袁煥鑫,陳曉婉,蔡繼生,杜新喜
(1. 武漢大學(xué)土木建筑工程學(xué)院巖土與結(jié)構(gòu)工程安全湖北省重點實驗室,湖北,武漢 430072;2. 中信建筑設(shè)計研究總院有限公司,湖北,武漢 430014)
不銹鋼材應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線是連續(xù)的非線性曲線,即隨著應(yīng)力的增大,材料的變形模量會逐漸減小[1?4]。這種非線性材料特性會使得不銹鋼構(gòu)件的剛度隨荷載的增大而逐漸降低,從而導(dǎo)致構(gòu)件的變形增大,結(jié)構(gòu)整體剛度下降。此外,受材料非線性影響,不銹鋼受彎構(gòu)件在荷載作用下,各截面抗彎剛度沿構(gòu)件縱向存在不同,同時應(yīng)力沿截面高度呈非線性分布,因此其撓度計算方法與普通鋼梁的計算存在較大差別。
目前,國內(nèi)外已有學(xué)者針對不銹鋼受彎構(gòu)件的非線性變形性能開展研究。Rasmussen 和Hancock[5]對冷成型不銹鋼方管和圓管截面梁開展四點彎曲加載試驗,提出了撓度近似計算方法;Mirambell和Real[6?7]等完成6 組不銹鋼簡支梁和連續(xù)梁試驗,包括工字形和箱形截面,并提出基于近似彎矩-曲率關(guān)系式的撓度計算方法。國內(nèi),王元清等[8?9]對不銹鋼焊接工字梁進行三點彎曲和四點彎曲試驗研究和有限元分析,提出不同荷載作用下簡支梁撓度近似計算公式;辛連春等[10]通過不銹鋼梁試驗研究,對現(xiàn)有撓度計算方法進行比較;鄭寶鋒等[11]基于有限元分析結(jié)果,提出另一種近似曲率的撓度計算方法。
在現(xiàn)行的不銹鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范中,歐洲規(guī)范EN 1993?1-4+A1[12],美國規(guī)范 SEI/ASCE 8?02[13]和澳大利亞/新西蘭規(guī)范AS/NZS 4673[14]均采用割線模量來確定不銹鋼梁非線性變形的簡化計算方法。中國CECS 410《不銹鋼結(jié)構(gòu)技術(shù)規(guī)程》[15]則采用近似曲率計算方法,但未直接給出不銹鋼梁截面屈服彎矩的計算表達式。
本文對5 根不銹鋼焊接工字形截面梁進行試驗研究和有限元數(shù)值模擬,對CECS 410 和Real-Mirambell 建議的近似曲率撓度計算方法進行比較分析。在此基礎(chǔ)上,提出不銹鋼梁截面屈服彎矩的簡化計算表達式,并考慮焊接殘余應(yīng)力對梁變形的影響,對現(xiàn)有公式進行修正,以期為中國《不銹鋼結(jié)構(gòu)技術(shù)規(guī)程》的修訂提供參考。
設(shè)計了5 根不銹鋼焊接工字形截面梁,其中3 根為奧氏體型S30408 試件,2 根為雙相型S22253試件。通過在梁跨中上翼緣施加集中荷載,進行三點彎曲加載試驗。試件的幾何形狀及加載方案如圖1 所示,實測幾何尺寸列于表1 中。所有試件均在跨中和兩端支座處設(shè)置支承加勁肋,防止發(fā)生局部壓曲。
圖 1 試件幾何形狀示意圖 /mmFig. 1 Geometric symbols of specimens
表 1 試件實測平均尺寸Table 1 Average measured dimensions of specimens
試件由國產(chǎn)熱軋不銹鋼板通過雙面角焊縫焊接形成。所選用的不銹鋼板材力學(xué)性能依據(jù)單軸拉伸試驗測得,試驗結(jié)果列于表2 中。其中σ0.2為材料的名義屈服強度,σu為材料極限抗拉強度,n 和m 為材料的應(yīng)變強化系數(shù)。
表 2 不銹鋼板材拉伸力學(xué)性能指標Table 2 Tensile material properties of stainless steel plates
