李朝剛 汪茂勝 方泉 彭雪城 黃萬(wàn)霞

(安徽師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院, 安徽省光電材料科學(xué)和技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 蕪湖 241002)

1 引 言

在物理學(xué)中, 模式間的非線性耦合是調(diào)節(jié)振子體系屬性的一個(gè)重要手段.與單模非線性體系相比, 兩?；蚨嗄７蔷€性耦合的復(fù)雜體系展現(xiàn)出了更多的迷人屬性[1?4], 特別是模間耦合可以在這些體系中產(chǎn)生出“雜化”模(“dressed”mode), 而它們可以有效修改整個(gè)體系的屬性, 導(dǎo)致各種各樣的有趣現(xiàn)象和應(yīng)用.2004 年Cross 等[5]對(duì)非線性頻率牽引引起的無(wú)功耦合系統(tǒng)的同步進(jìn)行了解析建模, 證明耦合非線性納米機(jī)械諧振器系統(tǒng)可以通過(guò)其頻率與振蕩振幅的關(guān)系自同步到一個(gè)公共頻率.2010 年Westra 等[6]研究微諧振器中多模耦合的詳細(xì)實(shí)驗(yàn)特征.非線性耦合允許使用任意彎曲模態(tài)作為另一模態(tài)振幅的自探測(cè)器, 提出了一種測(cè)量存儲(chǔ)在特定諧振模態(tài)中的能量的方法.2014 年P(guān)eng 等[7]研究了耦合光學(xué)諧振腔中的PT 對(duì)稱(chēng)破缺, 研究結(jié)果可能導(dǎo)致新一代合成光學(xué)系統(tǒng)的出現(xiàn), 使芯片上的操作和控制光的傳播成為可能.2016 年Zhou 和Chong[8]對(duì)基于耦合微腔的非線性光隔離器的非線性動(dòng)力學(xué)進(jìn)行了理論研究, 研究結(jié)果表明, 存在增益飽和的非線性系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性邊界與潛在線性系統(tǒng)的PT 對(duì)稱(chēng)破缺躍遷之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系, 利用這一對(duì)應(yīng)關(guān)系可以實(shí)現(xiàn)一種主動(dòng)控制的非線性光隔離器, 在這種隔離器中, 強(qiáng)光隔離器可以通過(guò)諧振腔間隔的微小變化來(lái)開(kāi)啟和關(guān)閉.2017 年Abdollahi[9]研究在存在瞬態(tài)和非瞬態(tài)非線性情況下, 單個(gè)及耦合微環(huán)諧振器的非線性動(dòng)力學(xué), 建立了基于微環(huán)諧振器能量耦合和功率耦合的方法來(lái)分析和研究微環(huán)諧振器系統(tǒng)中各種類(lèi)型的不穩(wěn)定性, 包括雙穩(wěn)定性、自脈動(dòng)和倍周期振蕩,這一研究結(jié)果為實(shí)現(xiàn)實(shí)際集成光學(xué)器件奠定了基礎(chǔ).同年, Bernard 等[10]報(bào)告了在芯片集成微諧振腔內(nèi)的Fano 諧振腔的完全模式交叉的建模、 仿真和實(shí)驗(yàn)演示, 當(dāng)腔耦合光泵被材料部分吸收時(shí), 通過(guò)非線性熱光學(xué)調(diào)諧實(shí)現(xiàn)共振線形狀的連續(xù)重塑,利用這種可調(diào)性來(lái)不斷探索表現(xiàn)出非對(duì)稱(chēng)Fano 相互作用的不同族準(zhǔn)簡(jiǎn)并模之間的耦合.同年,Assawaworrarit 等[11]提出理論并進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)證明,PT 對(duì)稱(chēng)電路包含一個(gè)非線性增益飽和元件提供魯棒的無(wú)線功率傳輸.2018 年Sarma 和Sarma[12]證明了在由庫(kù)侖相互作用耦合的兩個(gè)弱非線性機(jī)械諧振器系統(tǒng)中可以實(shí)現(xiàn)聲子封鎖.2019 年Yao等[13]通過(guò)感應(yīng)線圈耦合實(shí)現(xiàn)了兩個(gè)非線性電路之間的同步, 電感耦合有利于實(shí)現(xiàn)兩個(gè)混沌Chua 系統(tǒng)的同步.同年Ding 等[14]在塵埃等離子體中觀察到非線性模態(tài)耦合和內(nèi)部共振, 在內(nèi)部共振開(kāi)始時(shí)激發(fā)水平運(yùn)動(dòng).2020 年Zheng 等[15]介紹了一種基于非線性頻移的高真空光懸浮納米顆粒位置、質(zhì)量和密度測(cè)量方法.能夠以微小的偏差來(lái)控制懸浮振蕩器的振幅, 并利用精確的非線性頻移測(cè)量來(lái)進(jìn)行高精度校準(zhǔn).與此同時(shí), 對(duì)于幾種可以近似解析求解的非線性方程的研究也陸續(xù)出現(xiàn), 如非線性杜芬耦合方程[16?19]、非線性馬修耦合方程[20?23]等.尤其是經(jīng)常遇到的杜芬耦合方程, 更是一度被人們關(guān)注.對(duì)于杜芬耦合方程, 一般是采用先求解線性方程的本征模, 耦合方程的試探解是本征模的線性疊加, 利用久期微擾理論, 在某些近似條件下, 杜芬耦合方程退化為兩個(gè)解耦的方程, 但是這種求解過(guò)程過(guò)于繁雜.本文基于二階微分方程的彈簧振子模型可以退化為一階微分方程的耦合模理論(coupled mode theory, CMT)的工作[24], 首先將二階耦合杜芬方程化為一階微分方程, 然后對(duì)線性部分做表象變換, 同時(shí)結(jié)合非線性部分的久期微擾理論, 得到一階解耦的方程.最后為了驗(yàn)證理論的正確性,實(shí)施了彈簧連接的音叉耦合實(shí)驗(yàn), 研究結(jié)果表明理論模型和實(shí)驗(yàn)結(jié)果符合得很好.該研究對(duì)非線性理論推廣到光、電耦合體系及不同領(lǐng)域的交叉耦合體系有一定的指導(dǎo)意義.

