謝 瑤，張 磊*，唐亞鳴，丁根宏

(1.河海大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，江蘇 常州 213022；2.河海大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 南京 210098)

0 引 言

伸縮臂臂架常見于起重機(jī)、挖掘機(jī)和高空作業(yè)車等工程機(jī)械中，廣泛應(yīng)用于建筑、消防等行業(yè)[1，2]。在工作過程中，伸縮臂臂架截面由于外力的原因容易產(chǎn)生拉伸、彎曲等變形[3]，直接影響到工程設(shè)備的工作性能。對此的相關(guān)研究方面，傳統(tǒng)的梁理論忽略了翹曲、畸變等高階變形，難以反映臂架真實(shí)的力學(xué)行為，所以有必要深入研究伸縮臂臂架的動力學(xué)特性。

針對伸縮臂臂架的動力學(xué)分析，國內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了深入的研究。王志彪、蒙樹立[4，5]將臂架模擬成柔性體模型，結(jié)合柔性多體動力學(xué)和基礎(chǔ)振動理論，建立了臂架的剛性模型和柔性模型；都亮[6]對高空作業(yè)車模型進(jìn)行了運(yùn)動彈性動力學(xué)分析，并基于KED方法對臂架系統(tǒng)的多柔體動力學(xué)方程進(jìn)行了求解；李濤等[7-9]將臂架簡化為具有端部質(zhì)量的變截面階梯梁，基于梁的振動理論，結(jié)合邊界條件和連接處連續(xù)性條件，建立了伸縮臂的動力學(xué)模型，李圣[10]和SAWODNY O[11]基于哈密頓原理推導(dǎo)了各節(jié)臂架的振動方程，求解了臂架前三階振型函數(shù)及固有頻率。但在以上的研究中，臂架的動力學(xué)模型大都是通過解析法建模，求解過程復(fù)雜，且在建立臂架模型時(shí)很少考慮截面畸變、翹曲等高階形變對于臂架動力學(xué)的影響，使得計(jì)算結(jié)果存在一定的誤差。

本文考慮包括臂架截面拉伸、扭轉(zhuǎn)、畸變、翹曲等形變的完全耦合，根據(jù)廣義位移和廣義坐標(biāo)建立截面中線上的位移場，結(jié)合哈密頓原理，分別建立臂節(jié)和伸縮臂系統(tǒng)的動力學(xué)模型，并通過數(shù)值算例驗(yàn)證其可行性；同時(shí)分析在不同幾何參數(shù)條件下，高階特征形變對伸縮臂振動性能的影響。

1 伸縮臂系統(tǒng)的物理模型

本文考慮兩節(jié)臂架的伸縮臂系統(tǒng)，將伸縮臂簡化為一端固定的矩形薄壁梁，認(rèn)為第一節(jié)臂架的內(nèi)表面和第二節(jié)臂架的外表面在連接處固定貼合。

伸縮臂結(jié)構(gòu)簡圖如圖1所示。

圖1 伸縮臂結(jié)構(gòu)簡圖

圖1中，以臂架截面中心為原點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系(x，y，z)，兩節(jié)臂架長度分別為(l1+l3)和(l2+l3)，兩節(jié)臂架的厚度均為t。

2 伸縮臂系統(tǒng)的動力學(xué)建模

2.1 臂節(jié)的動力學(xué)模型

在考慮了截面變形對于臂節(jié)動力學(xué)建模的影響基礎(chǔ)上，筆者在截面中線上建立局部坐標(biāo)系，如圖2所示。

圖2 截面中線上的局部坐標(biāo)系

圖2中，截面寬度和高度分別為b和h，局部坐標(biāo)系由切向s、法向n和軸向z定義，用于描述截面在各個(gè)方向上的變形。其中，切向坐標(biāo)s以a1為起點(diǎn)沿截面中線逆時(shí)針方向，法向n與s垂直并指向壁板內(nèi)側(cè)。

本文借鑒張磊[12]對矩形薄壁梁的分析方法，通過考慮截面8種變形模式來完成臂節(jié)的動力學(xué)建模。

變形模式如圖3所示。

圖3 變形模式

圖3中，變形模式圖3(a～c,e～f)是基于鐵木辛柯梁理論的低階特征形變，變形模式圖3(d,h)是基于翹曲和畸變的高階特征形變；變形模式的形函數(shù)推導(dǎo)方法可以直接借鑒[13]。

