皇甫泉生，嚴(yán)非男，顧錚

（上海理工大學(xué) 理學(xué)院，上海 200093）

自從牛頓揭示了力是改變物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)原因的本質(zhì)之后，人類對(duì)自然的認(rèn)識(shí)發(fā)生了一大飛躍，引領(lǐng)力學(xué)走上了正確的道路，取得了輝煌的成就，牛頓關(guān)于力的三大定律成為了經(jīng)典力學(xué)的基本定律。但是物理學(xué)的各分支沿著各自的道路發(fā)展，使經(jīng)典物理學(xué)的各分支學(xué)科之間缺乏基本的相似性和類比。德國卡爾斯魯厄物理課程[1-2]（KPK）開發(fā)者全面梳理了經(jīng)典物理學(xué)中的知識(shí)體系，在力學(xué)中引入了動(dòng)量流強(qiáng)度的概念，將物體之間的相互作用看成是動(dòng)量的流動(dòng)，而動(dòng)量流強(qiáng)度就是經(jīng)典力學(xué)體系中的力，構(gòu)建了與經(jīng)典力學(xué)等價(jià)[2]的卡爾斯魯厄物理課程的力學(xué)體系，使力學(xué)與電學(xué)有了基本的相似性，可以進(jìn)行廣泛的類比[3-4]。類比的思想方法在教與學(xué)和創(chuàng)新中起到的啟示作用是非常積極的，而KPK物理課程在這方面的優(yōu)勢(shì)是毋容置疑的，常言說“他山之石，可以攻玉”，如果希望將這一新的力學(xué)體系運(yùn)用于我們的教學(xué)中，需要我們深入學(xué)習(xí)和研究KPK物理課程，充分地進(jìn)行探索實(shí)踐、消化吸收、掌握KPK的力學(xué)體系。落體是生活中較常見的運(yùn)動(dòng)物體，這里不妨通過用KPK力學(xué)方法來解決落體中的一些問題，作為運(yùn)用KPK力學(xué)體系的一次探索實(shí)踐。

1 卡爾斯魯厄物理課程的力學(xué)體系

卡爾斯魯厄物理課程（KPK）的開發(fā)者全面地審視了經(jīng)典物理學(xué)，仔細(xì)地梳理其中的物理量，將描述物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量分成與總質(zhì)量成正比的廣延量和與總質(zhì)量無關(guān)的強(qiáng)度量，并在其中選擇與能量密切相關(guān)的廣延量動(dòng)量和強(qiáng)度量速度作為力學(xué)分支的中心物理量[5]，分別與電學(xué)分支中的廣延量電荷量和強(qiáng)度量電勢(shì)進(jìn)行類比，并將物體之間的相互作用看成是因?yàn)橛袆?dòng)量在它們之間流動(dòng)的結(jié)果。在電學(xué)中單位時(shí)間內(nèi)流過某一截面的電荷量定義為電流強(qiáng)度I=dq/dt。式中：q表示電荷；t表示時(shí)間。同樣，在KPK中把單位時(shí)間內(nèi)流過某一截面的動(dòng)量定義為動(dòng)量流強(qiáng)度Ip=dp/dt。式中，p表示動(dòng)量。對(duì)照牛頓第二定律，物體所受合力F=dp/dt?？梢奒PK中動(dòng)量流強(qiáng)度就是經(jīng)典力學(xué)中物體之間的相互作用力[6]。如果有兩個(gè)物體發(fā)生了碰撞、滑動(dòng)摩擦等相互作用，每個(gè)物體的動(dòng)量都會(huì)發(fā)生變化，并且其中一個(gè)物體的動(dòng)量增加量一定等于另一個(gè)物體動(dòng)量的減少量，可以認(rèn)為動(dòng)量從一個(gè)物體流出并流入了另一個(gè)物體。在KPK的力學(xué)體系中認(rèn)為動(dòng)量守恒定律是力學(xué)的基本定律，動(dòng)量可以在物體之間流動(dòng)，但總量保持不變，即從一個(gè)物體表面流入物體的動(dòng)量流強(qiáng)度必定等于該物體的動(dòng)量變化率。將其推廣到物體系，就意味著我們可以在空間任取一物體系閉合曲面，單位時(shí)間內(nèi)流入該物體系曲面的動(dòng)量，必定等于該物體系曲面所包圍的空間區(qū)域內(nèi)物體的動(dòng)量的單位時(shí)間增量，可見動(dòng)量守恒定律就是動(dòng)量的連續(xù)性方程：dp/dt，也就是牛頓第二定律。因此在KPK中解動(dòng)力學(xué)問題是先對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行動(dòng)量流分析：動(dòng)量流入、流出的途徑有那些？大小是多少？方向向哪里？然后根據(jù)動(dòng)量連續(xù)性列方程求解。需要注意的是動(dòng)量是矢量，動(dòng)量流也是矢量，動(dòng)量的連續(xù)性方程是矢量方程。

