張國興 郭金偉 侯雨雷 曾達幸

(1.燕山大學機械工程學院, 秦皇島 066004； 2.東莞理工學院機械工程學院， 東莞 523000)

0 引言

天線是航天探測、導航預警和軍事偵查等領(lǐng)域中數(shù)據(jù)信息交互的重要設備[1]。并聯(lián)天線機構(gòu)因能夠帶動反射面實現(xiàn)連續(xù)轉(zhuǎn)動而在天線領(lǐng)域得到關(guān)注[2]。國內(nèi)外研究人員已將Stewart并聯(lián)機構(gòu)應用于大型天線系統(tǒng)調(diào)姿領(lǐng)域[3-6]。少自由度并聯(lián)機構(gòu)能夠滿足運動需求，且制造成本低，在天線領(lǐng)域具有應用潛力[7]。文獻[8-9]對車載并聯(lián)天線機構(gòu)進行了動力學仿真。文獻[10]對四自由度混聯(lián)式天線機構(gòu)進行了力學仿真分析。文獻[11]設計了一種高收攏率四面體折展機械臂，進行了運動學和模態(tài)分析，并研制了樣機。文獻[12]基于四面體單元設計了桁架式可展開天線機構(gòu)。文獻[13-14]基于模塊化思想設計了多種桁架式天線機構(gòu)，并進行了性能分析和對比。文獻[15-16]提出了一種雙層環(huán)形天線機構(gòu)，并進行了機構(gòu)運動學和動力學分析。

在機構(gòu)學領(lǐng)域，研究人員進行了諸多研究。趙永生等[17]提出了適用于過約束并聯(lián)機構(gòu)的受力分析方法。沈惠平等[18]研究了低耦合度部分解耦的3T1R并聯(lián)機構(gòu)，分析了機構(gòu)的工作空間。暢博彥等[19]對具有整周回轉(zhuǎn)能力的3T1R機構(gòu)進行了運動學分析，得到機構(gòu)工作空間。葉偉等[20]對一種2R2T并聯(lián)機構(gòu)進行了運動學分析，得到機構(gòu)工作空間和性能圖譜。SUN等[21]分析了一種5-DOF摩擦攪拌焊混聯(lián)機構(gòu)的剛度性能。LI等[22]基于幾何代數(shù)方法對過約束并聯(lián)機構(gòu)的剛度建模問題進行了研究。CAO等[23]在考慮各桿件重力和外力的情況下，對過約束并聯(lián)機構(gòu)進行研究。GUO等[24]提出一種適用于航空零件加工的新型5-DOF并聯(lián)機構(gòu)。YANG等[25]通過增加變形協(xié)調(diào)方程，研究了兩種過約束并聯(lián)機構(gòu)的剛度模型。

隨著天線反射面口徑的逐漸增大，確保天線高精度可靠運行愈發(fā)重要。目前，天線機構(gòu)多采用串聯(lián)式或并聯(lián)式機構(gòu)，應用于天線領(lǐng)域的混聯(lián)天線機構(gòu)研究并不多，設計承載力強和運動性能優(yōu)越的混聯(lián)天線機構(gòu)具有重要實用價值。本文以四自由度混聯(lián)天線機構(gòu)為研究對象，在承載性能方面，進行混聯(lián)天線機構(gòu)的靜力學分析和天線機構(gòu)有限元和振動特性仿真；在運動性能方面，通過運動姿態(tài)仿真得到機構(gòu)運動包絡圖；最后，基于設計的關(guān)鍵零部件模型設計天線機構(gòu)樣機。

1 構(gòu)型描述

如圖1所示，四自由度混聯(lián)天線機構(gòu)包括天線反射面C、極化轉(zhuǎn)動機構(gòu)T和3-R(RRR)R并聯(lián)機構(gòu)。該四自由度混聯(lián)機構(gòu)中3-R(RRR)R并聯(lián)部分的動平臺和定平臺均為等邊三角形；支鏈部分包含3個軸線相交的轉(zhuǎn)動副以及與定/動平臺連接的2個轉(zhuǎn)動副。極化轉(zhuǎn)動機構(gòu)采用電機驅(qū)動齒輪和轉(zhuǎn)盤軸承實現(xiàn)反射面繞自身軸線轉(zhuǎn)動。在定/動平臺外接圓圓心分別建立參考坐標系OOxOyOz和動坐標系CCxCyCz，在反射面的相位中心點建立末端坐標系TTxTyTz，參考坐標系Ox軸方向與OP1一致，Oz軸垂直于定平臺且向上為正；動坐標系Cx軸方向與CQ1一致，Cz軸垂直于動平臺且向上為正；Tz軸與動坐標系Cz軸重合，Tx軸初始方向與動坐標系Cx軸相同。在混聯(lián)天線機構(gòu)各個關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動副建立關(guān)節(jié)局部坐標系，其中各個關(guān)節(jié)局部坐標系的z軸均沿轉(zhuǎn)動副軸線方向。

