劉 錦 曹一鳴

(北京師范大學數(shù)學科學學院，北京 100875)

1 引言

計算思維作為人工智能的基礎(chǔ)思維，對于未來社會的發(fā)展具有重要意義和價值.隨著互聯(lián)網(wǎng)+、大數(shù)據(jù)、人工智能等新興信息技術(shù)發(fā)展，計算思維受到國內(nèi)外廣泛關(guān)注.計算思維在數(shù)學問題解決、數(shù)學推理等方面具有重要價值.初中階段與計算思維相關(guān)的概念主要與運算能力相關(guān)，要求學生“根據(jù)法則和運算律正確的進行運算，理解運算算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題”[1]；高中階段涉及“數(shù)學運算”核心素養(yǎng)，要求學生“理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，選擇運算方法，設(shè)計運算程序，求得運算結(jié)果等”[2].計算思維在計算科學領(lǐng)域已經(jīng)得到了廣泛應用，關(guān)于計算思維的教育主要集中在高等教育，K12階段也有所涉及.具體到學科方面，國外對計算思維在數(shù)學、科學學科已經(jīng)進行了一些探索，國內(nèi)的研究主要集中在信息技術(shù)領(lǐng)域，數(shù)學學科相關(guān)研究較少.

OECD開展的國際學生評估項目(PISA)以其前瞻性、先進性、嚴謹性和建設(shè)性被國際社會大多數(shù)國家和地區(qū)認可并參與，成為國際上最具影響力的學生評價項目之一[3].PISA 2021以數(shù)學為主要測評領(lǐng)域，在數(shù)學素養(yǎng)定義、內(nèi)涵以及測評內(nèi)容方面均做出了重大調(diào)整[4].其中最明顯的變化是首次引入計算思維，并將其和數(shù)學問題解決、數(shù)學推理一起納入21世紀數(shù)學素養(yǎng)的一部分[5].未來社會的問題解決與計算機編程、算法設(shè)計、數(shù)據(jù)科學、機器學習密不可分，均以計算思維為重要基礎(chǔ)[6].計算思維與數(shù)學學習密切相關(guān)，如何從數(shù)學的角度理解計算思維？本文結(jié)合PISA 2021數(shù)學素養(yǎng)測評框架，解讀數(shù)學中的計算思維，在此基礎(chǔ)上討論對我國中學數(shù)學課程改革的啟示.

2 數(shù)學中的計算思維

計算思維在學生數(shù)學學習中具有重要作用，結(jié)合PISA 2021測評，分別從計算思維的內(nèi)涵、計算思維在數(shù)學領(lǐng)域?qū)W習中的價值以及計算思維在數(shù)學素養(yǎng)評價中的體現(xiàn)三個方面解讀數(shù)學中的計算思維.

2.1 計算思維的內(nèi)涵

計算思維作為計算機科學家的思考方式引入并被視為一種思維過程[7]，在制定問題和設(shè)計解決方案時，需要計算機、人或兩者的結(jié)合來執(zhí)行.由于技術(shù)在學生生活中發(fā)揮越來越大的作用，PISA 2021認為數(shù)學素養(yǎng)應包括數(shù)學思維和計算思維之間的協(xié)同和互動關(guān)系.數(shù)學中計算思維的內(nèi)涵主要體現(xiàn)在：

(1)數(shù)學中計算思維的本質(zhì)

數(shù)學中計算思維的本質(zhì)被概念化為定義和闡述可通過編程表達的數(shù)學知識，允許學生動態(tài)地建模數(shù)學概念和關(guān)系.針對數(shù)學學習的計算思維實踐包括數(shù)據(jù)實踐、建模和仿真實踐、計算問題解決實踐和系統(tǒng)思維實踐.

(2)數(shù)學素養(yǎng)中的計算思維技能

數(shù)學素養(yǎng)中的計算思維技能包括模式識別、分解、確定可以使用哪些(如果有)計算工具來分析或解決問題，以及將算法定義為詳細解決方案的一部分.學生應該擁有并能夠展示計算思維技能，并將其作為問題解決實踐的一部分.