試驗采用的三點彎曲加載裝置如圖2 所示。將梁兩端分別置于輥軸和三角鐵上,實現(xiàn)在試件主平面內(nèi)兩端簡支的約束條件。所有試件的端部用夾支支座進行約束,并在試件兩側(cè)設(shè)置側(cè)向支撐,以防止出現(xiàn)側(cè)向整體彎扭失穩(wěn)破壞。試件與側(cè)向支撐之間的接觸面涂抹潤滑劑,以盡可能消除側(cè)向支撐摩擦力的影響。
圖 2 試驗裝置Fig. 2 Test setup
試驗的測點布置方案如圖3 所示。在跨中加載塊上放置一個300 kN 壓力傳感器采集荷載數(shù)據(jù)。在試件跨中下翼緣和兩端支座處各布置一個激光位移傳感器(LDS),分別用來測定跨中豎向位移和兩端支座沉降。此外,在加載點兩側(cè)和試件四分點位置處的四個橫截面內(nèi)各布置9 個應(yīng)變測點記錄加載過程中應(yīng)變的發(fā)展狀態(tài)。
圖 3 測點布置方案Fig. 3 Instrumentation configuration
由試驗得到所有梁試件的荷載-跨中撓度曲線(F-Δ)如圖4 所示,其中撓度Δ 為跨中豎向位移減去試件兩端支座沉降的平均值。從圖4 可以看出,所有試件的F-Δ 曲線均展現(xiàn)出顯著的非線性特性。加載過程中,隨著荷載和變形的增加,跨中支承加勁肋兩側(cè)的受壓翼緣和腹板受壓區(qū)逐漸出現(xiàn)局部壓曲破壞。在臨近失效破壞時,跨中撓度迅速發(fā)展,F(xiàn)-Δ 曲線呈現(xiàn)明顯的平臺段,板件的局部鼓曲變形發(fā)展也更加明顯,最終的失效形態(tài)如圖5 所示。所有試件的極限承載力Fu及其對應(yīng)的跨中撓度 Δu列于表 3。試件 I-304-108-80 和 I-2205-98-60 的F-Δ 曲線在進入平臺段后均出現(xiàn)了荷載峰值,對應(yīng)的峰值撓度值為42.00 mm 和38.68 mm;試驗加載后期當跨中撓度進一步增大到60 mm 左右時,由于受壓翼緣和腹板受壓區(qū)發(fā)生屈曲,梁的抗側(cè)向變形剛度急劇下降,此時受到側(cè)向支撐的影響,梁試件僅出現(xiàn)了較小的側(cè)向彎扭變形,但F-Δ 曲線略有上升。
圖 4 荷載-跨中撓度曲線Fig. 4 Load versus mid-span deflection curves
圖 5 試件破壞形態(tài)Fig. 5 Failure modes of specimens
表 3 試驗和有限元分析結(jié)果Table 3 Experimental and numerical results
截面各板件局部屈曲會對梁變形產(chǎn)生明顯影響,根據(jù)試驗測得的應(yīng)變發(fā)展狀態(tài)進行分析。圖6和圖7 分別為試件I-2205-128-60 截面R-2 中應(yīng)變測點的荷載-應(yīng)變 (F-ε)曲線和跨中撓度-應(yīng)變 (Δ-ε)曲線??梢钥闯?,在加載初期上翼緣外側(cè)的應(yīng)變測點G5 和G6,以及腹板中同一位置對側(cè)的測點(如 G1 和 G7),其 F-ε 曲線及 Δ-ε 曲線基本重合,截面中央測點G2 和G8 的應(yīng)變數(shù)值非常小,表明此時截面僅在主平面內(nèi)發(fā)生變形,且彎曲變形的中性軸位于截面中央。隨著荷載和變形的增加,重合的 F-ε 曲線、Δ-ε 曲線逐漸分離,應(yīng)變增長不同步,截面中央的應(yīng)變往壓應(yīng)變發(fā)展,意味著板件開始發(fā)生平面外的鼓曲變形,截面受壓區(qū)部分失效,中性軸往受拉區(qū)發(fā)展。
圖 6 荷載-應(yīng)變曲線Fig. 6 Load versus strain curves
圖 7 跨中撓度-應(yīng)變曲線Fig. 7 Mid-span deflection versus strain curves
