白金峰，張應山，趙建立

(1.澳門城市大學 商學院，澳門 999078；2.華東師范大學 經(jīng)濟與管理學部統(tǒng)計學院，上海 200241；3.聊城大學 數(shù)學科學學院，山東 聊城 252059)

0 引言

對稱性其實是一個非常古老的概念,對稱性特性在自然界中既十分普遍又很重要，但同時它也是一個十分嶄新的概念，因為自然界中幾乎所有重要的規(guī)律都與某種對稱性息息相關，所以人們可以通過研究對稱性這一重要特性，去認識和研究自然規(guī)律。本文把在視覺感知特征方面具有對稱形狀和設計特性的事物作為對稱性研究的主要研究對象，進行廣義對稱性相關方面的研究。對稱性的概念解釋是指對研究對象在視覺特征方面的形狀和設計(張應山,趙建立,2018)。

對稱性概念由來已久，主要有圖像的對稱和函數(shù)的對稱兩種，從最開始的視覺上的幾何圖形的對稱性研究，再到現(xiàn)在抽象的函數(shù)的對稱對稱性研究，國內(nèi)外已經(jīng)有許多關于對稱性理論方面的專著，即使這樣，諸多研究學者還是對關于對稱性理論方面的研究都充滿著濃厚興趣，趨之若鶩。在如今關于對稱性方面的研究，大部分學者都將研究目光集中于圖像的對稱性和函數(shù)的對稱性的研究上，其成果是碩果累累，而對稱性的其他方面研究成果卻寥寥無幾。

目前所有的對稱性研究都與有限群的研究成果密不可分，緊緊相連。譬如在圖像的對稱性的研究[1-7]方面，除了王佳利等(2015)[1]和顧振華(2009)[2]等人進行過關于群與圖的對稱性方面的研究之外,還有王志衡等(2017)研究過圖的對稱性檢測[3]，圖的容錯性則成為楊大偉(2016)[4]和王牟江山(2014)[5]的主要研究目標，向德輝(2012)主要把有關圖像分割及可視化作為研究方向[6]，周進鑫(2008)則對曲面嵌入等相關問題進行相關的研究[7]等。又譬如在函數(shù)的對稱性的研究[8-14]方面的研究，Gordon James(2017)[8]，劉洋(2014)[9]，徐海靜(2011)[10]，賀艷妮(2011)[11]，司華斌(2009)[12]等學者都進行了涉及有限群的特征標表等方面的研究[8-12]，他們在有限群的特征標表的研究方面都做出了取得了一定的研究成果，進一步完善了關于函數(shù)的對稱性方面的研究，但也有一部分學者關于對稱函數(shù)的特殊性質(zhì)進行研究，如孫明保(2014)[13]及張映輝等(2017)[14]學者就對Schur凸性進行深入的研究。

