余 波，凌干展，范志宏，楊綠峰

(1. 廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院，廣西，南寧 530004；2. 中交四航工程研究院有限公司，廣東，廣州 510230；3. 廣西大學(xué)工程防災(zāi)與結(jié)構(gòu)安全教育部重點實驗室，廣西，南寧 530004；4. 廣西防災(zāi)減災(zāi)與工程安全重點實驗室，廣西，南寧 530004)

受氯離子濃度梯度的作用，海洋環(huán)境中的氯離子不斷地向混凝土內(nèi)部擴散。當鋼筋表面的氯離子濃度達到臨界氯離子濃度時，鋼筋表面的鈍化膜就會發(fā)生破壞，從而引起鋼筋銹蝕、混凝土開裂等耐久性劣化問題[1?4]。因此，準確分析混凝土中氯離子的擴散過程和濃度分布規(guī)律，對于混凝土結(jié)構(gòu)的耐久性分析與設(shè)計具有重要意義。

為了合理描述混凝土中氯離子的濃度分布規(guī)律，國內(nèi)外學(xué)者建立了氯離子擴散分析的各種解析模型[5?10]。解析模型基于Fick 第二定律，通過理論推導(dǎo)建立氯離子濃度分布與暴露時間、氯離子擴散系數(shù)和表面氯離子濃度等參數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系，但是解析模型只適用于規(guī)則的邊界條件和幾何外形情況，而且當表面氯離子濃度和氯離子擴散系數(shù)具有時變性時處理比較復(fù)雜[8]，實際工程應(yīng)用受到限制。為了克服上述缺陷，國內(nèi)外學(xué)者建立了氯離子擴散分析的多種數(shù)值模型。其中，文獻[11 ? 13]利用中心差分法來求解微分方程組，建立了混凝土中氯離子常擴散有限元模型，由于中心差分法對于氯離子擴散過程是有條件穩(wěn)定的，導(dǎo)致該模型的計算精度和數(shù)值穩(wěn)定性較差；針對該問題，文獻[14]基于Taylor 級數(shù)展開技術(shù)，利用精細積分法來求解微分方程組，在一定程度上解決了中心差分法所存在的缺陷，但是上述模型均忽略了氯離子擴散系數(shù)的時變特性[15?17]，導(dǎo)致無法準確分析混凝土中氯離子的濃度分布規(guī)律。對此，文獻[18 ? 19]考慮氯離子擴散系數(shù)的時變性，建立了基于有限差分法的氯離子時變擴散有限元模型；文獻[20]在有限差分法的基礎(chǔ)上引入威爾遜常數(shù)，提出了基于直接積分法的氯離子時變擴散有限元模型。通過分析發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)有的氯離子擴散分析數(shù)值模型存在以下缺陷：首先，采用一致協(xié)調(diào)濃度矩陣來計算有限元方程，導(dǎo)致計算結(jié)果往往出現(xiàn)振蕩和負值等問題，數(shù)值穩(wěn)定性難以保證；其次，采用Taylor 級數(shù)展開技術(shù)來求解有限元微分方程組，導(dǎo)致對尺度因子的依賴程度較大，難以兼顧計算精度和效率。因此，有必要研究建立一種能夠有效兼顧計算精度、效率和數(shù)值穩(wěn)定性的氯離子時變擴散有限元模型。

鑒于此，本文首先將氯離子的時變擴散控制方程變換為等效常擴散控制方程，然后建立了基于集中濃度矩陣的氯離子時變擴散有限元模型，進而結(jié)合Padé級數(shù)展開技術(shù)，提出了基于集中濃度矩陣和精細積分法的氯離子時變擴散有限元模型，并通過與傳統(tǒng)有限元模型、解析模型和自然暴露試驗數(shù)據(jù)的對比分析，驗證了該模型的有效性。

1 氯離子時變擴散的控制方程

考慮氯離子擴散系數(shù)的時變特性，混凝土中氯離子一維擴散的控制方程可以描述為[5,21]：

圖 1 氯離子擴散的邊界條件Fig. 1 Boundary conditions of chloride diffusion

圖 2 氯離子擴散系數(shù)的時變特性Fig. 2 Time-varying behavior of chloride diffusion coefficient