由圖1可知，3-R(RRR)R并聯(lián)機構(gòu)部分具有兩轉(zhuǎn)一移3個自由度，2個轉(zhuǎn)動自由度能夠?qū)崿F(xiàn)天線反射面的方位和俯仰運動，1個移動自由度能夠?qū)崿F(xiàn)天線反射面的豎直方向收攏運動。天線反射面與動平臺之間設有單自由度轉(zhuǎn)動副，稱為極化轉(zhuǎn)動機構(gòu)，其作用是帶動天線反射面繞自身軸線轉(zhuǎn)動。因此，混聯(lián)天線機構(gòu)能夠?qū)崿F(xiàn)方位、俯仰、收攏運動和極化轉(zhuǎn)動。

2 力學分析

(1)

選取與定平臺連接的轉(zhuǎn)動副Pi(i=1,2,3)和極化機構(gòu)轉(zhuǎn)動副Q4作為驅(qū)動，如圖1所示關(guān)節(jié)局部坐標系z軸均為驅(qū)動所在軸線。因此，各個驅(qū)動的單位驅(qū)動力旋量可以表示為

(2)

首先建立混聯(lián)天線機構(gòu)反射面靜力學平衡方程。反射面與混聯(lián)天線機構(gòu)動平臺通過極化轉(zhuǎn)動裝置連接。天線反射面受力情況如圖2所示。

如圖2所示，天線反射面受到極化轉(zhuǎn)動機構(gòu)提供的3個約束力F4x、F4y、F4z和2個約束力偶M4x、M4y，極化轉(zhuǎn)動機構(gòu)驅(qū)動裝置提供一個沿z軸方向的驅(qū)動力矩，同時天線反射面受到重力作用。根據(jù)力旋量變換關(guān)系，將天線反射面關(guān)節(jié)局部坐標系下表示的約束旋量系矩陣轉(zhuǎn)換為參考坐標下表示的約束旋量系矩陣。同理可將天線反射面關(guān)節(jié)局部坐標系下表示的驅(qū)動力旋量系矩陣轉(zhuǎn)換為參考坐標下表示的驅(qū)動力旋量系矩陣，可得

(3)

O4——轉(zhuǎn)動副Q4局部坐標系位置向量的反對稱矩陣

將作用于天線反射面的單位約束力矩陣和驅(qū)動力矩陣遷移到基坐標系，表示為

(4)

O——動坐標系位置向量反對稱矩陣

在參考坐標系下，可將天線反射面受到的約束力旋量、驅(qū)動力旋量和重力旋量進行線性疊加，得到

(5)

式中IF——天線反射面空間慣量

g——重力加速度旋量

O——零向量

混聯(lián)天線機構(gòu)動平臺與3條支鏈和天線反射面均通過轉(zhuǎn)動副連接。動平臺受力情況如圖3所示。

如圖3所示，根據(jù)牛頓第三定律，在極化轉(zhuǎn)動機構(gòu)與天線反射面連接處受到天線反射面提供的3個約束反力F′4x、F′4y、F′4z和2個約束反力偶M′4x、M′4y，同時受到極化轉(zhuǎn)動機構(gòu)驅(qū)動器提供的一個反力偶M′4。在極化轉(zhuǎn)動機構(gòu)與3個分支連接處分別受到各個分支提供的3個約束力FQix、FQiy、FQiz和2個約束力偶MQix、MQiy。同時極化轉(zhuǎn)動機構(gòu)還受到自身重力作用。

根據(jù)力旋量變換關(guān)系，將作用于極化轉(zhuǎn)動機構(gòu)的關(guān)節(jié)局部坐標系下表示的單位關(guān)節(jié)約束旋量系矩陣轉(zhuǎn)換為參考坐標下表示的單位關(guān)節(jié)約束旋量系矩陣，得到

(6)