通常可以根據(jù)壓應(yīng)變反轉(zhuǎn)點法[16]來確定板件局部鼓曲的發(fā)生,但由于試驗中只在上翼緣板外側(cè)布置應(yīng)變測點,尚無法根據(jù)壓應(yīng)變反轉(zhuǎn)點來判斷,而腹板受壓區(qū)測點G7 的反轉(zhuǎn)點滯后于失效狀態(tài),在試驗中已經(jīng)可以觀察到較為明顯的翼緣壓曲。因此,本文根據(jù)截面中央測點的應(yīng)變往壓應(yīng)變發(fā)展的位置,來判斷截面板件的局部壓曲,而實際受壓翼緣局部鼓曲會稍早于中性軸的應(yīng)變變化。試驗得到的各試件中性軸位置變化所對應(yīng)的荷載Fb和位移Δb列于表3 中。結(jié)合圖4 可以看出,在荷載水平低于Fb時,受不銹鋼材料非線性的影響,F(xiàn)-Δ 曲線已經(jīng)呈現(xiàn)出明顯的非線性。
根據(jù)試件的實測幾何尺寸和板材拉伸材料力學(xué)性能,采用有限元軟件ABAQUS 建立數(shù)值模型,對三點彎曲加載試驗的全過程進行模擬。模型單元類型選用S4R 殼單元,網(wǎng)格尺寸為5×5 mm。不銹鋼材料本構(gòu)關(guān)系采用CECS 410 中的兩段式Ramberg-Osgood 模型,并將其轉(zhuǎn)換為真實應(yīng)力-塑性應(yīng)變曲線。根據(jù)試驗的加載條件,在數(shù)值模型中施加如圖8 所示邊界條件。模型中同時考慮試件幾何初始缺陷和截面焊接殘余應(yīng)力,缺陷分布選用低階特征值屈曲分析的對應(yīng)屈曲模態(tài),缺陷幅值取為試件長度的1/1000;截面焊接殘余應(yīng)力采用文獻[17]中建議的簡化分布模型,奧氏體型試件的殘余拉應(yīng)力幅值為0.8σ0.2,雙相型試件為0.6σ0.2。計算中考慮幾何非線性變形,采用Riks 方法進行迭代求解。
圖 8 數(shù)值模型邊界條件Fig. 8 Boundary conditions of numerical model
采用建立的有限元模型對5 根不銹鋼梁加載試驗進行數(shù)值模擬。圖9(a)給出了試件I-2205-128-60 通過有限元和試驗得到的荷載-跨中撓度曲線對比,其中有限元曲線包括考慮焊接殘余應(yīng)力和無焊接殘余應(yīng)力兩種情況。同時對文獻[6]和文獻[8]的兩組不銹鋼簡支梁三點彎曲加載試驗結(jié)果進行有限元數(shù)值模擬,比較結(jié)果分別如圖9(b)、圖9(c)所示。對比試驗和有限元曲線表明,截面焊接殘余應(yīng)力會降低梁的初始變形剛度,考慮截面焊接殘余應(yīng)力的有限元模擬曲線與試驗曲線吻合更好,所建立的模型能夠準確地模擬不銹鋼梁非線性變形性能。將所有試件的有限元計算極限承載力Fu,FE和對應(yīng)的極限撓度Δu,FE與試驗結(jié)果進行對比,列于表3 中。試驗極限承載力與考慮殘余應(yīng)力的有限元計算結(jié)果的比值Fu,FE/Fu,Test=0.98,變形的比值Δu,FE/Δu,Test=0.97,驗證了所建立有限元模型的準確可靠性。此外,盡管截面焊接殘余應(yīng)力會降低梁的初始變形剛度,但對梁極限承載力的影響可以忽略不計。
圖 9 有限元分析與試驗結(jié)果對比Fig. 9 Comparison between FE and test results
文獻[7]和文獻[11]對現(xiàn)有不銹鋼梁撓度計算方法的對比結(jié)果均指出,基于非線性彎矩-曲率關(guān)系式得出的梁撓度計算方法更具通用性和準確性。因此,本文將基于試驗驗證可靠的有限元模擬結(jié)果與CECS 410[15]和Real-Mirambell[7]建議的兩種近似曲率計算方法進行比較。
CECS 410 給出的不銹鋼梁非線性變形計算的近似曲率表達式為:
在跨中集中荷載作用下,簡支梁跨中最大變形為:
分別根據(jù)CECS 410 和Real-Mirambell 的近似曲率公式進行積分,將其計算結(jié)果與有限元結(jié)果進行比較,如圖10 所示。圖中橫坐標為不同荷載水平下梁最大彎矩M 與M0.2的比值,縱坐標為有限元計算撓度ΔFE與各計算方法得到的撓度Δpre的比值,ΔFE/Δpre大于1 表明公式計算撓度小于有限元分析結(jié)果,計算公式偏于不安全。表4 給出了3 種不同荷載水平下的ΔFE/Δpre比值。由于CECS 410 中未給出M0.2計算方法,計算時M0.2按式(3)進行計算。而Real-Mirambell 建議的M0.2計算方法一定程度上考慮了不銹鋼材料的非線性特性,但其計算較為復(fù)雜。
