張勇， 沈海東， 王博豪， 劉燕斌

(1.南京航空航天大學(xué) 無人機(jī)研究院，江蘇 南京 210016；2.南京航空航天大學(xué) 中小型無人機(jī)先進(jìn)技術(shù)工業(yè)和信息化部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 南京 210016；3.南京航空航天大學(xué) 航天學(xué)院，江蘇 南京 210016)

通過在傳統(tǒng)固定翼無人機(jī)上加裝旋翼，混合翼垂直起降無人機(jī)結(jié)合了旋翼和固定翼無人機(jī)的優(yōu)點(diǎn)，不僅能夠同多旋翼無人機(jī)一樣垂直起降，還可以實(shí)現(xiàn)固定翼無人機(jī)一樣的高航時(shí)遠(yuǎn)航程[1]。因此，該類飛行器在軍事、民用領(lǐng)域均具有廣泛的應(yīng)用前景，其關(guān)鍵技術(shù)的研究引起了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注。

目前，垂直起降無人機(jī)可分為3類：傾轉(zhuǎn)旋翼無人機(jī)、混合翼無人機(jī)和尾座式無人機(jī)[2-4]。其中，傾轉(zhuǎn)旋翼無人機(jī)旋翼與機(jī)翼之間存在很強(qiáng)的氣動(dòng)耦合，且傾轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)困難，導(dǎo)致其安全性難以保證[5-6]。尾座式垂直起降無人機(jī)動(dòng)力學(xué)模型耦合強(qiáng)、歐拉角奇異，導(dǎo)致其控制器設(shè)計(jì)非常困難[7-10]。相比之下，混合翼垂直起降無人機(jī)無需復(fù)雜的傾轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)，還能在起降中實(shí)現(xiàn)無人機(jī)姿態(tài)的穩(wěn)定，消除了歐拉角奇異問題，所以將旋翼與固定翼復(fù)合而成的垂直起降方案是目前工程實(shí)現(xiàn)難度最低、實(shí)用性及可靠性最強(qiáng)的方案[11]。

混合翼垂直起降無人機(jī)在垂直起飛狀態(tài)和前飛狀態(tài)的氣動(dòng)模型存在巨大的差別，因此其過渡過程的穩(wěn)定控制對整個(gè)飛行任務(wù)起著決定性作用。文獻(xiàn)[12]分別對混合式垂直起降無人機(jī)的垂起模式、過渡模式和平飛模式3種模式進(jìn)行了六自由度的建模，并使用積分滑?？刂破鲗?shí)現(xiàn)了垂起模式下高度和航向的控制。文獻(xiàn)[13]根據(jù)混合翼無人機(jī)存在的固定翼巡航模式時(shí)不活動(dòng)的旋翼將會(huì)增加空氣阻力的問題，提出了形態(tài)盒方法將其結(jié)合到一致的降阻系統(tǒng)的設(shè)計(jì)概念。文獻(xiàn)[14]通過傳統(tǒng)的三回路PID控制器實(shí)現(xiàn)了混合翼垂直起降無人機(jī)的控制，保證了不同模式間控制信號(hào)的平滑切換。文獻(xiàn)[15]針對副翼卡住等多種特殊情況，基于線性自抗擾技術(shù)設(shè)計(jì)了無人機(jī)過渡過程的容錯(cuò)控制器。

Saydy等[16]提出了保護(hù)映射理論，用來分析處理參數(shù)化矩陣族和多項(xiàng)式的廣義穩(wěn)定性，可以更加方便地分析帶參數(shù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[17]通過一個(gè)二階線性模型驗(yàn)證了保護(hù)映射理論用于解決帶參數(shù)線性系統(tǒng)的魯棒廣義穩(wěn)定性問題的有效性。肖地波等[18]將保護(hù)映射理論用于高超聲速飛行器大包線控制律的設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)了飛行控制參數(shù)的自適應(yīng)整定。