Oi——轉(zhuǎn)動副Qmi局部坐標系位置向量的反對稱矩陣

將作用于極化轉(zhuǎn)動機構(gòu)的3個分支的單位約束力矩陣遷移到基坐標系下，表示為

(7)

式中Oi——極化轉(zhuǎn)動機構(gòu)位置向量的反對稱矩陣

在參考坐標系下，可將極化轉(zhuǎn)動機構(gòu)受到3個分支的約束力、極化轉(zhuǎn)動機構(gòu)驅(qū)動反力、天線反射面約束反力和極化轉(zhuǎn)動機構(gòu)自身重力進行線性疊加，得到

(8)

式中IC——動平臺空間慣量

《一個熱愛藝術(shù)的修士的內(nèi)心傾訴（Herzensergie?ungen eineskunstliebenden Klosterbruders）》在這本書剛剛出版的那個年代是一個令人感到陌生甚至怪癖的標題。修道院(Kloster)和內(nèi)心傾訴(Herzensergie?ungen)兩個詞語帶有明顯的宗教色彩。事實上，瓦肯羅德的確將藝術(shù)提升到了與宗教并列的高度，在他看來，世上有兩種最崇高的語言——自然和藝術(shù)。自然是上帝的語言，而藝術(shù)則是受上帝青睞的人的語言。音樂和造型藝術(shù)都是以有限的形式來表達無限的方式。

混聯(lián)天線機構(gòu)包括3個分支，每個分支包括4個桿件，每個桿件之間均通過轉(zhuǎn)動副連接，每個桿件的受力情況如圖4所示。

如圖4所示，桿件KiQi兩端分別受到3組約束反力FKix和F′Qix、FKiy和F′Qiy、FKiz和F′Qiz以及2個約束反力偶MKix和M′Qix、MKiy和M′Qiy；桿件GiKi兩端分別受到3組約束反力FGix和F′Kix、FGiy和F′Kiy、FGiz和F′Kiz以及兩組約束反力偶MGix和M′Kix、MGiy和M′Kiy；桿件JiGi兩端分別受到3組約束反力FJix和F′Gix、FJiy和F′Giy、FJiz和F′Giz以及2組約束反力偶MJix和M′Gix、MJiy和M′Giy；桿件PiJi兩端分別受到3組約束反力FPix和F′Jix、FPiy和F′Jiy、FPiz和F′Jiz以及2組約束反力偶MPix和M′Jix、MPiy和M′Jiy。桿件KiQi、GiKi、JiGi和PiJi還受到桿件自身重力Gij(j=1,2,3,4)的作用，在桿件PiJi的Pi端受到驅(qū)動器提供的驅(qū)動力矩Mmi。

根據(jù)力旋量變換關(guān)系，將作用于3個分支的關(guān)節(jié)局部坐標系下表示的關(guān)節(jié)約束旋量系矩陣轉(zhuǎn)變?yōu)閰⒖甲鴺讼卤硎镜年P(guān)節(jié)約束旋量系矩陣，得到

(9)

Oi——轉(zhuǎn)動副Kmi局部坐標系位置向量的反對稱矩陣轉(zhuǎn)動副Gmi局部坐標系的旋轉(zhuǎn)矩陣

Oi——轉(zhuǎn)動副Gmi局部坐標系位置向量的反對稱矩陣轉(zhuǎn)動副Jmi局部坐標系的旋轉(zhuǎn)矩陣

Oi——轉(zhuǎn)動副Jmi局部坐標系位置向量的反對稱矩陣轉(zhuǎn)動副Pmi局部坐標系的旋轉(zhuǎn)矩陣

同理，將作用于桿件PiJi的關(guān)節(jié)局部坐標系下表示的驅(qū)動力旋量矩陣轉(zhuǎn)換為參考坐標下表示的驅(qū)動力旋量系矩陣，得到

(10)

將作用于3個分支的單位約束力矩陣遷移到基坐標系下，表示為

(11)

將作用于桿件PiJi的單位驅(qū)動力矩陣遷移到基坐標系下，表示為

MG_PiJi=E6×6OMG_PiJi(i=1,2,3)

(12)

在參考坐標系下，可將桿件KiQi、GiKi、JiGi和PiJi受到的約束力和約束力偶，桿件自身重力和驅(qū)動器的驅(qū)動力矩進行線性疊加，得到

(13)

