福建省漳州第一中學 (363000) 黎碧娟福建省福清市教師進修學校 (350300) 林新建

把數(shù)量關系的研究轉化為圖形性質的研究，或者把圖形性質的研究轉化為數(shù)量關系的研究，這種解決問題過程中“數(shù)”與“形”相互轉化的研究策略，就是數(shù)學中的數(shù)形結合思想.數(shù)形結合思想讓“數(shù)”的抽象與“形”的直觀結合，使問題的解決既直觀又“入微”. 當然，更多的時候需要以“形”的生動和直觀認識“數(shù)”，幫助數(shù)量關系的建立，將問題簡單予以解決.所以教學中教師要認真設計圖形認知活動，讓學生經(jīng)歷圖形的認知過程，這個認知過程至少應該包括：這個問題涉及了什么圖形？這個圖形的特征是什么？能否基于這個特征將問題簡化求解？通過上述過程，學生充分經(jīng)歷對圖形的感知、表征、結構分析、尋找策略、形成計劃、實施計劃等認知活動和反思總結等元認知活動，不僅輕松將問題予以解決，而且有效地培養(yǎng)和發(fā)展起數(shù)學的核心素養(yǎng).本文以全國卷高考試題為例，就設計圖形認知活動在培養(yǎng)和發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)上的意義與作用作一闡釋，以饗讀者.

1 設計“位置關系”認知活動，發(fā)展數(shù)學抽象、數(shù)學運算素養(yǎng)

設計“位置關系”認知活動，對題設給出的圖形中的點線位置關系進行識別，進而借助位置關系將問題輕松予以解決.

例1 (2009年高考新課標Ⅰ卷理科第9題)已知直線y=x+1與曲線y=ln(x+a)相切，則a的值為( ).

A．1 B．2 C.-1 D．-2

解析：本題不是很難，但按常規(guī)方法求解需要一定的時間，若能基于圖形中的位置關系予以求解，問題瞬間獲解，根本不必運算.為此，教學中應設計“位置關系”認知活動，這些活動過程包括：

問題1：題中涉及的是什么圖形？

問題2：這個圖形中的直線與曲線的位置關系怎樣？

問題3：能否基于這個位置關系將問題簡化求解？

通過問題1和2，引領學生“從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結構”，明了曲線y=lnx在直線y=x的下方，所以曲線y=ln(x+1)在直線y=x+1的下方，而曲線y=ln(x+a)是變動的.通過問題3，引領學生“借助空間認識事物的位置關系、形態(tài)變化與運動規(guī)律，利用圖形描述、分析數(shù)學問題”，明了欲使曲線與直線y=x+1相切，曲線y=ln(x+1)須向左平移，結合選項知正確答案為B.

評析：在上述活動中，學生經(jīng)歷了“從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結構”，以及“借助空間認識事物的位置關系、形態(tài)變化與運動規(guī)律，利用圖形描述、分析數(shù)學問題”的完整過程，無疑，數(shù)學抽象、直觀想象等核心素養(yǎng)得到了培養(yǎng)和發(fā)展.

2.設計“運動軌跡”認知活動，發(fā)展邏輯推理、數(shù)學建模素養(yǎng)

設計“運動軌跡”認知活動，對題設給出圖形中的運動軌跡進行辨別，進而借助運動軌跡將問題輕松予以解決.

A．a(chǎn)2+b2≤1 B．a(chǎn)2+b2≥1

解析：本題按常規(guī)方法求解似乎無從下手，若能辨別出點M的運動軌跡，問題可轉化而輕松獲解.為此，教學中應設計“運動軌跡”認知活動，這些活動過程包括：

問題1：題中涉及的是什么圖形？

問題2：這個動點的軌跡是什么？

問題3：能否基于這個運動軌跡將問題簡化求解？

評析：在上述活動中，學生經(jīng)歷了“借助空間認識事物的位置關系、形態(tài)變化與運動規(guī)律”，進而“利用圖形描述、分析數(shù)學問題，建立形與數(shù)的聯(lián)系，探索解決問題的思路”的完整過程，無疑，邏輯推理、直觀想象等核心素養(yǎng)得到了培養(yǎng)和發(fā)展.

3.設計“結構特征”認知活動，發(fā)展直觀想象、數(shù)學建模素養(yǎng)

設計“結構特征”認知活動，對題設給出圖形中的結構特征進行推斷，進而借助結構特征將問題輕松予以解決.

例3 (2017年福建高三畢業(yè)質檢理第10題)空間四邊形ABCD的四個頂點都在同一球面上，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，且EF⊥AB，EF⊥CD，若AB=8，CD=EF=4，則該球的半徑等于( ).

解析：本題需要對四邊形ABCD的結構特征作推斷才能判斷出球心O的位置，進而將問題有效予以求解.為此，教學中應設計“結構特征”認知活動，這些活動過程包括：

問題1：題中涉及的是什么圖形？

問題2：這個圖形的結構特征怎樣？

問題3：能否基于結構特征將問題求解？

通過問題1和2，引領學生“從數(shù)量與數(shù)量關系、圖形與圖形關系中抽象出一般規(guī)律和結構”，明了直線EF是線段AB的中垂線，也是線段CD的中垂線，由此感知線段EF上的任意一點到A、B兩點的距離相等，到C、D兩點的距離也相等.

評析：在上述活動中，學生經(jīng)歷了“從數(shù)量與數(shù)量關系、圖形與圖形關系中抽象出一般規(guī)律和結構”，以及“借助空間認識事物的位置關系、形態(tài)變化與運動規(guī)律”和“利用圖形描述、分析數(shù)學問題，建立形與數(shù)的聯(lián)系”的完整過程，無疑，數(shù)學抽象、直觀想象等核心素養(yǎng)得到了培養(yǎng)和發(fā)展.

數(shù)學核心素養(yǎng)是一種內在的思維品質和能力，它很難直接地被觀察，只有將這種內在的思維品質和能力轉化為外在的行為時，教師才能觀察到學生數(shù)學素養(yǎng)形成和發(fā)展的情況.教師在教學設計時，要將數(shù)學素養(yǎng)同具體的情境與問題相連，通過創(chuàng)設不同的解題認知活動，讓學生在日積月累的數(shù)學學習中，不斷地進行“數(shù)學認知”，積累數(shù)學活動的經(jīng)驗，才能切實有效地培養(yǎng)起他們的數(shù)學核心素養(yǎng).