本文提出了一種基于保護(hù)映射理論的混合翼垂直起降無人機(jī)過渡過程自適應(yīng)切換控制律設(shè)計(jì)方法。首先推導(dǎo)了無人機(jī)過渡過程的非線性動(dòng)力學(xué)模型，并基于雅可比線性化方法，獲得了過渡過程中飛行器線性變參數(shù)模型；給出了自適應(yīng)切換控制律設(shè)計(jì)的具體步驟；通過數(shù)值仿真驗(yàn)證了所提方法的有效性。

1 垂直起降無人機(jī)建模

本文研究的混合翼垂直起降無人機(jī)如圖1所示。將4個(gè)用以提供垂直起降時(shí)所需升力的旋翼，安裝在機(jī)翼兩側(cè)，與水平面保持平行。為了減少旋翼與固定翼之間力和力矩的相互影響，應(yīng)將4個(gè)旋翼的機(jī)械中心放到固定翼的氣動(dòng)中心，從而提高4個(gè)旋翼的工作效率。

圖1 混合翼垂直起降無人機(jī)Fig.1 Hybrid wing vertical take-off and landing UAV

1.1 混合翼垂直起降無人機(jī)過渡過程動(dòng)力學(xué)模型

旋翼模式、固定翼模式和過渡模式是混合翼垂直起降無人機(jī)的3種飛行模式。飛行過程如圖2所示。在旋翼模式下依靠4個(gè)旋翼工作，過渡模式需要旋翼與固定翼同時(shí)工作，固定翼模式動(dòng)下僅有固定翼工作。

圖2 混合翼垂直起降無人機(jī)模態(tài)轉(zhuǎn)換過程Fig.2 Transition process of hybrid wing UAV

傳統(tǒng)的旋翼或固定翼無人機(jī)的建模方法已經(jīng)比較成熟，而混合式垂直起降無人機(jī)在過渡過程中旋翼部分和固定翼部分的控制面和系統(tǒng)輸入均對飛行器整體施加作用，旋翼部分和固定翼部分的控制面和系統(tǒng)輸入又不盡相同。但歸根結(jié)底兩部分施加的力和力矩都可分解到三維坐標(biāo)X、Y、Z軸上。這樣即可對混合翼垂直起降無人機(jī)進(jìn)行非線性六自由度建模。

對于無人機(jī)平動(dòng)有：

(1)

式中：m為無人機(jī)質(zhì)量；Vb為無人機(jī)在機(jī)體坐標(biāo)系下的速度；ω為無人機(jī)機(jī)體坐標(biāo)系相對于慣性系的角速度；fb為無人機(jī)在機(jī)體坐標(biāo)系下的受力[5]。

將式(1)展開得：

(2)

式中：Fx、Fy、Fz為無人機(jī)在機(jī)體坐標(biāo)系下沿機(jī)體軸方向受力的分量；u、v、w為沿機(jī)體坐標(biāo)軸方向上的速度分量；p、q、r為沿機(jī)體坐標(biāo)軸各方向上的角度分量。Fx、Fy、Fz為：

(3)

式中：Ffx、Ffy、Ffz為固定翼在機(jī)體軸3個(gè)方向上的分力；Fxz、Fyz、Frz為旋翼在機(jī)體軸3個(gè)方向上產(chǎn)生的升力。

對于無人機(jī)繞質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)有：

(4)

式中：L、M、N為無人機(jī)受力矩在機(jī)體坐標(biāo)軸上的投影；J為慣性矩陣：

(5)

式中：lf、mf、nf為固定翼產(chǎn)生的滾轉(zhuǎn)、俯仰、偏航力矩；lr、mr、nr為旋翼產(chǎn)生的滾轉(zhuǎn)、俯仰、偏航力矩。

現(xiàn)假設(shè)過渡過程中飛行器水平無側(cè)滑飛行，則過渡過程縱向運(yùn)動(dòng)方程組為：

(6)

式中：T為固定翼推力；D為無人機(jī)所受阻力；α為迎角；θ為俯仰角；V為前飛速度。

1.2 混合翼垂直起降無人機(jī)過渡過程LPV建模

過渡過程最重要特征參數(shù)是混合翼垂直起降無人機(jī)的前飛速度，在無人機(jī)過渡過程中前飛速度由從0開始加速，直到固定翼起飛速度，即18 m/s，前飛速度的增加同時(shí)導(dǎo)致固定翼提供的升力也在不斷增加，此時(shí)需要調(diào)整旋翼油門，從而保持合理的飛行姿態(tài)。將縱向運(yùn)動(dòng)方程組在速度V=[0,18] m/s范圍內(nèi)進(jìn)行配平，并對配平狀態(tài)進(jìn)行線性化，線性擬合得到關(guān)于前飛速度V的表達(dá)式：