筆者采用模態(tài)疊加的方法，將定義在臂架軸線上的截面變形模式的形函數(shù)線性疊加，用軸向u(s,z)、切向v(s,z)和法向w(s,z)3個(gè)位移分量來表示截面中線上點(diǎn)的位移，即：

(1)

式中：φ(s)—平面外變形的廣義坐標(biāo)；ψ(s)，ω(s)—平面內(nèi)變形的廣義坐標(biāo)；χ—廣義位移向量。

χ=[χ1(z)χ2(z) …χ8(z)]T

(2)

二維位移分量b可以表示為：

b=ψχ

(3)

式中：ψ—變形模式對應(yīng)的廣義坐標(biāo)。

(4)

三維位移場B(u,v,w)可由二維位移分量b轉(zhuǎn)換而得：

B=Lb

(5)

式中：L—微分算子。

(6)

根據(jù)哈密頓原理有：

(7)

式中：T—臂架的動能；U—臂架勢能；W—外力勢能。

且有：

(8)

式中：ρ—臂架材料密度。

(9)

式中：ε—應(yīng)變向量；σ—應(yīng)力分量。

即有：

ε=CB

(10)

σ=Ehε

(11)

式中：C—微分算子；Eh—本構(gòu)矩陣。

即：

(12)

(13)

式中：E—楊氏模量；v—泊松比；G—剪切模量。

W為：

(14)

式中：Λ—軸向的積分區(qū)域；Ω—s坐標(biāo)的積分區(qū)域；n—薄壁梁的外表面；p，q—作用在臂架截面上的分布力列向量。

將式(8～14)代入式(7)，可得：

(15)

將式(2～6)代入式(15)，即可得到控制微分方程的具體形式。

本文采用有限單元法求解臂節(jié)的控制方程，通過拉格朗日插值函數(shù)沿軸線方向?qū)⒈酃?jié)離散為n個(gè)單元，即:

χ=Ndi,i=1,2…n

(16)

式中：i—單元節(jié)點(diǎn)號；N—線性插值形函數(shù)；d—單元i的節(jié)點(diǎn)位移向量。

且有：

(17)

di=[χ1(i) …χ8(i)χ1(i+1) …χ8(i+1)]T

(18)

式中：ξ1，ξ2—形函數(shù)；(i)，(i+1)—單元兩端。

則臂節(jié)總體節(jié)點(diǎn)位移向量Dr可以表示為：

Dr=[χ1(1) …χ8(1) …χ1(n) …χ8(n)]T

(19)

將式(16～19)代入式(15)，可得：

(20)

式中：l—單元長度。

并將控制微分方程的形式整理為：

(21)

式中：m—單元質(zhì)量矩陣；k—單元剛度矩陣。

(22)

(23)

筆者通過MATLAB編制相應(yīng)的有限元程序，求解單元質(zhì)量矩陣m和單元剛度矩陣k，結(jié)合邊界條件，組裝形成臂節(jié)的總體質(zhì)量矩陣M1和總體剛度矩陣K1，其中：

(24)

(25)

式中：Tri—節(jié)點(diǎn)位移向量di到總體節(jié)點(diǎn)位移向量Dr的轉(zhuǎn)換矩陣。

2.2 臂架連接處動力學(xué)模型

筆者分別用兩節(jié)臂架的位移場來表示連接處的位移，理論上前一節(jié)臂架內(nèi)表面與后一節(jié)臂架外表面在連接處位移應(yīng)該相等，但考慮到模型簡化，兩種位移場表示的位移存在一定的差值，借鑒JANG等[14]在研究薄壁梁的處理方法，認(rèn)為在位移場差值最小條件下的計(jì)算精度最高。

用兩節(jié)臂架的位移場表示連接處的位移，即：

Br1=Lr1ψr1Ndr1

(26)

Br2=Lr2ψr2Ndr2

(27)

兩節(jié)臂架在連接處的位移場差值可以表示為：

(28)

將式(26，27)代入式(28)，當(dāng)差值取極值點(diǎn)時(shí)最小，即：

(29)