2 從耦合的杜芬方程到兩個(gè)解耦的CMT

2.1 二階耦合方程化為一階耦合方程

從兩個(gè)音叉耦合體系入手建立體系的動(dòng)力學(xué)方程.設(shè) m1和 m2分別為兩個(gè)音叉的等效質(zhì)量, 為了方便, 研究的兩個(gè)音叉近似相同, 故質(zhì)量可以統(tǒng)一設(shè)為m, x1和 x2分別為兩音叉的橫向位移,α1和 α2為立方非線性系數(shù), 即著名的杜芬非線性系數(shù), ω1, ω2分別是兩個(gè)音叉的固有頻率, gD1(t) 和gD2(t)分別表示為驅(qū)動(dòng)力驅(qū)動(dòng)振子1 和振子2, 其中 D =ξ/m,ξ 為彈簧的硬度系數(shù), Q1, Q2分別是兩個(gè)音叉的品質(zhì)因子, 如圖1(a)所示.

杜芬非線性效應(yīng)的理論研究可以使用久期微擾理論來(lái)研究, 該系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程[25]為:

其中 i2=?1 , ω0為頻率參考點(diǎn), Aj(T) 為隨時(shí)間慢變的復(fù)振幅,是高階小量, 考慮到有

圖1 雙模耦合體系的相關(guān)參數(shù)示意圖 (a)非線性振子模型; (b)解耦的CMTFig.1.Parameters’ schematic diagram of two-mode coupled system: (a) Nonlinear oscillator model; (b) decoupled CMT.

其中為了討論方便, 取 ω0=ω1.方程(1)和(2)可改寫(xiě)為[24]:

方程(6)和(7)可以寫(xiě)成矩陣形式:

方程組(8)是耦合的一階微分方程組, 將輸入信號(hào)用輸入端口和傳輸損耗來(lái)替代, 方程組(8)就退化為CMT 的動(dòng)力學(xué)方程[26].在此, 為了便于與文獻(xiàn)[25]的結(jié)論進(jìn)行比較, 輸入信號(hào)表達(dá)形式保持不變, 不失普遍性, 仍稱(chēng)方程組(8)為CMT.

2.2 相似矩陣的計(jì)算

將方程組(8)右邊第一項(xiàng)做對(duì)角化:

求得其本征值為

其中 ω[I]([I]=I,II) 是對(duì)耦合方程中線性部分的矩陣方程進(jìn)行對(duì)角化得到的“雜化”模[I]本征圓頻率, 其中=(ω1+ω2)/2 , δ =(ω2?ω1)/2 ,=其本征矢為:

2.3 線性項(xiàng)的相似變換

聯(lián)立(13)式, 很容易得到基矢、回復(fù)力和相互作用項(xiàng)、外界輸入項(xiàng)以及阻尼項(xiàng)在“雜化”表象中的表示:

其中對(duì)于兩個(gè)很接近的共振子體系, 有 γ1≈γ2, 經(jīng)過(guò)計(jì)算, 非對(duì)角元項(xiàng)趨近0.因此以(eI, eII)為基矢的表象稱(chēng)為簡(jiǎn)正模表象.