(7)

式中:系統(tǒng)狀態(tài)x=[Vαqhθ];輸入u=[δtδeT1T2];δt為固定翼油門；δe為升降舵輸入；T1、T2分別為前邊一對和后邊一對的旋翼油門。

2 保護(hù)映射理論

2.1 保護(hù)映射的定義與構(gòu)造

保護(hù)映射是一種將N階實(shí)矩陣集映射到復(fù)平面某一區(qū)域上的標(biāo)量映射。定義映射ν將Rn×n實(shí)矩陣的集合映射到整個(gè)復(fù)平面C，Ω為復(fù)平面上某一已知區(qū)域。定義矩陣集合S：

S(Ω)={A∈Rn×n∶λ(A)?Ω}

(8)

(9)

此時(shí)稱ν為S(Ω)的保護(hù)映射。

3種典型凸區(qū)域的保護(hù)映射定義如下：

1)圖3(a)為虛軸向左平移σ的左半平面，其對應(yīng)的保護(hù)映射為：

νσ(As)=det(As?I-σI?I)det(As-σI)

(10)

式中運(yùn)算符號(hào)?為Bialternate積。

2)圖3(b)為以復(fù)平面原點(diǎn)為圓心半徑為ωn的圓盤，其保護(hù)映射：

(11)

3)圖3(c)所示的內(nèi)角為2θ的圓錐面，即阻尼比大于ξ=cosθ區(qū)域，相應(yīng)的保護(hù)映射為：

(12)

通過上述3種典型凸區(qū)域的保護(hù)映射組成飛行控制系統(tǒng)穩(wěn)定區(qū)域的保護(hù)映射：

ν(As)=νσ(As)νωn(As)νξ(As)

(13)

圖3 3種典型區(qū)域Fig.3 Three typical regions

2.2 基于保護(hù)映射理論的穩(wěn)定性分析

保護(hù)映射理論描述了特征值在復(fù)平面上特定區(qū)域內(nèi)的矩陣集與復(fù)平面上的點(diǎn)之間的映射關(guān)系，而矩陣集可以用來表示需要穩(wěn)定性分析的系統(tǒng)，矩陣集所有特征值的位置可以用來表示系統(tǒng)的極點(diǎn)位置。因此通過使用保護(hù)映射理論分析矩陣集的穩(wěn)定性，就能夠判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

設(shè)系統(tǒng)可以用連續(xù)參數(shù)r∈Rn決定的實(shí)數(shù)方陣集A(r)表示，并且已知參數(shù)r邊界，那么矩陣集A(r)的穩(wěn)定性就可以根據(jù)如下引理進(jìn)行判斷：

引理1[19]如果νΩ是n維矩陣集關(guān)于區(qū)域Ω的保護(hù)映射，要使矩陣集{A(r),r∈Rn}穩(wěn)定則需滿足的充要條件是：在參數(shù)r的上下界范圍內(nèi)存在某一個(gè)值r0使得A(r0)特征值在區(qū)域Ω中，并且對于任意參數(shù)r，都有νΩ[A(r0)]νΩ[A(r)]>0。

可由上述引理得出推論1[19]：由條件νΩ[A(r)]=0將參數(shù)r∈Rn空間分成的若干子空間中的任意一個(gè)參數(shù)rp使得A(rp)穩(wěn)定，則這個(gè)子空間的所有參數(shù)r確定的矩陣都關(guān)于復(fù)平面區(qū)域Ω穩(wěn)定。

