減振彈簧的軸向剛度，有利于吸振器長時間運行。對中心孔和圓周孔連接方式進行應力分析，發(fā)現(xiàn)中心孔連接效果較好。

（3）在模態(tài)分析和掃頻實驗中，b型吸振器的固有頻率設計值、模擬值、實測計算值分別為79.98 Hz、79.56 Hz、80.95 Hz，而實驗值約為77 Hz，質量比約為0.09，滿足低振動及輕量化要求。