式中IKiQi——桿件KiQi的空間慣量

IGiKi——桿件GiKi的空間慣量

IJiGi——桿件JiGi的空間慣量

IPiJi——桿件PiJi的空間慣量

如圖5所示，混聯(lián)天線機構(gòu)定平臺受到分支PiJi提供的3個約束反力F′Pix、F′Piy、F′Piz和2個約束反力偶M′Pix、M′Piy以及自身重力的作用，還受到連接點Pi處驅(qū)動器提供的驅(qū)動反力矩。

在參考坐標系下，可將定平臺受到3個分支的約束反力F′Pix、F′Piy、F′Piz和約束反力偶M′Pix、M′Piy，驅(qū)動反力偶M′mi以及定平臺自身重力進行線性疊加，得到

(14)

聯(lián)立混聯(lián)天線機構(gòu)各個部件的力平衡方程，混聯(lián)天線機構(gòu)全部桿件的力平衡方程可以表示為

Cη+I=O

(15)

式中I——混聯(lián)天線機構(gòu)全部桿件的廣義空間慣性矩陣

η——混聯(lián)天線機構(gòu)的驅(qū)動力矩陣

根據(jù)式(15)可以得到各個關(guān)節(jié)約束力和驅(qū)動器提供的驅(qū)動力矩陣為

η=-C-1I

(16)

其中

式中τj——各關(guān)節(jié)的約束力矩陣

τm——各個驅(qū)動器的驅(qū)動力矩陣

通過求得τj和τm即可獲得混聯(lián)天線機構(gòu)各個部件受到的約束力和驅(qū)動關(guān)節(jié)處的驅(qū)動力。

根據(jù)天線機構(gòu)任務需求將工作空間設定為：俯仰角為0°～90°；方位角運動范圍為0°～360°。得到天線機構(gòu)驅(qū)動關(guān)節(jié)力矩隨位形分布情況如圖6所示。

圖6給出了理想條件下天線機構(gòu)驅(qū)動各關(guān)節(jié)力矩隨俯仰和方位角變化情況，各關(guān)節(jié)力矩最大值為323.86 N·m，驅(qū)動力矩的求解結(jié)果為伺服電機選型和機構(gòu)樣機研制提供參考。

表1給出了混聯(lián)天線機構(gòu)方位角為0°，俯仰角分別為45°和90°兩組位姿各驅(qū)動關(guān)節(jié)力矩理論值、仿真值及相對誤差，其中理論值為圖6中對應位姿的數(shù)值計算結(jié)果，仿真值為有限元軟件仿真結(jié)果。

表1 兩組位姿下驅(qū)動關(guān)節(jié)力矩的對比Tab.1 Comparison of static analysis results

由表1可知，靜力學理論求解結(jié)果與仿真分析結(jié)果之間的相對誤差不大于1.330%，驗證了靜力學分析結(jié)果的正確性。

3 仿真分析

3.1 靜力學仿真

將三維模型導入ANSYS/Workbench，設定模型材料彈性模量為6.96 Pa，泊松比為0.31，屈服強度為6.85×108Pa，重力加速度設為9.8 m/s2。天線機構(gòu)俯仰角為45°、90°時有限元分析結(jié)果如圖7所示。

由圖7可知，當天線俯仰角為45°、90°時，天線最大變形分別為0.574 04、0.673 95 mm，最大變形均發(fā)生在反射面邊沿，最大變形約占運動半徑的0.11%和0.13%，俯仰角為45°、90°時混聯(lián)天線機構(gòu)滿足設計要求。

3.2 振動分析

借助有限元分析軟件得到天線機構(gòu)俯仰角為45°和90°的前6階固有頻率，如表2所示。俯仰角為45°的天線機構(gòu)振型云圖如圖8所示。

表2 機構(gòu)前6階模態(tài)固有頻率

由表2可知，天線機構(gòu)前6階固有頻率分布在11.439～65.538 Hz，隨著俯仰角的增加，前5階固有頻率均減小。由前6階振型可以看出，天線機構(gòu)分支連桿變形較大，容易產(chǎn)生較大交變應力，導致疲勞裂紋和斷裂現(xiàn)象，連桿部位是混聯(lián)天線機構(gòu)的相對薄弱環(huán)節(jié)，可通過增加連桿半徑等方式提升連桿剛度。設計環(huán)節(jié)需要使激勵頻率盡量遠離系統(tǒng)固有頻率，以避免發(fā)生共振現(xiàn)象。