式中：T—dr1與dr2之間的轉(zhuǎn)換矩陣。

考慮到(Lr1ψr1N)T不恒為0，即有：

Lr1ψr1Ndr1-Lr2ψr2NTdr1=0

(30)

轉(zhuǎn)換矩陣T可以表示為：

T=(T2)-1T1

(31)

式中：T1，T2—轉(zhuǎn)換矩陣。

T1，T2分別為：

(32)

(33)

2.3 伸縮臂系統(tǒng)的動力學(xué)建模

參考臂節(jié)的建模方法對第2節(jié)臂架進(jìn)行動力學(xué)建模，考慮臂架連接處的位移連續(xù)性，完成伸縮臂系統(tǒng)的動力學(xué)建模。

兩節(jié)臂架的運(yùn)動方程分別為：

(34)

(35)

式中：D1，D2—對應(yīng)臂架節(jié)點(diǎn)位移向量。

將兩節(jié)臂架的節(jié)點(diǎn)位移向量分別用伸縮臂整體節(jié)點(diǎn)位移向量D表示，則有：

D1=TaD

(36)

D2=TbD

(37)

式中：Ta，Tb—轉(zhuǎn)換矩陣。

依據(jù)臂節(jié)模型離散方法，將兩節(jié)臂架依次離散為n1和n2個(gè)單元，且連接處為n3個(gè)單元，則伸縮臂共有(n1+n2-n3)個(gè)單元，且不考慮固定端的位移向量，則共有(n1+n2-n3)個(gè)獨(dú)立節(jié)點(diǎn)，則有：

Ta=[I8n1×8n108n1×8(n2-n3)]

(38)

(39)

n=8n3-16n2+32

(40)

將伸縮臂系統(tǒng)的整體運(yùn)動方程表示為：

(41)

則有：

M=(Ta)TM1Ta+(Tb)TM2Tb

(42)

K=(Ta)TK1Ta+(Tb)TK2Tb

(43)

式中：M—質(zhì)量矩陣；K—剛度矩陣。

3 數(shù)值算例與動力學(xué)特性分析

利用MATLAB求解質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的廣義特征值，即可轉(zhuǎn)化得到系統(tǒng)的固有頻率。因此，筆者通過比較本文模型與ANSYS模型計(jì)算結(jié)果的差異，分析在不同尺寸、不同邊界條件下，高階形變對于臂架動力學(xué)特性的影響。

3.1 算例1：臂節(jié)模型

臂節(jié)模型取伸縮臂結(jié)構(gòu)的左端一節(jié)。參數(shù)包括：長度l1=0.55 m，l3=0.05 m，臂節(jié)截面b1=0.065 m，高度h1=0.086 m，厚度t=0.005 m，密度ρ=7 850 kg/m3，彈性模量E=2×1011Pa，泊松比v=0.3。

考慮到臂節(jié)模型的收斂性，此處的一維高階模型將臂節(jié)離散為60個(gè)單元；ANSYS模型采用shell181單元，控制單元尺寸為10 mm，將模型離散為1 920個(gè)Shell 181單元，其中沿臂架軸向60個(gè)單元。

臂節(jié)模型前10階固有頻率的比較如表1所示。

表1 臂節(jié)前10階固有頻率的比較

表1數(shù)據(jù)表明，此處的一維高階模型與ANSYS模型計(jì)算結(jié)果吻合良好，誤差在1%以內(nèi)，驗(yàn)證了臂節(jié)動力學(xué)模型的準(zhǔn)確性。

與傳統(tǒng)的鐵木辛柯梁理論模型相比，本文高階模型的優(yōu)點(diǎn)在于考慮了截面翹曲和畸變的影響。

筆者對不同幾何參數(shù)的臂節(jié)模型進(jìn)行數(shù)值分析，分析高階特征形變對于臂節(jié)動力學(xué)特性的影響。

不同長度的臂節(jié)模型前6階固有頻率對比如表2所示。

表2 不同長度的臂節(jié)模型固有頻率對比

表2中，在不同臂節(jié)長度下，本文模型的計(jì)算結(jié)果與ANSYS結(jié)果吻合良好；且對比數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，臂節(jié)模型的固有頻率隨著梁體長度的增加而減小。