2.4 非線性項(xiàng)的變換

由于非線性項(xiàng)不滿(mǎn)足相似變換, 為了實(shí)現(xiàn)非線性項(xiàng)的變換, 設(shè)

其中粗體部分表示的是矢量, AI和 AII表示振動(dòng)模等效位移, 它是隨時(shí)間慢變的.因子 1 /2 的引入是因?yàn)閷?shí)部是物理偏移.將(18)式代入(1)式和(2)式非線性項(xiàng), 計(jì)算可得

根據(jù)量子力學(xué)中矢量向基矢投影, 就可以得到標(biāo)量方程, 用乘以(20)式兩邊, 可以得到非線性項(xiàng)對(duì)第 I 個(gè)本征矢的貢獻(xiàn):

2.5 兩個(gè)獨(dú)立的一階微分方程

聯(lián)立(14)式—(17)式和(21)式可得

其中,

方程組(22)與文獻(xiàn)[25]給出的結(jié)果完全相同.

設(shè)方程(22)的解為

將(23)式代入方程(22), 解得

由(24)式和(25)式可得:

若 βI≈βII～0 , 上面兩個(gè)模式是完全獨(dú)立的, (26)式和(27)式可以分別擬合實(shí)驗(yàn)測(cè)量的兩個(gè)振動(dòng)峰.

3 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)、實(shí)驗(yàn)測(cè)量及理論解釋

為了驗(yàn)證理論的正確性, 做了音叉耦合實(shí)驗(yàn),兩個(gè)共振頻率接近的型號(hào)為DH4615 的音叉1 和2(簡(jiǎn)稱(chēng)F1 和F2)通過(guò)兩根勁度系數(shù)為k 的彈簧連接起來(lái), 兩個(gè)型號(hào)FD-VR-A 的受迫振動(dòng)與共振實(shí)驗(yàn)儀, 簡(jiǎn)稱(chēng)為R1 和R2.用一根導(dǎo)線將F2 的驅(qū)動(dòng)線圈與R2 的信號(hào)源連接起來(lái), 用另一根導(dǎo)線將F2 的探測(cè)線圈與R2 的電路輸入端連接起來(lái), 因此R2 即充當(dāng)驅(qū)動(dòng)源又充當(dāng)接受器.用一根導(dǎo)線將音叉1(F1)的探測(cè)線圈的輸出端與R1 的電路輸入端連接起來(lái), 因此R1 只充當(dāng)接受器, 如圖2(a)所示.圖2(b)為兩根音叉耦合的局部放大圖.尺寸為0.8 mm×8.0 mm×100.0 mm 的兩個(gè)彈簧將兩根音叉連接起來(lái), 兩根彈簧的兩端用吸鐵石將其固定在音叉臂的對(duì)稱(chēng)位置.為了使兩個(gè)臂的質(zhì)量接近相等, 分別在兩個(gè)音叉的另一個(gè)臂的相應(yīng)位置, 加上一個(gè)配重的等質(zhì)量的吸鐵石.調(diào)節(jié)低頻信號(hào)發(fā)生器上的輸出信號(hào)頻率, 將輸出頻率從小往大處調(diào)節(jié),找到此時(shí)的共振振幅最大值, 也即交流電壓表示數(shù)的最大值, 調(diào)節(jié)驅(qū)動(dòng)信號(hào)強(qiáng)度, 使譜線具有一個(gè)最佳的信噪比.記錄每一步的輸出頻率以及對(duì)應(yīng)的交流電壓表的示數(shù)值.此為耦合情況下音叉系統(tǒng)振幅譜的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).隨后, 去掉彈簧和R1, 分別用R2測(cè)量F1 和F2 單獨(dú)存在的振幅譜.

圖2 (a)音叉耦合實(shí)驗(yàn)測(cè)量系統(tǒng); (b)耦合音叉的放大圖Fig.2.(a) Tuning fork coupling experimental measurement system; (b) enlarged view of coupled tuning fork.