(3)計算思維在數(shù)學中的作用

計算思維在數(shù)學中的作用包括特定數(shù)學主題如何與特定計算主題相互作用，以及數(shù)學推理如何補充計算思維等.數(shù)學教育不但在工具使用和支持學生探索強大學科思想的潛在方式方面不斷發(fā)展，而且可以通過精熟使用計算思維工具和技能單元創(chuàng)造有效的學習條件從而深化數(shù)學內(nèi)容的學習.計算思維工具為學生提供了一個情境，在這個情境中，學生可以具體化抽象結(jié)構(gòu)(通過動態(tài)方式探索和參與數(shù)學概念)，也可以用新的方式表達想法，并通過媒體和新的表征工具與概念互動.

數(shù)學與計算思維的結(jié)合，不僅促進學生對數(shù)學領(lǐng)域概念理解的發(fā)展，也是培養(yǎng)學生計算思維概念和技能的關(guān)鍵.讓學生更加真實地了解如何在現(xiàn)實世界中使用數(shù)學，進而為他們在相關(guān)領(lǐng)域的職業(yè)生涯做好更加充分的準備.

2.2 計算思維在數(shù)學領(lǐng)域?qū)W習中的價值

計算思維是數(shù)學領(lǐng)域?qū)W習的重要基礎(chǔ).結(jié)合PISA 2021框架界定的數(shù)學領(lǐng)域(數(shù)學推理和數(shù)學問題解決、數(shù)學內(nèi)容、數(shù)學情境)，計算思維在數(shù)學領(lǐng)域?qū)W習中的價值主要體現(xiàn)在數(shù)學推理、數(shù)學問題解決以及特定數(shù)學內(nèi)容等方面.

明年的展會，將匯集全球最先進的印刷機制造技術(shù)、數(shù)字印刷技術(shù)、網(wǎng)絡(luò)技術(shù)、智能制造技術(shù)及各種新材料、新工藝。絕大多數(shù)一線品牌的廠商都將帶著新產(chǎn)品參展，屆時會出現(xiàn)一批全球首發(fā)、亞州首發(fā)、中國首發(fā)的新產(chǎn)品、新材料亮相展會，也會出現(xiàn)新的商業(yè)模式和商業(yè)機會。因此，中國印刷及設(shè)備器材工業(yè)協(xié)會舉辦的世界印刷大展，代表了當代全球印刷技術(shù)的頂尖水平，是全球印刷技術(shù)發(fā)展的風向標和晴雨表，吸引了全球的印刷用戶前來參觀、選購。

(1)計算思維有助于理解數(shù)學抽象

數(shù)學推理(包括演繹推理和歸納推理)是數(shù)學素養(yǎng)的核心，由一些關(guān)鍵理解支持，這些理解是學校數(shù)學的基礎(chǔ).其中“欣賞抽象和符號表示的力量”這一關(guān)鍵理解中涉及計算思維.數(shù)學抽象的本質(zhì)在于它是一個自包含的系統(tǒng)，數(shù)學對象從該系統(tǒng)中獲得其意義.抽象涉及有意地和有選擇地關(guān)注數(shù)學對象之間的結(jié)構(gòu)相似性，并基于這些相似性構(gòu)建對象之間的關(guān)系.在學校數(shù)學中，抽象形成了具體對象、符號表示和運算(包括算法和心智模型)之間的關(guān)系.這種能力在使用計算設(shè)備時也起著作用.在重要的計算思維技能中，在技術(shù)環(huán)境中處理抽象概念時，能夠創(chuàng)造、操縱和提取意義.

(2)計算思維豐富學生數(shù)學問題解決手段和工具

數(shù)學問題解決過程包括表述、應用和詮釋.“表述”是指學生能夠有效地識別在問題情境中使用數(shù)學的機會，然后提供必要的數(shù)學結(jié)構(gòu)，以數(shù)學形式公式化情境問題；“應用”是指學生能夠很好地進行計算和操作，并將他們所知道的概念和事實應用到數(shù)學問題的解決方案中.“詮釋”涉及學生如何有效地反思數(shù)學解決方案或結(jié)論，在現(xiàn)實問題的背景下解釋它們并確定結(jié)果或結(jié)論是否合理或有用.在數(shù)學問題解決過程中鼓勵學生通過計算思維工具和實踐體驗數(shù)學問題解決過程，鼓勵學生練習預測、反思和調(diào)試技能.比如在“詮釋”過程中，計算思維的價值包括使用數(shù)學思維和計算思維進行預測，為論證提供證據(jù)，測試和比較提出的解決方案.計算思維為學生數(shù)學問題解決提供了豐富的手段和工具，可以有效激發(fā)學生“做數(shù)學”的積極性[8].

