安 然,田十方,劉曉薇

齊魯工業(yè)大學(山東省科學院) 數學與統(tǒng)計學院,濟南 250353

常微分方程是一個有著長期歷史而又不斷發(fā)展的學科,不僅具有理論研究意義而且有實際應用價值,得力于其他數學分支的支持,也為其他數學分支服務,促進了時代的發(fā)展進步。

積分因子概念是由瑞士大數學家歐拉(Euler)提出來的,他還確定了采用積分因子方法的微分方程類型,證明了只要是可用變量分離求解的微分方程都可以用積分因子進行求解,但是反之不然。隨著微分方程理論的不斷深入研究和探索,積分因子的應用越來越廣泛。經過許多科學家的研究證明,不僅僅是分離變量求解的微分方程可以用積分因子法求解,甚至只要微分方程的解存在都可以采用積分因子法求解,只是有些方程求積分因子比求方程的解本身更為復雜。目前國內學者寸得偶、潘鶴鳴等分別對積分因子的求法作了比較詳細的研究[1]。本文在前人研究的基礎上,給出了一些微分方程存在某些特殊類型積分因子的求解方法。

1 常微分方程的基本概念

1.1 問題準備

定義1: 將自變量、未知函數和其導數聯系在一起的關系式稱為微分方程。若這種微分方程自變量的個數只有一個,稱為常微分方程[2]。例如:xdy-y2dx=0。

定義2 : 考慮對稱形式的微分方程

M(x,y)dx+N(x,y)dy=0,

(1)

如果存在一個可微函數u(x,y),使得它的全微分為

du(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy,

(2)

亦即它的偏導數

則稱(1)為恰當方程或全微分方程。

定義3: 若方程(1)不滿足恰當方程的條件,但是方程(1)兩端乘以一個非零的函數μ(x,y)后能成為一個恰當微分方程,這樣的函數μ(x,y)稱為方程(1)的積分因子。

(注:可以證明,微分方程只要解存在,那么積分因子一定存在,而且不是唯一的。)

1.2 關于恰當方程求解的一般方法

定理1:若M(x,y),N(x,y)在某個單連通區(qū)域上連續(xù),而且具有一階連續(xù)的偏導數,那么方程(1)是恰當方程的充要條件是:

(3)

顯然,恰當方程的通解為u(x,y)=c,c為任意常數。恰當方程可以通過積分

(4)

求其通解,這里的φ(y)是y的任意可微函數[4]。

2 幾類特殊積分因子存在的充要條件

情形1:

證明:一般函數μ(x,y)是積分因子的充要條件是

(5)

現若μ=μ(x2+y2)=μ(z)是積分因子,則

(6)

故要使方程有形如μ(x2+y2)的積分因子的充要條件是

同理,可證方程

M(x,y)dx+N(x,y)dy=0

有特殊積分因子μ=μ(x2-y2)的充要條件是

例:

求方程(x-y)dx+(x+y)dy=0的積分因子[7]。

解:因為

僅為z=x2+y2的函數,所以原方程有積分因子

推論1:

在推論1的基礎上得到了推論2的結論,證明方法同情形1。

推論2:

方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0有特殊積分因子μ=μ(pxa+qyb)的充要條件是

情形2:

證明:一般函數μ(x,y)是積分因子的充要條件是

(7)

現若μ=μ(xayb)=μ(z)是積分因子,則

(8)

因此有

(9)

故要使方程有形如μ(xayb)的積分因子的充要條件是

是xayb的函數[9]。

在情形2的基礎上,可以推導出推論3。

推論3:

情形3:

方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0有特殊積分因子μ=μ(pxa+qxayb+ryb)的充要條件是

f(pxa+qxayb+ryb)=

證明:一般函數μ(x,y)是積分因子的充要條件是

(10)

現若

μ(pxa+qxayb+ryb)=μ(z)

(11)

因此有

(12)

(13)

即

故要使方程有形如

μ=μ(pxa+qxayb+ryb)

的積分因子的充要條件是

是f(pxa+qxayb+ryb)的函數。

3 結束語

本文主要對一階微分方程的積分因子的存在性進行研究。到今天,積分因子在一階微分方程的求解中發(fā)揮了關鍵性作用。本文主要對非恰當微分方程轉化為恰當微分方程的紐帶——“積分因子”進行研究,介紹了幾類特殊積分因子存在的充要條件,以后我們將持續(xù)關注積分因子在其他類型常微分方程中的作用,以及積分因子在證明等式等方面的應用。