根據(jù)引理1，若想要判斷矩陣集的穩(wěn)定性，首先尋找參數(shù)r0使得矩陣A(r0)關(guān)于區(qū)域Ω穩(wěn)定，且νΩ[A(r0)]。由于νΩ[A(r0)]νΩ[A(r)]是一個(gè)關(guān)于參數(shù)r有關(guān)的函數(shù)，則可以通過判斷νΩ[A(r0)]νΩ[A(r)]的正負(fù)來判斷νΩ[A(r0)]與νΩ[A(r)]是否同號(hào)，若同號(hào),則說明參數(shù)r使得矩陣A(r)關(guān)于區(qū)域Ω穩(wěn)定。同時(shí)當(dāng)νΩ[A(r)]=0時(shí),即可判定矩陣穩(wěn)定是的參數(shù)r的范圍。

3 控制器設(shè)計(jì)

3.1 控制器結(jié)構(gòu)

為使飛行器能夠從旋翼單獨(dú)工作的懸停狀態(tài)轉(zhuǎn)換到固定翼單獨(dú)工作的狀態(tài)，需要飛行器在過渡過程中達(dá)到足夠的前飛速度，使固定翼機(jī)翼和機(jī)身產(chǎn)生足夠與重力平衡的升力。采用LQR理論設(shè)計(jì)最優(yōu)跟蹤控制，使飛行器前飛速度由0逐漸加速到起飛速度，并在過渡過程中保證平穩(wěn)。

對于飛行器小擾動(dòng)線性化之后的平衡點(diǎn)線性系統(tǒng)為：

(14)

跟蹤輸入信號(hào)為z=[v(t)h(t)]T，跟蹤輸出信號(hào)為y=Cx0，輸入與輸出誤差定義為：

e1=z-y

(15)

令誤差積分：

(16)

代入到系統(tǒng)進(jìn)行擴(kuò)維：

(17)

令x2=[x0x1]T，擴(kuò)維后的系統(tǒng)寫為：

(18)

得到關(guān)于系統(tǒng)誤差的狀態(tài)方程：

(19)

取二次性能指標(biāo)為：

(20)

式中：Q為半正定矩陣；R為正定矩陣。標(biāo)函數(shù)的意義為使用較小的輸入量使得系統(tǒng)的狀態(tài)量的誤差盡可能地小，所以當(dāng)取得能量函數(shù)J最小時(shí)，目標(biāo)成立：

zTMTQMz+uTRu)dt

(21)

為使性能指標(biāo)的值最小，利用標(biāo)準(zhǔn)解法求得Riccati方程和伴隨向量方程。

u=-Kxx-Kzz

(22)

式中：

Kx=R-1BTP

Kz=(PBR-1BT-AT)-1(CTQM+PG)

3.2 基于保護(hù)映射理論的控制參數(shù)整定與穩(wěn)定區(qū)域分析

首先選擇合適的控制器結(jié)構(gòu)，在過渡過程起始點(diǎn)計(jì)算控制器參數(shù)K0，并應(yīng)用保護(hù)映射理論計(jì)算控制器參數(shù)K0使得系統(tǒng)關(guān)于已知區(qū)域Ω穩(wěn)定的調(diào)度參數(shù)范圍。接下來取調(diào)度參數(shù)邊界值重新計(jì)算新的控制器參數(shù)K1及其對應(yīng)的穩(wěn)定范圍，直至控制器參數(shù)Kn使得系統(tǒng)穩(wěn)定的調(diào)度參數(shù)范圍涵蓋整個(gè)過渡過程。

在該算法中，只需要選定控制架構(gòu)及初始控制參數(shù)，后續(xù)控制參數(shù)可由自動(dòng)迭代獲得，不必在每個(gè)點(diǎn)計(jì)算控制參數(shù)。算法步驟如圖4所示。

只要給出控制結(jié)構(gòu)和初始得到控制參數(shù)，可以通過該算法得出數(shù)組控制律和每組控制律使得系統(tǒng)穩(wěn)定的調(diào)度參數(shù)范圍。所得的多組控制律根據(jù)其對應(yīng)的調(diào)度參數(shù)范圍進(jìn)行自適應(yīng)切換，從而對研究對象進(jìn)行控制。

