鹽城師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 (224002) 段志貴南京師范大學(xué)教師教育學(xué)院 (210023) 陳馨悅青海師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 (810008) 黃云鶴

在數(shù)學(xué)思維活動(dòng)中，直覺(jué)是一種特殊的思維活動(dòng)，它既不同于邏輯，又不同于經(jīng)驗(yàn)，是一種介于邏輯與經(jīng)驗(yàn)之間的，有一定色彩的創(chuàng)造性思維活動(dòng)，數(shù)學(xué)直覺(jué)在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中往往可以發(fā)揮關(guān)鍵性的作用．

1 解題直覺(jué)的意義

嚴(yán)格意義上說(shuō)，數(shù)學(xué)的直覺(jué)是指人們運(yùn)用已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)和技能，通過(guò)觀察、聯(lián)想、類(lèi)比、歸納、猜測(cè)等方法對(duì)所研究的事物做出一種比較迅速的直接綜合判斷．它是對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象中的關(guān)系和結(jié)構(gòu)的直接領(lǐng)悟．它不受固定邏輯規(guī)則約束，對(duì)事物迅速識(shí)別，未經(jīng)一步步的推理、分析，就能對(duì)問(wèn)題突然領(lǐng)悟、理解或給出答案．直覺(jué)應(yīng)用到數(shù)學(xué)解題之中，以其高度省略、簡(jiǎn)化和濃縮的方式洞察數(shù)學(xué)關(guān)系，促成解題思路的形成，從而有效推進(jìn)解題計(jì)劃的擬定和解題方法的獲得．

有了這一思路，問(wèn)題的最終解法便獲得了非常可靠的抓手．怎么就想到轉(zhuǎn)換為三角，想到正切二倍角公式，想到設(shè)x=tanA，y=tanB，z=tanC？這就是解題直覺(jué)！

本質(zhì)上說(shuō)，解題直覺(jué)是一種認(rèn)知激活——解題者認(rèn)知被問(wèn)題表征系統(tǒng)所激活．“三項(xiàng)和三項(xiàng)積相等”是問(wèn)題的一個(gè)表征，客觀上讓人想到“tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC”，這是曾經(jīng)的認(rèn)知被激活．再由結(jié)論中的“三項(xiàng)和三項(xiàng)積相等”以及類(lèi)似正切二倍角公式的表征，從而想到對(duì)問(wèn)題的假設(shè)，想到把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明三角恒等式，這便形成了解題直覺(jué)．

顯然，解題直覺(jué)的產(chǎn)生建立在對(duì)所涉及到的知識(shí)與技能有一定的理解和掌握基礎(chǔ)之上，解題直覺(jué)的涌現(xiàn)也并非一蹴而就，往往伴隨著對(duì)思維障礙的突破，存在于堅(jiān)持不懈地探索與發(fā)現(xiàn)之中．

2 解題直覺(jué)的呈現(xiàn)

2.1 在探尋解法的過(guò)程中突現(xiàn)靈感

在探索和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題解法的過(guò)程中，針對(duì)一些已知的關(guān)系與結(jié)構(gòu)，有時(shí)特定的某一條件會(huì)給我們留下特別的印象，盤(pán)旋于腦海，在搜索其它知識(shí)模塊的過(guò)程中，如果能夠產(chǎn)生某個(gè)交集，則可以使認(rèn)識(shí)上產(chǎn)生一個(gè)飛躍，這種飛躍并不都具有邏輯性，但結(jié)果卻是令人興奮的，有時(shí)便形成了爆發(fā)性的頓悟，這種頓悟，就是一種解題直覺(jué)．

2.2 在演繹推理的過(guò)程中超越規(guī)則

當(dāng)演繹推理與直覺(jué)交織在一起時(shí)，一般不是依三段論規(guī)則按步前進(jìn)，而是采用比較迅速，比較“自由”的方式向前延伸．一種是原有邏輯程序的簡(jiǎn)化和壓縮，多表現(xiàn)為在大腦中迅速檢索到一種“思維塊”并直接做出判斷；另一種是推理之鏈中包含有不合三段論規(guī)則的判斷，這些看似支離破碎的判斷，其實(shí)都是邏輯與直覺(jué)混合起作用的結(jié)果，它們往往也會(huì)促成解題念頭的形成．

例3 已知函數(shù)f(x)對(duì)于一切實(shí)數(shù)x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立，且當(dāng)x>0時(shí)，恒有f(x)<0，試判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性．

分析：要證單調(diào)性，就是要考察f(x2)-f(x1)是大于0，還是小于0．再?gòu)念}目條件出發(fā)，任取x1，x2，使得x10，所以f(x2-x1)<0．于是，從這里解題直覺(jué)產(chǎn)生，并逐步向結(jié)論延伸，可以發(fā)現(xiàn)f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)<0，所以函數(shù)f(x)是單調(diào)遞減的．當(dāng)然這一過(guò)程作為解題還不完備，還需要去進(jìn)一步地完善充實(shí)．

