江蘇省揚州中學 (225000) 戚有建

二次函數(shù)是最基本的初等函數(shù)，也是最重要的初等函數(shù)，所以在高考中備受青睞，幾乎是每年高考的必考內容，而二次函數(shù)的最值問題更是高考的重點、熱點，經久不衰、?？汲Ｐ拢鼛啄陙磉@方面的試題也不斷推陳出新，越來越豐富多彩，主要表現(xiàn)為以下四個新趨向：含參、復合、隱性、離散．

一、含參

引入參數(shù)后，二次函數(shù)最值問題就從靜態(tài)變成了動態(tài)，增加了思維量，可以很好的考查分類討論的數(shù)學思想.根據(jù)參數(shù)的位置可以將含參問題分為解析式含參、定義域含參、解析式定義域同時含參.

例1 (2020年高考模擬題)求函數(shù)f(x)=x2-2ax+2,x∈[0,2]的最小值.

分析：本題中解析式含參，對稱軸不定.

解析：對稱軸與區(qū)間的位置關系不定，可進行如下的分類討論：當a<0時，f(x)min=f(0)=2；當0≤a≤2時，f(x)min=f(a)=2-a2； 當a>2時，f(x)min=f(2)=6-4a

點評：本題中，區(qū)間“定”，但對稱軸“動”，由于對稱軸與區(qū)間的位置關系不定(故函數(shù)的單調性不定)，所以需要分類討論處理．類似的，還可以編出對稱軸“定”，但區(qū)間“動”的問題.

例2 (2014年江蘇高考題)已知函數(shù)f(x)=x2+mx-1，若對任意x∈[m,m+1]都有f(x)<0，則實數(shù)m的取值范圍為.

分析：本題中解析式和定義域同時含參，對稱軸不定、區(qū)間也不定，通常需要討論處理，但本題也可以不討論，用等價條件來處理即可.

點評：本題中解析式和定義域同時含參，看起來很復雜需要討論處理，實際上又可以不討論處理，對學生思維的靈活性要求較高.

二、復合

二次函數(shù)有很大的“交匯”性，它可以和很多函數(shù)復合起來，于是近幾年來出現(xiàn)了很多新穎別致、多姿多彩的復合函數(shù)最值試題，這些試題從表面上看，是以考查其它函數(shù)為目的，而實際上通過化簡變形、換元后就能轉化為二次函數(shù)最值問題，這也體現(xiàn)了高考在知識交匯處命題的原則．

分析：通過換元轉化為二次函數(shù)來處理.

分析：通過換元，轉化為二次函數(shù)來處理，難點是如何換元.

三、隱性

高考對二次函數(shù)的考查多數(shù)是顯性考查，即題目中直接能發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)，但近年來也出現(xiàn)了很多隱性考查，即題目中沒有出現(xiàn)二次函數(shù)，這就需要我們自己去挖掘二次函數(shù)、去構建二次函數(shù).

分析：先將單調性問題轉化為不等式恒成立問題，再轉化為函數(shù)最值問題.

點評：本題呈現(xiàn)形式是三次函數(shù)單調性問題，實際上是二次不等式恒成立問題，也就是二次函數(shù)最值問題.

四、離散

數(shù)列是離散的函數(shù)，所以數(shù)列具有函數(shù)特性，近年來出現(xiàn)了很多以數(shù)列為載體的最值問題，其中很多問題與二次函數(shù)最值有關.

例9 (2018年全國高考題改編)在等差數(shù)列{an}中，a1=-12，S3=-30，求Sn的最小值．

點評：等差數(shù)列的前n項和Sn是關于n的二次函數(shù)，所以與其有關的最值問題本質上就是二次函數(shù)最值問題，只不過是離散的二次函數(shù)最值.

例10 (2020年高考模擬題)設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若d<0，S12>0，S13<0，則n為何值時，Sn取得最大值？

圖1

點評：本題常規(guī)的處理思路是先構建目標函數(shù)Sn然后化簡目標函數(shù)求最值，但是目標函數(shù)含參數(shù)a1,d不易化簡，實際上只要抓住目標函數(shù)是二次函數(shù)這一結構特征(最高點一定靠近對稱軸)就能順利解決.

由于二次函數(shù)是中學數(shù)學中最經典的函數(shù)之一，它具有豐富的內涵和外延，可以溝通函數(shù)、方程、不等式、數(shù)列、圓錐曲線等內容，可以從知識、能力、思想方法等不同層面對學生進行有效考查，所以我們可以預見在未來的高考中二次函數(shù)仍將是考查的重點和熱點，而且其考查方式也會更靈活、更新穎．