基于保護(hù)映射進(jìn)行參數(shù)整定是一種離線調(diào)參方法，通過判定閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)是否滿足在性能指標(biāo)對應(yīng)的目標(biāo)區(qū)域Ω內(nèi)來調(diào)整控制參數(shù)。本文所采用的目標(biāo)區(qū)域定義為2.1節(jié)中式(13)，其中包括了閉環(huán)極點(diǎn)位于復(fù)平面左半平面的約束，因此最終獲得的控制參數(shù)能夠保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

圖4 單變量系統(tǒng)控制參數(shù)自適應(yīng)整定算法流程Fig.4 Flow chart controller searching for one-parameter varying system

4 仿真結(jié)果

4.1 LPV模型驗(yàn)證

本文研究的混合翼垂直起降無人機(jī)過渡過程的前飛速度范圍是V=[0,18] m/s，假設(shè)飛行高度保持100 m，在不同前飛速度下對飛行器進(jìn)行配平，各配平點(diǎn)特征值分布如圖5所示，對應(yīng)的控制輸入如圖6所示。

圖5 不同飛行速度下系統(tǒng)特征根分布Fig.5 Eigenvalues under different velocities

由圖5可以得出，在前飛速度V=[0,18] m/s，系統(tǒng)中存在實(shí)部大于0的特征根，在速度變化過程中會(huì)出現(xiàn)不穩(wěn)定狀態(tài)。在過渡過程中，短周期模態(tài)特征值受前飛速度影響產(chǎn)生的變化較大，長周期模態(tài)特征值影響產(chǎn)生的變化相對較小，特征值在前飛速度增大時(shí)會(huì)逐漸向左半平面移動(dòng)，因此過渡過程中，隨著前飛速度的不斷增加，無人機(jī)的穩(wěn)定性會(huì)變得越來越好。當(dāng)前飛速度較低時(shí)，力和力矩的施加主要依靠旋翼，此時(shí)無人機(jī)的飛行特性與普通四旋翼無人機(jī)更相似，然而普通四旋翼無人機(jī)是不穩(wěn)定系統(tǒng)，這也就解釋了前飛速度較低時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定性差的原因。伴隨著前飛速度增加，機(jī)翼以及各舵面所產(chǎn)生的力和力矩也會(huì)不斷增加，旋翼部分施加的力和力矩協(xié)同降低，此時(shí)無人機(jī)的飛行特性更類似于固定翼無人機(jī)，固定翼無人機(jī)是穩(wěn)定系統(tǒng)，所以當(dāng)前飛速度增大后，混合翼垂直起降無人機(jī)穩(wěn)定性也不斷增強(qiáng)。

圖6 不同前飛速度對應(yīng)的控制輸入Fig.6 Control inputs under different velocities

與速度相比，過渡過程中高度對模型影響可以忽略，所以在飛行包線內(nèi)根據(jù)前飛速度來選取設(shè)計(jì)點(diǎn)，最后把變參數(shù)進(jìn)行歸一化：

(23)

基于線性化得到的5個(gè)LTI模型，獲得無人機(jī)的LPV系統(tǒng)模型:

(24)

對所建立的LPV模型進(jìn)行驗(yàn)證，通過將建立的模型與無人機(jī)非線性模型兩者進(jìn)行對比，從而判斷模型是否正確。首先，初始狀態(tài)設(shè)定為前飛速度為9 m/s，高度為100 m時(shí)的配平狀態(tài)，固定翼油門開度為10%，經(jīng)過5 s的仿真后，固定翼油門開度調(diào)整為20%，整個(gè)過程2個(gè)模型響應(yīng)如圖7所示。

從LPV模型和非線性模型的響應(yīng)對比圖可以得出，2種模型結(jié)果十分接近，所以通過雅克比線性化得到的LPV模型能夠很好地替代已有的混合翼垂直起降無人機(jī)非線性模型。

圖7 LPV模型與非線性模型各狀態(tài)響應(yīng)對比Fig.7 Response of nonlinear and LPV systems

4.2 控制器設(shè)計(jì)仿真

根據(jù)保護(hù)映射理論求出使控制器滿足條件的穩(wěn)定范圍上邊界為0.413 9 m/s,以此上邊界計(jì)算相應(yīng)的控制律矩陣。以此類推，得到的隨前飛速度變化控制器序列及穩(wěn)定區(qū)域的上邊界分別為：0.413 9、1.822 9、20.564 1 m/s。至此,3個(gè)控制器能夠使閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)穩(wěn)定在期望的復(fù)平面區(qū)域。將各個(gè)控制器控制律參數(shù)的插值擬合，避免在各個(gè)穩(wěn)定鄰域邊界處的控制器參數(shù)突變。