張應山教授(1993)根據(jù)東方整體性思維和中國古典傳統(tǒng)文化，并結合有限群等西方概念，提出了廣義對稱性或廣義對稱分析方法的相關概念[15]，他把以前狹義的有限群的特征標表做了進一步的推廣和延伸，將其擴大成為《多邊矩陣理論》中提到的正交冪等系統(tǒng)(對稱算符表)和廣義對稱表的新形式，再利用統(tǒng)計分析等數(shù)學方法來進行對稱函數(shù)方面的問題與性質(zhì)的研究。在張應山教授(1993)提出關于對稱框架和對稱算符理論的相關概念[15]以后，張應山等(1998)根據(jù)對稱框架和對稱算符理論的相關概念，對正交冪等系統(tǒng)進行相應的研究，提出了飽和正交冪等系統(tǒng)的概念[16]。潘長緣,張應山(2008)等人提出了關于如何構造正交冪等系統(tǒng)的一種算法，繼續(xù)進行關于飽和正交冪等系統(tǒng)的構造的研究[17]，這些為之后研究廣義對稱性打下一定的基礎。陳雪平，張應山(2009)等人還繼續(xù)了其他廣義對稱性相關概念的研究，這些研究對象主要是多元函數(shù)空間的對稱性分解方面的概念[18]，其研究成果會進一步豐富對稱性問題的研究成果，為之后的廣義對稱性研究提供支持。在關于對稱性全局統(tǒng)計分析中的定理證明的研究方面，潘長緣,馬海南(2009) 等人證明了對稱性全局統(tǒng)計分析方法中的幾個重要定理[19]，羅純，張應山(2016)利用高維模型表示方差分析的對稱全局靈敏度分析，進行了相關定理的證明，這些構成了對稱性全局統(tǒng)計分析方法的核心基石[20]，可以有助于進一步深化廣義對稱性的研究。在處理復雜系統(tǒng)的新思維系列論文[21-27]中，羅純和張應山等教授提出了對稱框架的剖分定理、對稱框架的分解定理，并利用該定理提出了構造對稱框架的一種方法，如此等等，對廣義對稱性的研究有著重要意義。錢洪崗(2012)[28]和劉興虎(2012)[29]在對稱設計表的構造和數(shù)據(jù)分析方面的問題上，兩者都作了充分的進一步探討和研究，錢洪崗(2012)通過介紹對稱群理論，給出了對稱框架的定義和相關性質(zhì),驗證對稱設計在解決具有高階交互效應的試驗設計問題上比正交設計具有更好的解決能力[28]。劉興虎(2012)通過引出數(shù)據(jù)分析的三項基本原則，利用群論的相關概念和結論，引入了導出框架和對稱框架的定義,還給出了對稱框架關于群的相關理論概念。他們的研究讓對稱設計表方面的研究得到一定發(fā)展。不過上述提到的一系列關于對稱性方面的研究成果大多都只限于對稱表的研究，還沒有真正涉及廣義對稱表的研究，諸多學者的研究都在為廣義對稱表的研究構筑框架，奠定基礎。

基于張應山教授《多邊矩陣理論》(1993)的概念理論[15]，結合文獻《廣義對稱表的定義和哲學意義》(張應山，趙建立，2018)的研究成果[30]，對廣義對稱性進行進一步的探討研究。作為廣義對稱表的系列論文之一，其主要目的是讓具有再現(xiàn)性的廣義對稱表可以成為數(shù)據(jù)分析表，而該數(shù)據(jù)分析表便是用來解決函數(shù)對稱分解問題的，這種研究有利于廣義對稱表在實際問題上的使用，具有很高的市場價值和實用價值。廣義對稱表的矩陣象是象數(shù)學的概念。它主要關注廣義對稱表的對稱分解項的二次型相應的矩陣。這個矩陣具有換行換列換數(shù)碼符號保持廣義對稱表的設計特性不變的性質(zhì)。這使得廣義對稱表的對稱矩陣象的數(shù)據(jù)分析結論具有再現(xiàn)性(定理1)。

廣義對稱表的點估計包含對于廣義對稱表的對稱分解項及其方差和貢獻率的估計。在試驗設計理論中，這種估計是最基本的。對這些估計的了解，有助于以后模擬研究廣義對稱表的對稱矩陣象的數(shù)據(jù)分析結論是否具有實際的再現(xiàn)性。文獻《廣義對稱表的定義和哲學意義》(張應山,趙建立,2018)研究了廣義對稱表的定義和哲學意義[30],本文中主要是在上述文獻的基礎上計算廣義對稱表的矩陣象，并給出對稱分解項及其方差和貢獻率的點估計。最后，討論廣義對稱表的矩陣象的哲學意義。

1 廣義對稱表的矩陣象

文獻《廣義對稱表的定義和哲學意義》(張應山，趙建立，2018)研究了廣義對稱表的定義和哲學意義，并給出了廣義對稱表的定義，把廣義對稱表的概念得到標準化，又詳細闡明了對稱置換平衡性的概念[30]，這又為以后廣義對稱表的研究提供了平衡指標，所以這一篇文獻[30]作為廣義對稱表系列論文的開篇之作，對以后的廣義對稱表的研究具有指導意義，為后面關于廣義對稱表問題的研究提供了非常大的幫助。