從圖10 可以看出,CECS 410 和Real-Mirambell兩種方法的計算結(jié)果十分接近。對于奧氏體型試件,在彎矩低于0.8M0.2時,兩種方法計算的撓度均小于有限元分析結(jié)果,且這種差異隨著彎矩的增大而更加明顯,當M 達到0.8M0.2時,計算撓度相比有限元結(jié)果平均偏低19%。對于雙相型試件,兩種計算撓度和有限元結(jié)果吻合較好。當截面的彎矩達到 M0.2時,CECS 410 和 Real-Mirambell 法計算得到的所有試件撓度相比有限元結(jié)果平均偏低6%,計算公式偏于不安全。這是因為截面的焊接殘余應(yīng)力會顯著降低梁的初始變形剛度,使得在相同彎矩下梁的實際變形更大,但CECS 410和Real-Mirambell 的計算方法均未直接考慮焊接殘余應(yīng)力對梁變形的影響。
在彎矩超過M0.2之后,截面進入部分塑性發(fā)展,構(gòu)件的變形會受材料應(yīng)變強化、截面板件局部屈曲等因素的影響,難以對其撓度發(fā)展進行準確計算。中國CECS 410 在計算不銹鋼梁受彎時不考慮截面的塑性發(fā)展,因此正常使用極限狀態(tài)下梁撓度的驗算主要針對截面彎矩小于M0.2的階段,需要考慮焊接殘余應(yīng)力對變形的不利影響。
圖 10 有限元分析結(jié)果與各計算方法的比較Fig. 10 Comparison between FE results and predictions from calculation methods
表 4 有限元分析結(jié)果與計算方法比較Table 4 Comparison of FE results with calculated results
對于矩形截面H×t,根據(jù)平截面假定,應(yīng)變沿截面高度呈線性:
其中,ε0.2=0.002+σ0.2/E0??梢奙0.2的解析表達式非常復(fù)雜,需要進一步簡化,再將其應(yīng)用到工字形截面的計算中。
由式(8)可知,實心矩形截面M0.2與截面彈性屈服彎矩Mel=H2t/6 的比值β=M0.2/Mel是只與不銹鋼材料力學(xué)性能有關(guān)的常量。不銹鋼材料的非線性材料性能一般可以用歸一化屈服強度e=σ0.2/E和應(yīng)變強化系數(shù)n 來描述。根據(jù)各國不銹鋼規(guī)范中給出的不銹鋼材料類別,選取9 種不同的應(yīng)變強化系數(shù)值 n=5、6、7、8、9、10、12、14、16 和6 種歸一化屈服強度值e=0.001、0.0015、0.002、0.0025、0.003、0.0035,以探究其對系數(shù)β 的影響規(guī)律。
不同應(yīng)變強化系數(shù)n 計算得到的β 值如圖11所示??梢钥闯觯趀 值一定的條件下,n 與β 呈明顯正相關(guān)關(guān)系,其相關(guān)系數(shù)為0.513,表明對于n 值小,即非線性顯著且應(yīng)變強化能力高的材料,截面M0.2越接近彈性屈服彎矩Mel。此外,由圖11(a)可見,n 與β 的關(guān)系表現(xiàn)出明顯的非線性;通過對n 進行簡單變換,發(fā)現(xiàn)1/n 與β 呈線性負相關(guān)關(guān)系,如圖11(b)所示,在e 值一定的條件下,不同1/n 對 β 的決定系數(shù) R2均大于 0.995。
圖 11 應(yīng)變強化系數(shù)n 的影響Fig. 11 Influence of strain hardening exponent n
圖 12 歸一化屈服強度e 的影響Fig. 12 Influence of non-dimensional proof stress e