3.3 包絡空間分析

天線衛(wèi)星追蹤運動過程中應避免與周圍物體發(fā)生干涉，故需評估整個天線機構(gòu)的運動范圍，即運動包絡空間。參考天線機構(gòu)工作任務需求，設定混聯(lián)天線機構(gòu)俯仰運動時：方位角為0°，俯仰角0°～90°；方位運動時：方位角為0°～360°，俯仰角45°。采用Matlab軟件對機構(gòu)進行運動特性仿真，圖9～11分別為混聯(lián)天線機構(gòu)運動線框圖、俯仰運動包絡空間和方位運動包絡空間。

圖9為混聯(lián)天線機構(gòu)初始位姿、俯仰90°運動狀態(tài)和方位360°運動狀態(tài)。運動特性仿真結(jié)果表明該混聯(lián)天線機構(gòu)滿足天線軌跡跟蹤的性能要求。

圖10、11分別給出了混聯(lián)天線機構(gòu)俯仰運動和方位運動的運動包絡空間三維視圖、俯視圖和左視圖。由圖10、11得到混聯(lián)天線機構(gòu)整機運動范圍如表3所示。

由表3可知，混聯(lián)天線機構(gòu)俯仰和方位運動過程中，x軸方向運動范圍為-1 045～1 045 mm，y軸方向運動范圍為-1 045～1 045 mm，z軸方向運動范圍為-508～1 445 mm。通過對混聯(lián)天線機構(gòu)運動包絡空間分析，獲得機構(gòu)俯仰和方位運動范圍，為天線機構(gòu)安裝和運行保障提供參考。

表3 天線機構(gòu)包絡空間范圍Tab.3 Envelope space range of antenna mechanism

4 樣機設計

根據(jù)1.8 m口徑天線座架結(jié)構(gòu)和運動設計需求，開展混聯(lián)天線機構(gòu)三維模型繪制和物理樣機設計?；炻?lián)天線機構(gòu)各條支鏈需要帶動天線運動，同時對極化轉(zhuǎn)動機構(gòu)及天線反射面起支撐作用。圖12給出了混聯(lián)天線機構(gòu)傳動支鏈結(jié)構(gòu)圖。極化轉(zhuǎn)動機構(gòu)作用是帶動天線反射面繞自身軸線轉(zhuǎn)動，圖13給出了極化轉(zhuǎn)動機構(gòu)結(jié)構(gòu)圖。

圖12為上/下支鏈包含上/下支鏈1和上/下支鏈2，通過轉(zhuǎn)動軸承組成轉(zhuǎn)動副。如圖13所示，極化轉(zhuǎn)動機構(gòu)包含驅(qū)動電機、轉(zhuǎn)盤軸承和小齒輪，驅(qū)動電機帶動小齒輪帶動轉(zhuǎn)盤軸承轉(zhuǎn)動，進而驅(qū)動反射面實現(xiàn)繞法向軸線的極化轉(zhuǎn)動?；诨炻?lián)天線機構(gòu)樣機靜力學及仿真和關(guān)鍵部件設計，開展機構(gòu)部件的選型、加工和裝配。1.8 m口徑混聯(lián)天線機構(gòu)1∶1等比例物理樣機如圖14所示。

5 結(jié)論

(1)以3-R(RRR)R并聯(lián)機構(gòu)為基礎(chǔ)構(gòu)建3-R(RRR)R+R四自由度混聯(lián)天線機構(gòu)，該混聯(lián)天線機構(gòu)能夠適應反射面俯仰運動、方位運動以及天線反射面繞軸線轉(zhuǎn)動的需求。混聯(lián)天線機構(gòu)滿足天線運動功能要求。

(2)基于螺旋理論對混聯(lián)天線機構(gòu)進行靜力學分析，獲得了俯仰角范圍為0°～90°、方位角范圍為0°～360°時的驅(qū)動關(guān)節(jié)力矩值，運用有限元軟件得到了機構(gòu)俯仰角為45°和90°時的整體變形，獲得俯仰角為45°和90°時機構(gòu)的固有頻率。

(3)進行了混聯(lián)天線機構(gòu)的運動仿真，獲得了俯仰角范圍為0°～90°和方位角范圍為0°～360°的運動包絡空間圖。對混聯(lián)天線機構(gòu)關(guān)鍵零部件進行結(jié)構(gòu)設計，設計了四自由度混聯(lián)天線機構(gòu)物理樣機。