燈籠被用來營造喜慶的氛圍，節(jié)假日隨處可見懸掛的紅燈籠。對(duì)于如圖1所示懸掛燈籠的系統(tǒng)，學(xué)過物理的人都知道，這是一個(gè)平衡系統(tǒng)，在教學(xué)中至少會(huì)提到有4個(gè)力。它們分別是：通過引力場作用在吊燈和地球之間的一對(duì)相互作用力，為萬有引力；以及通過懸繩作用在吊燈和支架之間的一對(duì)相互作用力，它們是彈力。每一對(duì)力都遵循牛頓第三定律，而作用在燈籠上的兩個(gè)力構(gòu)成了一對(duì)平衡力，這4個(gè)力的大小都相等，但名稱并不相同。

圖1 懸掛的燈籠Fig. 1 Hanging lanterns

當(dāng)我們把動(dòng)量想象成與水一樣是可以流動(dòng)的物質(zhì)，而力實(shí)際上就是動(dòng)量流，那么這個(gè)懸掛燈籠的系統(tǒng)就會(huì)這樣來描述了：動(dòng)量從地球流出，經(jīng)過引力場流入燈籠，再從燈籠流出，經(jīng)過懸繩流入支架然后流回到地球。這里相當(dāng)于一個(gè)閉合回路，在其中流動(dòng)的是動(dòng)量，沒有任何地方有動(dòng)量的累積，因此各處的動(dòng)量流強(qiáng)度都相等，每個(gè)物體的動(dòng)量不變，燈籠系統(tǒng)保持靜止?fàn)顟B(tài)。這樣的描述簡潔明了，也不會(huì)對(duì)回路中“各處的動(dòng)量流強(qiáng)度都相等”產(chǎn)生異議。反觀在牛頓力學(xué)中，引入了4個(gè)力而名稱各不相同，相當(dāng)于把同一水流中4處不同位置的水用了4個(gè)不同的名字來命名，不僅是沒有必要的，反而還增添了麻煩：為了消除“名稱不同的力但是大小相同”的困惑，還要用一個(gè)定律來確定其中的每一對(duì)作用力與反作用力相等。

在KPK力學(xué)體系中力就是動(dòng)量流強(qiáng)度，力的作用遵循動(dòng)量連續(xù)性方程，那么容易得到，在經(jīng)歷了一段時(shí)間的積累，流入某個(gè)閉合曲面動(dòng)量必定等于該閉合曲面動(dòng)量的增量。動(dòng)量在流動(dòng)時(shí)也會(huì)攜帶著能量一起流動(dòng)，從而起到傳遞能量的作用，因此動(dòng)量被稱為能量載體[7-8]，它所傳遞的能量E為：式中：r表示運(yùn)動(dòng)物體的位置；v則是該物體的運(yùn)動(dòng)速度。可見動(dòng)量流的空間積累效應(yīng)就是能量流。把單位時(shí)間內(nèi)流過某一截面的能量定義為能量流強(qiáng)度IE=dE/dt，而動(dòng)量在攜帶著能量所形成的能量流強(qiáng)度為：IE=dE/dt=v·dp/dt=v·Ip=v·F，可見動(dòng)量在流動(dòng)過程中傳遞的能量流強(qiáng)度就是我們熟悉的功率。

2 對(duì)落體運(yùn)動(dòng)速度的計(jì)算

對(duì)于我們生活中常見落體，在中學(xué)階段只考慮重力的作用，在大學(xué)階段還要考慮空氣的摩擦阻力作用。設(shè)有一質(zhì)量為m的小球由靜止開始下落，如果我們要確定它的速度隨時(shí)間變化的規(guī)律，在經(jīng)典力學(xué)中，解題的順序通常是先對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行受力分析，然后根據(jù)牛頓定律列方程求解[9]。在KPK中力就是動(dòng)量流，解題的方法是先分析對(duì)象的動(dòng)量流，然后根據(jù)動(dòng)量的連續(xù)性列方程求解。