2.3 在歸納總結(jié)的過(guò)程中跳躍進(jìn)程

一個(gè)普遍性判斷包含有被歸納的事實(shí)中所沒(méi)有的內(nèi)容，因而在由幾個(gè)單稱(chēng)判斷歸納出一個(gè)新的全稱(chēng)判斷時(shí)，歸納進(jìn)程必然會(huì)跳躍一下．在處理數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，無(wú)論是把問(wèn)題特殊化，還是把特殊化了的問(wèn)題化歸到原來(lái)的一般問(wèn)題，都需要直覺(jué)的跳躍．

2.4 在解題聯(lián)想的過(guò)程中不落窠臼

依據(jù)解題中的相關(guān)對(duì)象或相似因素，或熟悉的解題模式，人們?cè)诮忸}中常常會(huì)做出某些跳躍式的自由聯(lián)想，這些聯(lián)想與解題者的經(jīng)驗(yàn)有很大關(guān)系，有的聯(lián)想極有可能幫助我們獲得解題的有效線索．

3 解題直覺(jué)的捕獲

3.1 透視背景形成直覺(jué)

許多問(wèn)題的解決往往要通過(guò)仔細(xì)觀察分析，去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題各個(gè)環(huán)節(jié)以及其中的聯(lián)系，尤其是要透過(guò)問(wèn)題的表象，直覺(jué)捕獲問(wèn)題背后蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)和數(shù)學(xué)思想方法，真正感知到編題者命題的意圖所在，為順利解決問(wèn)題奠定基礎(chǔ)．

例6 設(shè)a∈R，若x>0時(shí)均有[(a-1)x-1]·(x2-ax-1)≥0，求a的值或取值范圍．

圖1

分析：觀察本題已知條件，可能看到本題的背景源自于兩個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)之積，一個(gè)是一次函數(shù)y1=(a-1)x-1，另一個(gè)是二次函數(shù)y2=x2-ax-1，從兩個(gè)函數(shù)入手，我們分別作出它們的函數(shù)圖像，如圖1所示，很快可以分析得到這兩個(gè)函數(shù)都過(guò)定點(diǎn)P(0,-1)．

再把直線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)代入到拋物線方程中去，就很快可求得本題的解了．當(dāng)然，要注意本題在真正實(shí)施求解的時(shí)候，為體現(xiàn)解題的完整與規(guī)范，首先要a分為a=1和a≠1這兩種情況去討論．可以看出，對(duì)于這么一個(gè)比較難的問(wèn)題我們只要把它還原到它所在的大背景下看就容易多了．

3.2 數(shù)形結(jié)合產(chǎn)生直覺(jué)

通俗地理解數(shù)形結(jié)合，就是使某些幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，某些代數(shù)問(wèn)題用更為直觀的幾何圖形來(lái)解決．?dāng)?shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，在解題中，數(shù)與形的轉(zhuǎn)換經(jīng)常用到，通過(guò)數(shù)形結(jié)合構(gòu)造某種數(shù)學(xué)形式，使數(shù)學(xué)題中的條件和結(jié)論的關(guān)系很清晰地表現(xiàn)出來(lái)，易于產(chǎn)生解題直覺(jué)，從而使問(wèn)題得到解決

3.3 審美賞析產(chǎn)生直覺(jué)

對(duì)于一個(gè)特定的數(shù)學(xué)問(wèn)題，在我們尋找解題路徑時(shí)利用數(shù)學(xué)美，有時(shí)亦能收獲特別的解題直覺(jué)．在“和諧”美的背景下，追求統(tǒng)一性、對(duì)稱(chēng)性、不變性、恰當(dāng)性；在“簡(jiǎn)單”美的情境下，思考如何用簡(jiǎn)單的原理、公式來(lái)概括大量的事實(shí)；在“奇異”美的感悟下，人們會(huì)涌現(xiàn)奇特與新穎的感受，所有這些都會(huì)在美的感召下，迸發(fā)出智慧的火花，這火花就是數(shù)學(xué)直覺(jué)．法國(guó)大數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪說(shuō)過(guò):“數(shù)學(xué)直覺(jué)的本質(zhì)是某種‘美感’或‘美的意識(shí)’，‘美的意識(shí)’越強(qiáng)，發(fā)現(xiàn)和辨別隱蔽和諧關(guān)系的直覺(jué)也就越強(qiáng)”．審美直覺(jué)可以激發(fā)靈感，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)美，利用數(shù)學(xué)簡(jiǎn)單美、對(duì)稱(chēng)美、和諧美和奇異美來(lái)解決問(wèn)題．

3.4 結(jié)構(gòu)相似產(chǎn)生直覺(jué)

所謂結(jié)構(gòu)相似我們也可以看作是類(lèi)比構(gòu)造，它是通過(guò)比較所研究問(wèn)題的對(duì)象之間或這些對(duì)象與已學(xué)過(guò)的知識(shí)間存在的形式上的相同或相似性得到啟發(fā)，產(chǎn)生直覺(jué)，在此基礎(chǔ)上構(gòu)造一種兼有兩者共同特點(diǎn)的數(shù)學(xué)形式，運(yùn)用這種數(shù)學(xué)形式的豐富內(nèi)涵達(dá)到解決問(wèn)題的目的．