2 基于 LCM 和 PTIM 的氯離子時變擴散有限元模型

3 對比驗證分析

3.1 基于現(xiàn)場試驗數(shù)據(jù)的驗證分析

利用文獻[27 ? 31]中海洋潮汐區(qū)的自然暴露試驗數(shù)據(jù)，對比驗證本文提出的基于集中濃度矩陣和精細積分法的氯離子時變擴散模型的有效性?；炷猎嚰某叽鐬?00 mm×200 mm×200 mm，混凝土試塊在澆筑后24 h 進行脫模處理并進行養(yǎng)護，在海洋潮汐環(huán)境自然暴露2 a～10 a 后對混凝土試件進行鉆芯取樣，得到直徑分別為50 mm[27,30?31]和100 mm[28?29]的芯樣，通過分層取樣(每層10 mm厚)，測試得到混凝土中的氯離子濃度分布數(shù)據(jù)。

首先利用暴露時間為2 a～4 a 的混凝土中氯離子濃度分布數(shù)據(jù)，通過非線性回歸分析擬合確定3 個模型參數(shù)，包括初始氯離子擴散系數(shù)、齡期衰減系數(shù)和混凝土表面氯離子濃度，見表1。然后基于所擬合的模型參數(shù)，利用本文提出的基于集中濃度矩陣和精細積分法的氯離子時變擴散有限元模型(簡記為LCM)和基于一致協(xié)調(diào)濃度矩陣的氯離子時變擴散有限元模型(簡記為CCM)，分別預(yù)測暴露時間為4 a、5 a、7 a 和10 a 時混凝土內(nèi)部的氯離子濃度分布情況，并與自然暴露試驗數(shù)據(jù)(簡記為TD)進行對比分析，見表2 和表3。由表2和表3 可知，在不同的暴露時間、擴散深度、水膠比和粉煤灰摻量條件下，LCM 的計算結(jié)果與自然暴露試驗數(shù)據(jù)吻合較好，二者的相對誤差大部分控制在5%以內(nèi)，而CCM 的計算結(jié)果與自然暴露試驗數(shù)據(jù)的相對誤差大部分超過15%，甚至達到48%。由此可見，與CCM 相比，本文提出的LCM 的計算精度較高，具有較好的適用性。

表 1 不同類型混凝土的模型參數(shù)Table 1 Model parameters for different types of concrete

3.2 集中濃度矩陣的有效性分析

當暴露時間 t=10 a 、 D0=10×10?12m2/s ，n分別取 0.2、0.4 和 0.6 時，CCM 和 LCM 計算得到的氯離子濃度及其與AM 的相對誤差見表5。由表5 可知，隨著擴散深度x 和齡期衰減系數(shù) n的增加，CCM 與AM 的相對誤差逐漸增大，當n=0.6和x=50 mm 時，二者的相對誤差超過55%；對于不同的擴散深度x 和齡期衰減系數(shù) n，LCM 與AM 的相對誤差均小于0.5%，說明LCM 具有較高的計算精度。由此可見，與傳統(tǒng)的一致協(xié)調(diào)濃度矩陣相比，本文提出的集中濃度矩陣具有更高的計算精度。

表 2 模型計算值與試驗數(shù)據(jù)(I45)的對比分析Table 2 Comparison between calculated results and experimental data (I45)

表 3 模型計算值與試驗數(shù)據(jù)(I65)的對比分析Table 3 Comparison between calculated results and experimental data (I65)

表 4 初始氯離子擴散系數(shù)對CCM 和LCM 的計算精度的影響Table 4 Influence of initial chloride diffusion coefficient on computational accuracy of the CCM and the LCM

3.2.2 暴露時間和擴散深度的影響

下面分析暴露時間 t和擴散深度 x的不同取值對CCM 和LCM 計算精度的影響。當D0=4×10?12m2/s 和 n=0.6時，CCM、LCM 和 AM 計算的氯離子濃度分布如圖3 所示。

表 5 齡期衰減系數(shù)對CCM 和LCM 的計算精度的影響Table 5 Influence of aging factor on computational accuracy of the CCM and the LCM

圖 3 暴露時間和擴散深度對氯離子濃度分布的影響Fig. 3 Influences of exposure time and diffusion depth on distribution of chloride concentration

由圖3 可知，CCM 的計算結(jié)果會出現(xiàn)不同程度的振蕩，甚至出現(xiàn)負值，與氯離子濃度分布的實際情況不符；LCM 與AM 的計算結(jié)果吻合較好，且不存在振蕩和負值等數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象。由此可見，本文提出的集中濃度矩陣可以克服傳統(tǒng)一致協(xié)調(diào)濃度矩陣所存在的振蕩和負值等數(shù)值不穩(wěn)定性問題。