(3)計算思維促進學生數(shù)學內(nèi)容深度學習

對數(shù)學內(nèi)容的理解以及將這些內(nèi)容應用于解決有意義的情境化問題的能力非常重要.數(shù)學內(nèi)容包括變化與關(guān)系、空間與圖形、數(shù)量、不確定性與數(shù)據(jù)四個方面.以數(shù)學內(nèi)容“變化與關(guān)系”為例介紹計算思維的價值.在生物生長、音樂、季節(jié)變化和周期、天氣模式、就業(yè)水平和經(jīng)濟條件等多種環(huán)境中，變化和關(guān)系是顯而易見的.函數(shù)和代數(shù)的傳統(tǒng)數(shù)學內(nèi)容包括代數(shù)表達式、方程和不等式、表格和圖形表示，是描述、建模和解釋變化現(xiàn)象的核心.計算工具提供了一種將變化和關(guān)系可視化并與之交互的方法.識別計算設(shè)備如何以及何時能夠增強和補充數(shù)學概念是一項重要的計算思維技能.

2.3 計算思維在數(shù)學素養(yǎng)評價中的體現(xiàn)

背景調(diào)查是學生數(shù)學素養(yǎng)評價的起點.為了更好對教育系統(tǒng)做出評估，自第一輪PISA以來均設(shè)置學生和學校背景調(diào)查問卷.通過調(diào)查問卷可以提供背景，解釋教育系統(tǒng)內(nèi)部和之間的PISA結(jié)果；也可以為其他教育指標提供可靠和有效的測量，這些指標本身可以為政策和研究提供信息.PISA 2021數(shù)學框架中背景調(diào)查問卷包括四個維度：數(shù)學推理、計算思維和技術(shù)在數(shù)學教學中的作用、四個重點內(nèi)容領(lǐng)域以及數(shù)學背景下的21世紀技能.分別從以下幾個方面對第二個維度“計算思維和技術(shù)在數(shù)學教學中的作用”進行介紹：

(1)學生對計算思維的體驗

(2)關(guān)鍵問題

PISA 2021數(shù)學素養(yǎng)框架提請人們注意，技術(shù)正在以不同的方式改變世界，也在改變從事數(shù)學的意義.背景調(diào)查問卷的關(guān)鍵問題包括：首先，深入了解學生的數(shù)學經(jīng)驗和數(shù)學實踐是如何變化的；其次，在技術(shù)對學生如何參與數(shù)學、數(shù)學人工制品等帶來影響的前提下，了解數(shù)學課堂教學法是如何演變的.對于學生來說，更好地理解技術(shù)如何影響學生的表現(xiàn)是很有意義的，可以在問卷框架的任務表現(xiàn)模塊中進行探討；教學問題可以在學習時間、課程和教學實踐模塊中探討.

(3)評價內(nèi)容示例

注重計算思維和技術(shù)在數(shù)學實踐和教學中的作用對背景調(diào)查問卷有影響，背景調(diào)查問卷應提供措施，以便更好地了解學生在這方面的學習機會.尤其是問卷應確定學生的頻率，例如：

?設(shè)計或使用計算機模擬和/或計算機模型；

?數(shù)學課堂內(nèi)外的代碼或程序；和

?接觸計算機數(shù)學系統(tǒng)(CSM)(包括動態(tài)幾何軟件)；電子表格；編程軟件(如Logo和Scratch)；圖形計算器；游戲等).

3 對中學數(shù)學課程改革的啟示

信息技術(shù)變革對學生未來數(shù)學學習提出更高的要求，計算思維將發(fā)揮重要的作用.下面分別從數(shù)學素養(yǎng)內(nèi)涵、數(shù)學課程內(nèi)容、數(shù)學學習評價三個方面闡述計算思維帶來的啟示.