圖 13 建議公式和解析式計算結(jié)果對比Fig. 13 Comparison of results from proposed and analytical solutions
工字形截面M0.2為翼緣外邊緣纖維達到屈服應(yīng)力時截面所承受的彎矩。參考文獻[7]和文獻[11]中對工字形截面的處理方法,將工字形截面M0.2的計算進行分解,計算模型如圖14 所示。將腹板和腹板伸入上下翼緣的部分當成一個整體,按矩形截面的M0.2公式(式(10))進行計算。由于工字形截面翼緣厚度tf與截面高度H 的比值一般較小,翼緣M0.2,f的計算扣除了腹板伸入翼緣的部分,不考慮翼緣內(nèi)的應(yīng)力變化,采用式(11)計算。
圖 14 工字形截面M0.2 簡化計算模型Fig. 14 Simplified calculation model of M0.2 for I-section
選取工字形截面H=100 mm、tw= 4 mm,考慮2 種翼緣寬度B=60 mm、100 mm,4 種翼緣厚度tf= 4 mm、6 mm、8 mm、10 mm,共8 種截面尺寸。針對每一種截面尺寸,考慮9 種應(yīng)變強化系數(shù)值n 和6 種歸一化屈服強度值e。將積分計算得到的 Mint與建議公式 M0.2,pro和Real-Mirambell公式M0.2,R-M的計算結(jié)果進行比較,如圖15 所示。Mint/M0.2,R-M的 均 值 為 0.988,標 準 差 為 0.013;Mint/M0.2,pro的均值為0.986,標準差為0.007,表明兩種方法計算結(jié)果與積分計算結(jié)果都非常接近。本文建議公式直接考慮了不銹鋼非線性材料性能的影響,其計算結(jié)果的離散性更小,且計算公式更加簡單。雖然由于未考慮翼緣內(nèi)的應(yīng)力變化,簡化計算結(jié)果稍偏高,但對比發(fā)現(xiàn),在432 個算例中僅有3%的數(shù)據(jù)點Mint/M0.2,pro< 0.980,從而充分驗證了建議計算公式的準確可靠性。
圖 15 Real-Mirambell 和簡化計算方法驗證Fig. 15 Evaluation of Real-Mirambell and proposed methods
為進一步量化焊接殘余應(yīng)力對工字形截面梁變形性能的影響,開展有限元參數(shù)分析。分析模型取為懸臂梁,并在梁自由端截面施加集中彎矩作用,采用式(14)計算梁的曲率。
式中:d 為自由端撓度;L 為懸臂梁長度,有限元模型中L 取為截面高度H 的7.5 倍。
在參數(shù)分析中,考慮了8 種不銹鋼材料力學(xué)性能指標,涵蓋了奧氏體型、雙相型和鐵素體型三大類常用不銹鋼,具體包括本文三組拉伸材性試驗數(shù)據(jù)(見表2),CECS 410 中S30408 和S22253兩種牌號材料,和文獻[18]建議的三種材料力學(xué)性能指標,如表5 所示。對于每一種材料屬性,考慮15 種不同截面尺寸,涵蓋了歐洲不銹鋼規(guī)范中[12]劃分的第一、二、三類截面。對各個模型分別在考慮焊接殘余應(yīng)力和不考慮焊接殘余應(yīng)力條件下進行有限元分析,共計240 個數(shù)值算例。
表 5 有限元分析中不銹鋼力學(xué)性能指標Table 5 Material properties of stainless steels in FE modelling
對有限元分析得到的梁彎矩-曲率曲線的初始段數(shù)據(jù)點,采用最小二乘法進行線性擬合,得到初始變形剛度R。由于擬合系數(shù)R 對數(shù)據(jù)點的選取范圍較為敏感,有限元分析中首先通過細化計算分析步獲得足量的數(shù)據(jù)點,以擬合結(jié)果的決定系數(shù)R2>0.997 作為判斷依據(jù)確定數(shù)據(jù)點的范圍。