不同厚度臂節(jié)前6階固有頻率對比如表3所示。

表3 不同厚度的臂節(jié)模型固有頻率對比

表3中，在不同臂節(jié)厚度下，本文模型的計(jì)算結(jié)果與ANSYS結(jié)果吻合良好；且臂節(jié)模型的固有頻率隨著臂架厚度的增加而增加。

綜合以上數(shù)據(jù)表明：(1)本文的一維高階模型適用于不同幾何尺寸臂架的求解；對于長度越長、厚度越小的臂架，一維高階模型和鐵木辛柯梁模型的計(jì)算結(jié)果相差越小，表明此時(shí)高階特征形變對于臂架振動的影響越??；(2)兩者的計(jì)算結(jié)果在前2階時(shí)差別不大，表明此時(shí)高階特征形變的影響可以忽略，但隨著模態(tài)階數(shù)的增大，兩者誤差呈增大趨勢，此時(shí)高階特征形變的影響不能忽略，否則誤差最高可達(dá)10%的。

與ANSYS相比，本文方法將臂節(jié)離散為較少的單元，有著更高的計(jì)算效率，對不同幾何參數(shù)的臂架，只要修改對應(yīng)模型參數(shù)即可，無需重新建模。

不同邊界條件下，ANSYS模型、本文模型和Timoshenko梁模型的前20階固有頻率對比如圖4所示。

由圖4可知，在不同邊界條件下，一維高階模型與ANSYS模型結(jié)果都吻合良好；但在兩端固定條件下，一維高階模型與鐵木辛柯梁模型二者的差值明顯，表明兩端固定約束下，高階特征形變對于臂架振動的參與度更高。

圖4 不同邊界條件下固有頻率對比圖

3.2 算例2：伸縮臂模型

伸縮臂的結(jié)構(gòu)如圖1所示，其長度l2=0.75 m，截面寬b2=0.055 m，高度h2=0.076 m，其他參數(shù)同上。

一維高階模型將伸縮臂沿軸線方向離散為135個(gè)單元；兩節(jié)臂架在連接處可認(rèn)為處于固定約束，ANSYS模型通過耦合所有方向自由度來模擬兩節(jié)臂架的接觸情況，單元尺寸為10 mm，共離散為3 880個(gè)Shell 181單元，其中沿臂架軸向?yàn)?35個(gè)單元。

伸縮臂前10階固有頻率的對比如表4所示。

表4 伸縮臂前10階固有頻率的比較

表4數(shù)據(jù)表明：一維高階模型與ANSYS模型計(jì)算出的伸縮臂固有頻率結(jié)果吻合良好，誤差在1.2%以內(nèi)，由此驗(yàn)證了伸縮臂模型的可靠性。

不同連接處長度的伸縮臂模型前6階固有頻率對比如表5所示。

表5 不同連接處長度(l2)的伸縮臂固有頻率

表5數(shù)據(jù)表明：隨著長度l2的增加，伸縮臂整體長度減小，固有頻率總體上呈緩慢增大趨勢，與臂節(jié)模型的變化規(guī)律吻合。

4 結(jié)束語

針對伸縮臂臂架動力學(xué)建模繁瑣、求解復(fù)雜和精度不高的問題，筆者提出了一種考慮截面變形模式的伸縮臂臂架動力學(xué)建模及其求解方法，并且得到了如下的研究結(jié)論：

(1)與ANSYS相比，本文方法有著更高的計(jì)算效率，對于不同幾何參數(shù)的臂架，只要修改對應(yīng)模型參數(shù)即可，無需重新建模；

(2)本文對于臂節(jié)模型和伸縮臂系統(tǒng)建立的動力學(xué)模型與ANSYS計(jì)算結(jié)果吻合良好，證明該方法是可靠的；

(3)對于伸縮臂系統(tǒng)前2階模態(tài)，高階特征形變可以忽略；高于2階模態(tài)，一維高階模型和鐵木辛柯梁模型的計(jì)算結(jié)果出入較大，此時(shí)必須考慮翹曲和畸變高階特征形變的影響，且隨著模態(tài)階數(shù)的增大，高階特征形變對臂架振動的參與度越高；

(4)臂架的固有頻率隨著梁體厚度的增加而增加，隨長度的增加而減小，隨高度的增加而減小。