圖2

3.5 問(wèn)題變式產(chǎn)生直覺(jué)

有些問(wèn)題生疏隱晦，解題時(shí)需對(duì)問(wèn)題作一番提煉、抽象和標(biāo)準(zhǔn)化，并根據(jù)對(duì)應(yīng)同構(gòu)原理，對(duì)其恰當(dāng)賦義，構(gòu)造出一個(gè)全新的數(shù)學(xué)模型，以找到有效的解題途徑．這類(lèi)模型的構(gòu)想往往超越了問(wèn)題的原有意境，因此需要更為豐富的想象力和創(chuàng)造力以及直覺(jué)能力．

4 解題直覺(jué)的辯證思考

4.1 解題直覺(jué)具有相對(duì)性

數(shù)學(xué)離不開(kāi)直覺(jué)，數(shù)學(xué)直覺(jué)在解題過(guò)程中起著重要的作用，然而正如龐加萊說(shuō)的那樣，“直覺(jué)是不難發(fā)現(xiàn)的，但它不能給我們以嚴(yán)格性，甚至不能給我們以可靠性，這一點(diǎn)越來(lái)越得到公認(rèn)”．?dāng)?shù)學(xué)畢竟是一門(mén)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)，如果僅僅用數(shù)學(xué)直覺(jué)來(lái)研究它，不進(jìn)行嚴(yán)格意義上的邏輯證明，那么得出來(lái)的結(jié)論肯定是有許多荒謬的．因此，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，我們既要高度重視直覺(jué)，善于利用直覺(jué)，把直覺(jué)當(dāng)成是指引解題方向的一個(gè)極其重要的工具，又要對(duì)直覺(jué)保持高度警惕，有些直覺(jué)可能會(huì)讓我們的思維走進(jìn)歧途，陷入解題誤區(qū)．

4.2 解題直覺(jué)具有淵源性

直覺(jué)既不是從天而降，也不是無(wú)水之源、無(wú)本之木，它往往降臨在那些具有廣博的學(xué)科經(jīng)驗(yàn)并且對(duì)知識(shí)奧妙執(zhí)著追求的人身上．我們只有不斷向外界學(xué)習(xí)、交流、吸取新信息，多做積累，并善于總結(jié)、概括和提煉，才能在問(wèn)題解決的困頓中迸發(fā)出解題靈感．除此之外，還需要我們擁有耐心、恒心和韌性，堅(jiān)持不懈地從做中學(xué)，從學(xué)中做，由此當(dāng)我們的認(rèn)知結(jié)構(gòu)一旦被激活，也就容易產(chǎn)生直覺(jué)了．當(dāng)然我們討論解題直覺(jué)，也不能不提到具體情境．正像哈密頓“四元數(shù)”故事發(fā)生在愛(ài)爾蘭一座小橋上一樣，解題直覺(jué)的產(chǎn)生與一定的情境相關(guān)聯(lián)，我們拼命找尋的解答，有可能在不知不覺(jué)中的某個(gè)場(chǎng)景或某個(gè)狀態(tài)下靈光閃現(xiàn)——解題的直覺(jué)來(lái)了.

4.3 解題直覺(jué)具有層次性

根據(jù)解題過(guò)程中思維形式的難易，以及思維形式在人的思維習(xí)慣中出現(xiàn)的次序，解題直覺(jué)有經(jīng)驗(yàn)型和思辨型之分．經(jīng)驗(yàn)型從對(duì)問(wèn)題的觀察、實(shí)驗(yàn)、類(lèi)比、歸納中萌發(fā)，基本都是對(duì)過(guò)往熟悉的知識(shí)、方法或解題策略的遷移，而思辨型直覺(jué)是指在運(yùn)動(dòng)變化、對(duì)立統(tǒng)一等哲學(xué)觀念的基礎(chǔ)上，通過(guò)對(duì)問(wèn)題的深層次分析、探究與辨析后形成，比如對(duì)稱(chēng)性、整體性等美學(xué)思想，向量法、代數(shù)化等解析幾何思想，它們高于經(jīng)驗(yàn)型直覺(jué)層次，交織著半邏輯性推演，因而有時(shí)更加嚴(yán)謹(jǐn)，更為適用，但也并非無(wú)懈可擊．

總之，面對(duì)較為綜合、復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，直覺(jué)指引不失為獲得問(wèn)題解法的一條有效通道．當(dāng)然，我們還應(yīng)注意到，隨著解題計(jì)劃的實(shí)施，原先的直覺(jué)可能需要調(diào)整和不斷完善或改變．正如楊振寧教授所說(shuō)，“直覺(jué)不斷被修正的過(guò)程就是自我提升的過(guò)程”，直覺(jué)會(huì)帶領(lǐng)我們把解題走向深入，帶領(lǐng)我們把解題進(jìn)行到底，帶領(lǐng)我們走向解題更新的領(lǐng)域．