采用上述計(jì)算的控制器參數(shù)在飛行包線V=[0,18] m/s，對混合式垂直起降無人機(jī)非線性模型進(jìn)行仿真分析。在h=100 m給定高度下，針對初始前飛速度V=[0,12] m/s,每隔1 m/s取初始狀態(tài)，給定跟蹤速度跟蹤偏差信號(hào)為2 m/s進(jìn)行速度跟蹤控制，其速度及高度響應(yīng)曲線如圖8。

圖8 不同初始速度下指令跟蹤效果Fig.8 Tracking performance under different initial velocities

由圖8可以看出，在各個(gè)初始速度下均能快速對速度進(jìn)行較好的跟蹤，同時(shí)飛行高度也能保證在合理的范圍變化之內(nèi)，并最終穩(wěn)定在初始給定值。

在給定高度h=100 m，前飛速度V=0 的初始條件下。給定斜坡信號(hào)，并使斜坡信號(hào)達(dá)到18 m/s后進(jìn)行保持，在飛行器非線性模型中進(jìn)行仿真分析得到速度V、高度h、迎角、俯仰角θ和俯仰角速率q隨時(shí)間的變化曲線，如圖9所示。其中圖9(a)中對比了本文基于保護(hù)映射的控制參數(shù)整定方法與文獻(xiàn)[20]中常規(guī)分段增益調(diào)度方法的速度和高度跟蹤效果。

由圖9可知，基于保護(hù)映射的切換控制相比常規(guī)增益調(diào)度切換控制具有更快的速度跟蹤和更穩(wěn)定的高度保持效果。同時(shí)，無人機(jī)前飛速度能夠良好地跟蹤斜坡信號(hào)并逐漸增加到給定輸入值，在前飛速度跟蹤過程中飛行高度有0.1 m的掉高，達(dá)到前飛速度設(shè)定值后高度保持在給定高度。該過渡過程對應(yīng)的控制輸入如圖10所示。由圖10可知升降舵在跟蹤過程中偏轉(zhuǎn)角在合理范圍之內(nèi)?；诒Ｗo(hù)映射的控制參數(shù)整定方法相較與常規(guī)的增益調(diào)度算法在整定效率上存在明顯優(yōu)勢，只需給定期望性能指標(biāo)對應(yīng)的穩(wěn)定區(qū)域及起始狀態(tài)點(diǎn)，即可自動(dòng)獲取滿足全包線范圍內(nèi)的所有控制參數(shù)。

圖9 過渡過程狀態(tài)量變化曲線Fig.9 States tracking during the transition process

圖10 過渡過程控制輸入Fig.10 Control inputs during the transition process

5 結(jié)論

1)通過對混合翼垂直起降無人機(jī)垂平過渡過程中旋翼和固定翼動(dòng)力學(xué)進(jìn)行一體化建模，推導(dǎo)出了混合翼垂直起降無人機(jī)縱向非線性動(dòng)力學(xué)方程組。

2)基于雅可比線性化方法建立了過渡過程的縱向LPV模型，通過對LPV模型及原非線性模型輸出響應(yīng)進(jìn)行對比，驗(yàn)證了所得LPV模型的準(zhǔn)確性。

3)通過使用增益調(diào)度方法設(shè)計(jì)了以線性二次型調(diào)節(jié)器為基礎(chǔ)的速度和高度跟蹤控制器，結(jié)合保護(hù)映射理論設(shè)計(jì)了控制律參數(shù)自適應(yīng)整定算法。仿真結(jié)果表明，所設(shè)計(jì)的自適應(yīng)控制律能夠?qū)崿F(xiàn)滿足混合翼垂直起降無人機(jī)過渡過程的設(shè)計(jì)要求，實(shí)現(xiàn)了定高加速過程中的穩(wěn)定控制。