華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 (200241) 李 洋 武漢大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 (430072) 周照杰

反函數(shù)是上海高中教材中比較重要的一個知識點，也經(jīng)常出現(xiàn)在上海高考的壓軸題位置．本文對2020年上海春考數(shù)學(xué)試題第12題進(jìn)行展開，分析y=f(x)與其反函數(shù)y=f-1(x)的圖象交點個數(shù)與交點位置問題，并在此基礎(chǔ)上討論高中階段比較重要的兩類函數(shù)指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)與其反函數(shù)對數(shù)函數(shù)y=logax的圖象交點問題．

1 試題呈現(xiàn)

評析：縱觀近幾年上海高考數(shù)學(xué)試題，小題的壓軸題經(jīng)常涉及對學(xué)生分析與轉(zhuǎn)化問題能力的考查．第12題和第16題一般以動靜結(jié)合的題目為多，?？疾榛緢D形的平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等基本運動形式，這就需要學(xué)生把握好運動過程中的臨界情況(即靜止?fàn)顟B(tài))．本題作為壓軸題呈現(xiàn)，考察原函數(shù)與反函數(shù)所組成方程的解的問題，要是直接代數(shù)求解，無疑增加了問題的運算且難以處理．這就需要我們熟悉原函數(shù)與反函數(shù)的一些基本性質(zhì)．

2 基本性質(zhì)

引理1y=f(x)與其反函數(shù)y=f-1(x)的圖象關(guān)于直線y=x對稱．

引理2 若y=f(x+a)存在反函數(shù)，則其反函數(shù)為y=f-1(x)-a(有興趣的讀者可以查閱2009年上海高考數(shù)學(xué)試題(理科)第22題)．

性質(zhì)1 若y=f(x)在其定義域上為連續(xù)函數(shù)，則y=f(x)與其反函數(shù)y=f-1(x)的圖象存在交點的充要條件是y=f(x)的圖象與直線y=x有交點．

證明：(充分性)充分性是顯然的，下面我們證明必要性．

(必要性)設(shè)點P(a,b)是y=f(x)與y=f-1(x)的圖象的交點．①若a=b，則命題顯然成立．②若a≠b，則由點P(a,b)在y=f-1(x)的圖象上知點P′(b,a)在y=f(x)的圖象上，所以f(a)=b、f(b)=a．令g(x)=f(x)-x，則為連續(xù)函數(shù)，不妨設(shè)a0，g(b)=f(b)-b=a-b<0．由零點定理得?ε∈(a,b)，使得g(ε)=0，即f(ε)=ε，命題成立．

性質(zhì)2 若y=f(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，且與其反函數(shù)y=f-1(x)圖象相交，則其交點一定在直線y=x上．

證明：(反證法)假設(shè)y=f(x)與y=f-1(x)的圖象的交點P(a,b)不在直線y=x上，則a≠b，不妨設(shè)a

利用上面性質(zhì)，我們回到例1的解答．

性質(zhì)3 若y=f(x)為單調(diào)遞減函數(shù)，且與其反函數(shù)y=f-1(x)圖象相交，則交點不一定在直線y=x上．具體地說，在y=x上的交點至多只有一個，若在y=x外有交點，則成對出現(xiàn)且關(guān)于直線y=x對稱．

推論若y=f(x)為單調(diào)遞減的連續(xù)函數(shù)，且與其反函數(shù)y=f-1(x)圖象相交，則在直線y=x上的交點有且只有一個．

證明：結(jié)合性質(zhì)1和性質(zhì)3可以直接證明．

3 簡單應(yīng)用

指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y=logax是互為反函數(shù)的一對函數(shù)，在我們常見的圖象中，它們一般如圖1所示．當(dāng)01時，沒有交點．那么，它們的圖象有沒有其他情況，我們先看一道例題．

(1)01

A.PB.QC.MD.N

3.1 0

當(dāng)0

我們先求函數(shù)y=ax與其反函數(shù)y=logax相切時a的值．

3.2 a>1時的交點問題

當(dāng)a>1時，指數(shù)函數(shù)y=ax在定義域R上是單調(diào)遞增的．由性質(zhì)2知，其交點一定在y=x上，這里只須考慮y=ax與y=x的交點問題．

3.3 小結(jié)

綜上，指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)與反函數(shù)y=logax圖象交點情況如表1．

表1

4 類題訓(xùn)練

針對例1，筆者找到了兩道類似的題目供大家思考．

A．0 B．2 C．4 D．前三個答案都不對

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