石金誠(chéng)，李遠(yuǎn)飛

（廣州華商學(xué)院數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院，廣東廣州511300）

0 引 言

近年來(lái)，偏微分方程解的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性引起廣泛關(guān)注。傳統(tǒng)穩(wěn)定性主要研究解對(duì)初始數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性，而結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性主要研究模型本身的穩(wěn)定性。有關(guān)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的本質(zhì)，可參考文獻(xiàn)［1-2］中介紹的連續(xù)流體力學(xué)模型的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性。在模型建立過(guò)程中，誤差時(shí)刻存在，因此，探究方程本身結(jié)構(gòu)系數(shù)的細(xì)微變化是否會(huì)導(dǎo)致解的急劇變化意義重大。

關(guān)于結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的研究主要集中在多孔介質(zhì)中的 Brinkman，Darcy，F(xiàn)orchheimer方程組，文獻(xiàn)［3-13］考慮了區(qū)域中只有以上3個(gè)方程組中一個(gè)方程組的情況。文獻(xiàn)［14-16］研究了其他方程的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性。

文獻(xiàn)［17］給出了Brinkman方程組和Darcy方程組在同一界面相互作用的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性結(jié)果，研究了方程組的解對(duì)界面邊界系數(shù)α1的連續(xù)依賴(lài)性。在此基礎(chǔ)上，LIU等［18-19］獲得一些新結(jié)果。如果將文獻(xiàn)［17］中的Brinkman方程組改為Forchheimer方程組，由于Forchheimer方程組中不包含Δu項(xiàng)，所以獲得梯度的界的難度將增加，因此，如何處理非線性項(xiàng)|u|ui是本研究的難點(diǎn)。

本文的目的是研究在多孔介質(zhì)流中相互作用的Forchheimer-Darcy方程組的解對(duì)Forchheimer系數(shù)的收斂性。平面Z=x3=0的適當(dāng)部分L是Ω1和Ω2中的共同邊界，其中，Ω1是x3＞ 0的區(qū)域，而Ω2是x3＜0的區(qū)域，即邊界 L 是 ?Ω1和 ?Ω2的共同接觸面。一方面，假設(shè)黏性流體在Ω1中是緩慢流動(dòng)的，所以對(duì)應(yīng)Forchheimer方程組。另一方面，假設(shè)黏性流體在Ω2中在多孔介質(zhì)中滿(mǎn)足Darcy方程組。Ω1和Ω2的共同邊界用L表示，其余邊界部分用Γ1和Γ2表示，因此，?Ω1=Γ1∪L和?Ω2=Γ2∪L。

首先，在 Ω1×[0，τ]中，討論 Forchheimer流體方程組：

其中，ui，p，T分別為速度、壓強(qiáng)和溫度，gi(x)為重力向量函數(shù)，假設(shè) gi滿(mǎn)足|g|≤ G1，|?g|≤ G2，Δ 為拉普拉斯算子，k為熱擴(kuò)散系數(shù)，Ω1為R3中有界單連通的星形區(qū)域，τ為給定的且0≤τ＜∞的數(shù)?！?，”表示求偏導(dǎo)，“，i” 表示對(duì) xi求偏導(dǎo)，如，重復(fù)指標(biāo)表示求和，如

在 Ω2×[0，τ]中，討論 Darcy流體方程組：

其中，vi，q，S分別為速度、壓強(qiáng)和溫度，kS為熱擴(kuò)散系數(shù)，Ω2為R3中有界單連通的星形區(qū)域，邊界條件為

最后，在界面上假設(shè)L×{t＞0}滿(mǎn)足

1 先驗(yàn)界

首先，估計(jì)關(guān)于T和S的界。方程組(1)第3式兩邊同乘 2rT2r-1(r＞ 1)，且在 Ω1×[0，t]上積分，可得

2 收斂性