取向下為動(dòng)量正方向，對(duì)小球進(jìn)行動(dòng)量流分析：因小球處于重力場內(nèi)，因此有動(dòng)量流強(qiáng)度FG=mg從地球經(jīng)重力場流入小球[10]，式中，g為重力加速度。小球因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)與空氣發(fā)生摩擦，會(huì)有動(dòng)量的流失。一般認(rèn)為因空氣摩擦而引起小球的動(dòng)量流失與速度成正比（即摩擦阻力與速度成正比），設(shè)比例系數(shù)為k，因此有動(dòng)量流強(qiáng)度Fm=kv從小球流出進(jìn)入空氣，如圖2所示。

圖2 落體的動(dòng)量流圖Fig. 2 Momentum flow diagram of a falling body

根據(jù)動(dòng)量連續(xù)性可確定：流入小球的總動(dòng)量流強(qiáng)度等于小球的動(dòng)量變化率，即：mg-kv=

當(dāng)t→∞時(shí)，解得收尾速度：

可見一個(gè)在空氣中下落的物體，盡管從重力場流入物體的動(dòng)量流強(qiáng)度是恒定的，使物體的動(dòng)量穩(wěn)定地增加。但由于物體與空氣之間存在著摩擦，導(dǎo)致動(dòng)量的流失，流失的動(dòng)量流強(qiáng)度隨著物體運(yùn)動(dòng)速度的增加而變大。一旦流入物體的動(dòng)量流強(qiáng)度等于流出物體的動(dòng)量流強(qiáng)度，小球的動(dòng)量將不再變化，達(dá)到一個(gè)穩(wěn)定的速度，此時(shí)物體的速度稱為收尾速度（也稱極限速度）。收尾速度的大小與k有關(guān)，而k主要取決于物體的外形和自重。例如毛毛細(xì)雨飄飄然潤物無聲，收尾速度不到1 m/s，而暴雨則擲地有聲，雨滴最大直徑5.5 mm左右，最大收尾速度可以達(dá)到8～9 m/s。

如果沒有空氣的摩擦，就不會(huì)有動(dòng)量從物體流出進(jìn)入空氣，但始終有動(dòng)量從地球經(jīng)重力場流入物體，因此物體就不會(huì)有收尾速度。月球上沒有大氣，因此所有物體都以同樣的加速度墜落，一片羽毛與一塊石頭只要從同一高度出發(fā)，就會(huì)以同樣速度落向月面。在地球上，如果我們把羽毛與小塊石頭放入抽成真空的玻璃管中，同樣能觀察到這一現(xiàn)象。

3 對(duì)跳傘員的速率分析

高空跳傘是一項(xiàng)體育運(yùn)動(dòng)，跳傘員可以通過操縱變換出各種表演花樣，令人賞心悅目。撇開各種操縱因素，高空跳傘員相當(dāng)于有水平初速度為v的落體，跳傘員動(dòng)量變化的途徑只有兩個(gè)：由重力場流入的動(dòng)量和因?yàn)槟Σ炼魇У膭?dòng)量。但是因?yàn)樘鴤銌T從飛機(jī)上跳出時(shí)有水平速度，因此牽涉到兩維運(yùn)動(dòng)，情況變得相對(duì)復(fù)雜，且一般飛機(jī)飛行速度都大于跳傘員的第一收尾速度（沒有開傘時(shí)的收尾速度約50 m/s）時(shí),則跳傘員的速率變化將更加豐富，值得探討。

跳傘員由于運(yùn)動(dòng)，與空氣發(fā)生摩擦而流失的動(dòng)量的狀況比較復(fù)雜，參照文獻(xiàn)[11]，可以認(rèn)為流失的動(dòng)量流強(qiáng)度與速度的平方成正比，又因?yàn)闋可娴絻删S運(yùn)動(dòng)，所以動(dòng)量流強(qiáng)度需要用矢量表示。這樣，從重力場流入跳傘員的動(dòng)量流為：FG=mg。式中，g為重力加速度矢量。因?yàn)榭諝饽Σ炼魇У膭?dòng)量流為：Ip,out=kvv（Ip,out=kv2ev）。式中，ev表示運(yùn)動(dòng)方向的單位矢量，如圖3所示。