設根據(jù)多元函數(shù)f(x0,x1,…,xm,ω)的試驗數(shù)據(jù)為Y， 那么

ψ1的最小二乘估計為

定理1廣義對稱表

基于其對稱矩陣象的數(shù)據(jù)分析結論具有再現(xiàn)性。

證明需要論證廣義對稱表是解決對稱分解問題的最基本設計，就是要證明利用對稱矩陣象得到的數(shù)據(jù)分析結論具有再現(xiàn)性。也就是說：在對稱分解項已知時，利用任何一個具有可識別性的廣義對稱表獲得的數(shù)據(jù)，其數(shù)據(jù)分析結論與對稱分解項的值基本保持一致，俗稱客觀一致性。在對稱分解項未知時，利用不同的兩個具有可識別性的廣義對稱表兩次獲得的數(shù)據(jù)，如果這兩次數(shù)據(jù)分析結論都基本上相一致，兩次分析結論可以重復出現(xiàn)，則這種性質(zhì)稱之為重復出現(xiàn)性。那么數(shù)據(jù)分析結論必須同時具有客觀一致性和重復出現(xiàn)性，這兩種性質(zhì)必須同時成立，只有這樣才能說明數(shù)據(jù)分析結論具有再現(xiàn)性；否則便不能說明數(shù)據(jù)分析結論具有再現(xiàn)性，因此才說再現(xiàn)性是客觀一致性和重復出現(xiàn)性的統(tǒng)稱[30]。

水平數(shù)相同的不同的廣義對稱表主要表現(xiàn)在對稱表的行號不同、對稱表的列號不同、對稱表的數(shù)碼不同。因為基于廣義對稱表的試驗設計數(shù)據(jù)分析結論都是基于廣義對稱表的矩陣象進行分析的，所以，要證明廣義對稱表具有再現(xiàn)性，就是要證明在換行換列換數(shù)碼符號大小的條件下，廣義對稱表的矩陣象具有不變的性質(zhì)。

的對稱置換不變性的要求對于試驗的對稱分析來說是最基本的。

關于對稱分解項ψl的方差Var(ψl)的估計，可以采用對稱矩陣象的試驗數(shù)據(jù)Y的二次型來估計，因為對稱矩陣象具有換行換列換數(shù)碼符號不變的性質(zhì)，所以基于對稱矩陣象的點估計自然具有相同性質(zhì)，即具有再現(xiàn)性。關于其估計的無偏和方差最小性質(zhì)，利用投影矩陣性質(zhì)也比較容易證明。類似地考慮貢獻率及其誤差方差的無偏、方差最小和再現(xiàn)性。