3.2.3 空間離散網(wǎng)格和時間步長的影響

下面分析空間離散網(wǎng)格 ?x 和時間步長 ?t 對CCM 和LCM 的計算精度的影響。當暴露時間t=10a 、D0=10×10?12m2/s 、 n=0.2、時間步長?t=0.1a ，空間離散網(wǎng)格 ?x分別取5 mm、10 mm和20 mm 時(圖中分別用X1、X2 和X3 表示)，CCM和LCM 與AM 的計算相對誤差如圖4(a)所示。由圖4(a)可知，隨著擴散深度 x 和空間離散網(wǎng)格?x的增加，CCM 與AM 之間的相對誤差逐漸增大，當?x=20 mm和x=60 mm 時，二者的相對誤差達到23%左右；隨著空間離散網(wǎng)格 ?x的減小，LCM與AM 之間的相對誤差逐漸減??；當x=60 mm，?x分別取 5 mm、10 mm 和 20 mm 時，CCM 與 AM 之間的相對誤差分別為5.54%、11.82%和23.50%，而LCM 與AM 之間的相對誤差分別為0.11%、0.30%和0.52%，說明當空間離散網(wǎng)格 ?x不大于20 mm時，LCM 的計算精度對空間離散網(wǎng)格 ?x的取值相對不敏感，且計算精度較高。

圖 4 空間離散網(wǎng)格和時間步長對計算精度的影響Fig. 4 Influences of meshed sizes of spatial grids and time steps on computational accuracy

當空間離散網(wǎng)格 ?x=10 mm 、時間步長 ?t分別取0.05 a、0.1 a 和0.5 a 時(圖中分別用A1、A2和 A3 表示)，CCM 和 LCM 與 AM 之間的計算相對誤差如圖4(b)所示。由圖4(b)所示，隨著擴散深度 x 和時間步長 ?t的增加，CCM 與AM 之間的相對誤差逐漸增大，當 ?t=0.5 a和x=60 mm 時，二者的相對誤差達到18%左右；隨著時間步長?t的減小，LCM 與解析模型之間的相對誤差逐漸減??；當x=60 mm，時間步長 ?t分別取0.05 a、0.1 a 和 0.5 a 時，CCM 與 AM 之間的相對誤差分別為7.02%、11.82%和18.21%，而LCM 與AM 之間的相對誤差分別為0.07%、0.25%和0.43%，說明當時間步長 ?t不大于0.5 a 時，LCM 的計算精度對時間步長 ?t的取值相對不敏感，且計算精度較高。

結(jié)合表4 和表5 以及圖3 和圖4 可知，本文提出的基于集中濃度矩陣的氯離子時變擴散有限元模型的計算結(jié)果與解析模型的計算結(jié)果較為吻合，具有較高的計算精度，且不存在振蕩和負值等數(shù)值不穩(wěn)定性問題，對空間離散網(wǎng)格和時間步長的依賴性相對較小，從而克服了傳統(tǒng)基于一致協(xié)調(diào)濃度矩陣的有限元模型所存在的缺陷。

3.3 Padé級數(shù)展開的有效性分析

表 6 尺度因子對Taylor 級數(shù)展開和Padé級數(shù)展開的計算精度的影響Table 6 Influences of scale factors on computational accuracy of Taylor series expansion and Padé series expansion

4 結(jié)論

結(jié)合伽遼金加權(quán)余量法和Padé級數(shù)展開技術(shù)，研究提出了一種基于集中濃度矩陣和精細積分法的氯離子時變擴散有限元模型。分析結(jié)果表明：

(1)與傳統(tǒng)的一致協(xié)調(diào)濃度矩陣相比，采用集中濃度矩陣不僅可以避免振蕩和負值等數(shù)值不穩(wěn)定性問題，而且對空間離散網(wǎng)格和時間步長的依賴性較小，可以同時兼顧計算精度、效率和數(shù)值穩(wěn)定性。

(2)當齡期衰減系數(shù)、初始氯離子擴散系數(shù)、擴散深度、暴露時間、空間離散網(wǎng)格和時間步長等參數(shù)取不同值時，傳統(tǒng)模型與解析模型之間的相對誤差變化較大，甚至超過50%，而本文模型的相對誤差均控制在0.5%以內(nèi)，說明本文模型的計算精度對上述參數(shù)的取值不敏感，計算精度較為穩(wěn)定。

(3)與傳統(tǒng)的Taylor 級數(shù)展開相比，采用Padé級數(shù)展開只需較小的尺度因子就可以保證計算精度，計算效率大幅提高。

(4)在本文模型的基礎(chǔ)上，可以進一步考慮表面氯離子濃度的時變性和氯離子多維擴散的影響，拓展本文模型的適用性，相關(guān)工作正在開展中。