圖3 跳傘員的動(dòng)量流圖Fig. 3 Momentum flow diagram of a parachutist

根據(jù)動(dòng)量連續(xù)性可確定：流入跳傘員的總動(dòng)量流強(qiáng)度等于跳傘員的動(dòng)量變化率，即

寫成分量式（取飛機(jī)水平前進(jìn)方向?yàn)閤軸正方向，取向下為y軸正方向）：

由式（2）和式（3）所組成的方程組是有交叉項(xiàng)的一階非線性齊次微分方程組，與用牛頓力學(xué)解題得到的方程組完全一樣，數(shù)學(xué)上沒有解析解。因此，文獻(xiàn)[12]用計(jì)算機(jī)逐點(diǎn)計(jì)算描繪出速率與時(shí)間曲線，發(fā)現(xiàn)跳傘員在達(dá)到第一收尾速度之前會(huì)出現(xiàn)一個(gè)極小速率，但在文獻(xiàn)[12]中并沒有對(duì)這一現(xiàn)象進(jìn)行更深層次的分析解釋，因?yàn)橛门ｎD力學(xué)的原理難以對(duì)這一結(jié)果作出簡單明了的解釋，這里KPK力學(xué)體系可以有所作為。

圖4 跳傘員的能流變化曲線Fig. 4 Energy flow curve of the parachutist

圖5 跳傘員的速率變化曲線Fig. 5 Rate curve of the parachutist

由于動(dòng)量流是矢量，而流入與流出的動(dòng)量又不在同一個(gè)方向，分量中又存在交叉項(xiàng)，因此僅利用動(dòng)量流難以說出所以然來。但動(dòng)量是能量載體，動(dòng)量流動(dòng)時(shí)攜帶著能量，而能量流可以用來確定速率的變化。這樣，動(dòng)量流結(jié)合能量流，可以對(duì)這一現(xiàn)象作出簡單明了的解釋。由重力場流入跳傘員的能量流強(qiáng)度為IE,in=v·FG=mgvy，而由摩擦流出跳傘員的能量流強(qiáng)度為kv3。如果飛機(jī)飛行速率大于跳傘員的第一收尾速度，那么跳傘員出艙后，流失的能量流強(qiáng)度就大于流入的能量流強(qiáng)度，因此跳傘員的速率在下降，一直到流入與流出的能量流強(qiáng)度相等。即：mgvy=kv3時(shí)，跳傘員的速率將達(dá)到一個(gè)極小值。盡管此時(shí)能量流維持平衡，但動(dòng)量流并沒有平衡（力沒有平衡），在水平方向只有動(dòng)量的流出而沒有動(dòng)量的流入。因此，盡管速率v沒有變化，但是水平方向速度分量vx在減小而豎直方向的速度分量vy在增大，所以很快就會(huì)使能量流失去平衡，出現(xiàn)mgvy＞kv3的狀況，即流入的能量流強(qiáng)度大于流出的能量流強(qiáng)度。因而，跳傘員的速率將會(huì)增加，直到水平方向速率為零，能量流再次取得平衡，mgv=kv3，同時(shí)動(dòng)量流也取得平衡，mg=kv2，如圖4所示，跳傘員才會(huì)達(dá)到第一收尾速度（約50 m/s）?？梢娫诘谝皇瘴菜俾手皶?huì)出現(xiàn)一個(gè)極小速率，此后跳傘員打開降落傘，而空氣對(duì)降落傘的阻力非常大，意味著流出的動(dòng)量流大幅增加，而流入的動(dòng)量流卻沒有變化。因此，跳傘員的速率快速下降，流出的動(dòng)量隨著快速減少，直到能量流再次取得平衡而達(dá)到第二收尾速度（約4 m/s）為止，跳傘運(yùn)動(dòng)員跳出艙后直到落地的速率變化情況如圖5所示。跳傘員以大約4 m/s較小的收尾速度飄向地面，這相當(dāng)于從1 m高的窗臺(tái)跳到地面的狀況，大大降低了跳傘員從高空跳下落地時(shí)從身體流出的動(dòng)量流，使跳傘員能安全落地。

4 結(jié)束語

把物體之間的相互作用看成是動(dòng)量的流動(dòng)，為力學(xué)現(xiàn)象的解釋開辟了新的思路，也為力學(xué)問題的解決提供了新的方法。由于動(dòng)量的流動(dòng)可以與日常生活中熟悉的水流進(jìn)行類比，這樣一個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)量保持不變的條件就顯而易見了；用動(dòng)量流方法解力學(xué)問題不再進(jìn)行受力分析，而是對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)量流分析，物理圖像更簡潔；利用動(dòng)量的連續(xù)性所列的方程方法，更貼近生活經(jīng)驗(yàn)。以上例子說明卡爾斯魯厄物理教程的力學(xué)體系簡化了靜力學(xué)系統(tǒng)的描述，用于解決動(dòng)力學(xué)問題不但沒有障礙，而且更有獨(dú)到之處。