2 廣義對稱表的矩陣象構造

構造廣義對稱表的矩陣象的方法有很多，本文給出一種利用多邊矩陣的置換矩陣[15]構造廣義對稱表的矩陣象的一種方法。

例1 考慮如下形式的廣義對稱表(S4(2133);G)，其中G={e,σ,σ2},σ=(1 2 3)∈S3，

相應的區(qū)組設計為

Δ=I4-C0-A2=04×4。

對于廣義對稱表(S4(2133);G)的試驗數(shù)據(jù)Y=(y11;y21,y22,y23)T，ψl的最小二乘估計為

廣義對稱表(S4(21;33),G)的方差Var(ψl)的估計為

注意：關于因子x0的水平估計、方差和貢獻率同于對稱算符χ1≡1的水平估計、方差和貢獻率。

例2 考慮如下形式的廣義對稱表(S4(2123);G)，其中G={e,σ,σ2},σ=(1 2 3)∈S3，

相應的區(qū)組設計為

便是這個群所擁有兩個飽和正交冪等系統(tǒng)其中的一個形式。計算

Δ=I4-C0-A2-A3=04×4。

對于廣義對稱表(S4(2123);G)的試驗數(shù)據(jù)Y=(y11;y21,y22,y23)T，ψl的最小二乘估計為

廣義對稱表(S4(21;23),G)的方差Var(ψt)的估計為

注意：關于因子x0的水平估計、方差和貢獻率同于對稱算符χ1≡1的水平估計、方差和貢獻率。

例3考慮如下形式的廣義對稱表(S9(3134);G)，其中子群G={e,(1234),(13)(24),(1432)}?S4。

相應的區(qū)組設計為

Δ=I9-C0-A2=09×9。

對于廣義對稱表(S9(3134);G)的試驗數(shù)據(jù)Y=(y11;y21,y22,y23,y24;y31,y32,y33,y34)T，ψl的最小二乘估計為

廣義對稱表(S9(3134);G)的方差Var(ψt)的估計為

+(-y21-y22+3y23-y24)2+(-y21-y22-y23+3y24)2+(3y31-y32-y33-y34)2

+(-y31+3y32-y33-y34)2+(-y31-y32+3y33-y34)2+(-y31-y32-y33+3y34)2]。

注意：關于因子x0的水平估計、方差和貢獻率同于對稱算符χ1≡1的水平估計、方差和貢獻率。

3 廣義對稱表矩陣象的哲學意義

在試驗設計領域，關于設計表的平衡性和正交性定義非常之多，哪種平衡性和正交性的定義更合理？也是爭論不休。而試驗設計要解決的最終問題是對自由函數(shù)模型(1)的觀測函數(shù)的正交或者對稱分解項進行正確估計，其估計結論應不受對廣義正交表或者廣義對稱表選擇的影響。

張應山教授(2018)提出了關于正交分解具有五種平衡性的概念，即正交分解具有相遇平衡性、水平間平衡性、正交平衡性、水平內(nèi)平衡性和整體平衡性[31]。這五種平衡性的概念是張應山教授根據(jù)中國傳統(tǒng)的“陰陽五行”理論作為基礎，結合東方整體思維模式，創(chuàng)造性提來的多邊矩陣理論的一部分理論應用[31]。于此同時通過研究證明了廣義正交表具有相遇平衡性和正交平衡性的特性，所以廣義正交表就能夠成為解決正交分解問題的最基本設計。廣義正交表可以保證其矩陣象具有正交性，因此通過使用廣義正交表的方式獲得的試驗數(shù)據(jù)，在基于廣義正交表的矩陣象的條件下進行數(shù)據(jù)分析，其得到的結論同時具有客觀一致性和重復出現(xiàn)性，也就是結論具有再現(xiàn)性。

關于對稱分解來講，其平衡性只具有一種：對稱置換不變性[30]。本文證明了只要廣義對稱表具有對稱置換不變性，那么廣義對稱表就是解決對稱分解問題的最基本設計。在正交冪等系統(tǒng)的幫助下，它可以保證其對稱矩陣象具有正交性。因而利用廣義對稱表獲得的試驗數(shù)據(jù)，基于廣義對稱表的矩陣象進行數(shù)據(jù)分析，其數(shù)據(jù)分析結論具有再現(xiàn)性。

4 結論

本文提出了廣義對稱表的矩陣象定義，闡述了根據(jù)對稱矩陣象，其得的數(shù)據(jù)分析結論是有再現(xiàn)性的結論性概念，同時給出了一種構造方法。這種構造方法對之前文獻提出的廣義對稱表構造法的進一步延伸，是關于廣義對稱表矩陣象的構造方法。又因為廣義對稱表矩陣象的概念與中國古典傳統(tǒng)文化中的象數(shù)學概念同根同源，雙方有著密不可分的聯(lián)系，所以對廣義對稱表矩陣象問題的研究，其實也是對中國古典傳統(tǒng)文化的象數(shù)學問題進行一定的研究，兩者相輔相成，可以相互促進各自研究的發(fā)展，相互借鑒其研究成果。因而，本系列論文是以研究廣義對稱表矩陣象理論的推廣和實際應用作為研究的重要目的，對關于廣義對稱表方面的問題進行一系列的研究分析，著力推動廣義對稱表相關的理論和成果的應用。