匯總擬合得到的240 個初始變形剛度R 的數(shù)據(jù)點,將其與截面彈性抗彎剛度E0I 進行比較,如圖16 所示。比較分析表明,不考慮焊接殘余應(yīng)力時,不銹鋼梁的初始變形剛度R 與截面彈性抗彎剛度E0I 一致,三種不銹鋼類型的梁得到的R/E0I平均值為1.00,標準差為0.01??紤]焊接殘余應(yīng)力時,奧氏體型構(gòu)件初始變形剛度R 平均降低7%,R/E0I 的平均值為0.93,標準差為0.02;而對雙相型和鐵素體型構(gòu)件的變形剛度降低幅度較小,R/E0I 的平均值為0.97,標準差為0.01。
圖 16 梁初始變形剛度R 與E0I 對比Fig. 16 Comparison of initial rigidity R with E0I
根據(jù)有限元計算結(jié)果,提出不銹鋼焊接截面梁的初始變形剛度R 的計算方法:
其中:不考慮焊接殘余應(yīng)力時α=1.0;考慮焊接殘余應(yīng)力時,對于奧氏體型構(gòu)件α=0.93,雙相型和鐵素體型構(gòu)件α=0.97。
根據(jù)提出的工字形截面M0.2簡化計算方法,考慮焊接殘余應(yīng)力對初始變形剛度的折減,對CECS 410和Real-Mirambell 的近似彎矩-曲率關(guān)系式進行相應(yīng)修正:
式中,M0.2和R 分別按式(12)和式(15)進行計算。
所建議的修正公式計算結(jié)果與有限元分析結(jié)果比較如圖17 所示,有限元分析撓度和建議公式計算撓度的比值ΔFE/Δpre列于表6 中。比較結(jié)果表明,由于考慮了焊接殘余應(yīng)力的影響,修正的CECS 410 的計算撓度比原始公式平均增大了6%,在M=M0.2時,ΔFE/Δpre平均值為 1.00,標準差為 0.05。修正的Real-Mirambell 的計算撓度則平均增大4%,在 M=M0.2時,ΔFE/Δpre平均值為 1.02,標準差為0.04。而且建議的截面屈服彎矩M0.2的簡化計算公式考慮了不銹鋼非線性材料力學(xué)性能的影響,改善了計算結(jié)果的離散性。因此建議的修正公式能夠?qū)Σ讳P鋼焊接工字形簡支梁的撓度進行準確合理的計算。
圖 17 有限元分析結(jié)果與修正公式的比較Fig. 17 Comparison between FE results and predictions from revised methods
表 6 有限元分析結(jié)果與修正公式比較Table 6 Comparison of FE results with calculations from revised methods
開展5 根不銹鋼焊接工字形截面梁三點彎曲加載試驗和有限元數(shù)值模擬,對不銹鋼受彎構(gòu)件非線性撓度計算方法進行研究,得到以下結(jié)論:
(1)在試驗加載初期,不銹鋼梁試件在主平面內(nèi)發(fā)生彎曲變形,繼續(xù)加載后上翼緣發(fā)生局部壓曲,梁跨中撓度迅速發(fā)展,荷載-撓度曲線呈現(xiàn)明顯的平臺段。
(2)考慮截面焊接殘余應(yīng)力的有限元模型能夠更加準確地模擬梁的非線性變形性能。焊接殘余應(yīng)力會降低梁的初始變形剛度,但對梁極限承載力的影響并不顯著。
(3)中 國 規(guī) 程 CECS 410 和 Real-Mirambell 建議的兩種不銹鋼梁撓度計算方法結(jié)果接近,但由于計算方法均未考慮焊接殘余應(yīng)力對梁變形的影響,計算撓度均小于有限元分析結(jié)果。
(4)基于平截面假定和不銹鋼應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系式,提出截面屈服彎矩M0.2簡化計算公式。建議公式直接考慮了不銹鋼非線性材料力學(xué)性能的影響,可得到準確可靠的計算結(jié)果,且計算表達式更簡單。
(5)考慮截面焊接殘余應(yīng)力對梁初始變形剛度的削弱,提出針對不同材料牌號的變形剛度折減系數(shù)建議取值,對CECS 410 和Real-Mirambell 建議的近似曲率計算方法進行修正。修正公式能夠?qū)Σ讳P鋼焊接工字形簡支梁的撓度進行準確合理的計算。