3.1 豐富數(shù)學素養(yǎng)內(nèi)涵的理解

隨著新興信息技術(shù)的發(fā)展，學生生活的世界發(fā)生了巨大的變化，數(shù)學素養(yǎng)被賦予了新的內(nèi)涵.PISA 2021測評框架指出21世紀數(shù)學素養(yǎng)包括數(shù)學推理、數(shù)學問題解決和計算思維.計算思維成為數(shù)學素養(yǎng)的組成部分.關(guān)于數(shù)學素養(yǎng)，《義務教育數(shù)學課程標準(2011年版)》提出十個關(guān)鍵詞，《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》提出六大學科核心素養(yǎng).二者雖然均強調(diào)信息技術(shù)的發(fā)展對數(shù)學教育的價值、目標、內(nèi)容以及教學方式產(chǎn)生很大的影響，但并未明確提出計算思維.因此，在當前義務教育改革深化的背景下，數(shù)學課程標準應當將計算思維納入數(shù)學素養(yǎng)之中.與此同時，義務教育可以借鑒PISA 2021 數(shù)學素養(yǎng)測評框架，從計算思維視角對義務教育數(shù)學素養(yǎng)的內(nèi)涵與外延進行明確界定，從而促進義務教育數(shù)學課程改革.

3.2 優(yōu)化數(shù)學課程內(nèi)容的整合

計算思維有利于學生開展數(shù)學推理、數(shù)學問題解決，在特定數(shù)學內(nèi)容上提供了行之有效的解決方案.但并不是所有的課程內(nèi)容都適合與計算思維整合，要結(jié)合數(shù)學內(nèi)容的特點和計算思維的特性合理安排.《義務教育數(shù)學課程標準( 2011 年版)》明確指出，數(shù)學與計算機技術(shù)的結(jié)合在許多方面直接為社會創(chuàng)造價值，推動著社會生產(chǎn)力的發(fā)展；積極開發(fā)和有效利用各種課程資源，合理地應用現(xiàn)代信息技術(shù)，注重信息技術(shù)與課程內(nèi)容的整合，能有效地改變教學方式，提高課堂教學的效益[1]，但并未明確計算思維如何與課程內(nèi)容整合.修訂數(shù)學課程標準時，可以以計算思維為導向，進行深度改革與實踐，全面更新、重構(gòu)數(shù)學課程內(nèi)容，通過實踐、總結(jié)再到實踐，最終構(gòu)建出真正融合計算思維的數(shù)學課程內(nèi)容，使得數(shù)學課程內(nèi)容更加與時俱進.

3.3 拓展數(shù)學學習評價的維度

已有的數(shù)學課程標準關(guān)注數(shù)學知識、數(shù)學推理、數(shù)學問題解決評價等，未將計算思維的考察納入數(shù)學學習評價當中.PISA 2021數(shù)學素養(yǎng)背景調(diào)查問卷中納入計算思維，拓展了數(shù)學素養(yǎng)測評維度.學生數(shù)學學習評價應當兼顧計算思維，理想的方式是讓學生通過計算工具進行數(shù)學創(chuàng)作，作品可以是模擬某個現(xiàn)象的數(shù)學模型、經(jīng)過數(shù)據(jù)挖掘而得到數(shù)學發(fā)現(xiàn)等.這樣既能體現(xiàn)學生對數(shù)學內(nèi)容、數(shù)學本質(zhì)的理解，又能展現(xiàn)學生計算思維與實踐的能力.通過引入計算思維的評價擴展學生數(shù)學學習評價維度，達到促進學生全面發(fā)展的目的.

4 結(jié)語

未來社會中學生需要在復雜情境中創(chuàng)造性地做出非常規(guī)的決策，計算思維將與數(shù)學推理、問題解決等共同發(fā)揮關(guān)鍵作用.本文以PISA 2021數(shù)學素養(yǎng)測評為例，從數(shù)學的角度解讀計算思維,在此基礎(chǔ)上探討了對中學數(shù)學課程改革帶來的啟示.數(shù)學中計算思維的引入，對我國中學數(shù)學課程發(fā)展提供了良好的借鑒，促進深化數(shù)學課程改革，從而進一步推動數(shù)學教育走向現(xiàn)代化.