內(nèi)蒙古包頭市教育教學(xué)研究中心 付 強(qiáng)

內(nèi)蒙古包頭市第一中學(xué) 王曉慧 張宏海

一、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門科學(xué)。華羅庚先生曾說：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休?！庇纱丝梢?，數(shù)學(xué)本身的特點(diǎn)就決定了我們?cè)谒伎紨?shù)學(xué)問題時(shí)要將數(shù)與形統(tǒng)一思考，要將數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)換為圖形性質(zhì)來解決，通過直觀的圖形來闡明數(shù)量間的內(nèi)在關(guān)系。下面通過具體實(shí)例進(jìn)行分析。

【例1】方程lgx+x-3=0 的解所在區(qū)間為（ ）

A.（1，2） B.（3，+∞) C.（2，3） D.（0，1）

解析：作出函數(shù)y=-x+3 和y=lgx的圖像，記兩圖像交點(diǎn)橫坐標(biāo)為x0，由圖可得x0∈（1，3），可排除B，D。進(jìn)一步比較x0和2的大小關(guān)系，當(dāng)x=2 時(shí)，lgx=lg2，3-x=1。顯然，lg2 ＜1，所以x0＞2，因此得到x0∈（2，3），故本題應(yīng)選C。

小結(jié)：本題利用數(shù)形結(jié)合思想構(gòu)造函數(shù)，求方程解所在的范圍，不僅要將數(shù)與形緊密結(jié)合，利用圖像直觀估計(jì)，還要計(jì)算x0附近的函數(shù)值來進(jìn)一步縮小解所在的范圍。

【例2】已知x1是方程x＋10x=3 的根，x2是方程x+1gx=3 的根，那么x1+x2的值為_。

解析：根據(jù)圖像，可得直線y=3-x以及函數(shù)y=lgx與y=10x的圖像均關(guān)于直線y=x對(duì)稱，由對(duì)稱性易知答案為3。

二、分類討論的思想

三、函數(shù)與方程思想

小結(jié)：本題中由于已知條件的底數(shù)均為2 的冪指數(shù)式，因此可以利用換底公式統(tǒng)一為底數(shù)為2 的形式，使問題得到解決。

練習(xí)：已知a、b、c為△ABC的三邊，且關(guān)于x的方程x2-2x+lg（c2-b2）-lga2+1=0 有等根，試判斷△ABC的形狀。（答案：直角三角形）

四、轉(zhuǎn)化與化歸思想

老子在《道德經(jīng)》中曾講道：少則多，多則惑。所以我們教師在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)，不應(yīng)一味做題只追求數(shù)量，采用題海戰(zhàn)術(shù)，而應(yīng)當(dāng)及時(shí)總結(jié)提煉題中所蘊(yùn)含的思想方法，這樣才能夠起到提綱挈領(lǐng)、舉一反三的功效，從而提高學(xué)習(xí)效率，將教師、學(xué)生從繁重的課業(yè)中解放出來。