圖3 (a)中藍(lán)色方形代表F1 的實(shí)驗(yàn)測(cè)量振幅譜, 紅色圓圈代表F2 的實(shí)驗(yàn)測(cè)量振幅譜, 從圖中可以看出, F1 的固有頻率為 2 43.5 Hz , F2 的固有頻率為 2 45 Hz , 兩個(gè)模式的頻率差為 1.5 Hz.圖3(b)中藍(lán)色圓圈代表R2 的頻率由低到高測(cè)量的振幅譜(簡(jiǎn)稱(chēng)為升頻譜), 而紅色方框代表R2 的頻率由高到低測(cè)量的振幅譜(簡(jiǎn)稱(chēng)為降頻譜).從圖中可以看出: 1)無(wú)論是升頻譜還是降頻譜, 都是兩個(gè)明顯的峰, 升頻譜一個(gè)位于 2 30 Hz , 另一個(gè)位于 2 40.6 Hz ,而降頻譜一個(gè)位于 2 30 Hz , 另一個(gè)位于 2 39.1 Hz ;2)在 2 36 和 2 43 Hz 頻率區(qū)間內(nèi)升頻譜和降頻譜明顯不同, 并且高頻模式對(duì)應(yīng)的升頻峰和降頻峰相差1.5 Hz , 即在該波段升頻譜和降頻譜形成了明顯的回線, 稱(chēng)為振滯回線.

眾所周知, 一個(gè)受迫振動(dòng)的音叉就是一個(gè)被激發(fā)的模式, 可以用單模CMT 研究[24,27,28], 其中傳輸效率為

其中 γej,γoj,ωj(j =1,2) 分別表示第j 個(gè)模式的傳輸損耗、內(nèi)部歐姆損耗以及固有圓頻率.圖3(a)中藍(lán)色實(shí)線表示用(28)式對(duì)F1 的實(shí)驗(yàn)譜擬合的結(jié)果, 紅色虛線代表F2 的擬合譜, 相應(yīng)的擬合參數(shù)分 別 為 γe1=0.2,γo1=0.2,ω1=243.4,γe2=0.18 ,γo2=0.2,ω1=244.95 , 單位為 2 π Hz.因此無(wú)耦合理論中的圓頻率與音叉共振圓頻率相對(duì)應(yīng).為了研究振滯回線的來(lái)源機(jī)制, 用(26)式和(27)式對(duì)實(shí)驗(yàn)譜進(jìn)行擬合, 如圖3(b)所示.圖3(b)中的墨綠色實(shí)線是理論擬合譜, 相關(guān)擬合參數(shù)為 ωI=230 ,γI=0.7, ωII=242.2 , γII=0.6 , 單位都是 2 π Hz.與入射源相關(guān)的擬合參數(shù)為|gDI(t)/ω1|=0.17 ,|gDII(t)/ω1|=0.12 , 它們的單位都是 m /s.與立方杜芬系數(shù)相關(guān)的擬合系數(shù)為αI=?1300,βI=0,αII=?2000,βII=0 , 單位是 N /m3.圖3(b)中黑色豎直虛線為分別過(guò)升頻譜的最高點(diǎn)和降頻譜的最高點(diǎn)向下做的垂線, 根據(jù)杜芬非線性理論, 在兩條黑色虛線之間是非線性不穩(wěn)定區(qū)域, 從圖3(b)中可以看出理論和實(shí)驗(yàn)相符.在遠(yuǎn)離共振位置的理論和實(shí)驗(yàn)的差異, 一方面來(lái)源于理論研究近共振情況, 即解析表達(dá)式來(lái)源于共振處的近似, 另一方面來(lái)源于忽略了 β 的作用.通過(guò)擬合參數(shù)可以看出,立方杜芬系數(shù)越大, 振滯回線越明顯.

圖3 (a)單個(gè)音叉振動(dòng)時(shí)的實(shí)驗(yàn)振幅譜和擬合譜; (b)兩個(gè)音叉耦合時(shí)的實(shí)驗(yàn)振幅譜和擬合譜Fig.3.(a) Experimental amplitude spectrum and fitting spectrum of single tuning fork vibration; (b) experimental amplitude spectrum and fitting spectrum of two tuning fork coupling.

4 結(jié) 論

理論上用久期微擾理論和表象變換, 將二階耦合杜芬方程組退化為兩個(gè)退耦合一階微分方程組,得到了模式振幅譜的表達(dá)式.隨后, 為了驗(yàn)證理論的正確性, 設(shè)計(jì)了彈簧連接的兩個(gè)音叉耦合實(shí)驗(yàn),研究表明理論很好地解釋了實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象.該研究對(duì)理論探究杜芬非線性現(xiàn)象有一定的指導(dǎo)意義, 也便于理論推廣到光電非線性耦合體系.

感謝王勤謀、石風(fēng)華以及張季謙等老師給予的有益討論.