張俊， 李天勻， 朱翔， 陳旭

(1.中國直升機(jī)設(shè)計研究所，江西 景德鎮(zhèn) 333000； 2.華中科技大學(xué) 船舶與海洋工程學(xué)院，湖北 武漢 430074； 3.船舶與海洋水動力湖北省重點實驗室，湖北 武漢 430074； 4.高新船舶與深海開發(fā)裝備協(xié)同創(chuàng)新中心，上海 200240)

板殼結(jié)構(gòu)廣泛應(yīng)用于各種工程領(lǐng)域，該種結(jié)構(gòu)通常非常薄，其剛度、強(qiáng)度可能無法滿足要求。由于增加板殼厚度會顯著地增加結(jié)構(gòu)的重量，此種方法并不可取。為了提高板的剛度和強(qiáng)度，加筋結(jié)構(gòu)以其重量輕、剛度大等優(yōu)勢被廣泛應(yīng)用于工程結(jié)構(gòu)中，于是其振動特性也非常值得關(guān)注。目前國內(nèi)外對加筋板的振動問題的研究成果已經(jīng)較為豐富，但是還并不完備，對于帶有開口的加筋板結(jié)構(gòu)及曲線型加筋結(jié)構(gòu)的振動特性的分析相對還很少。

已有大量應(yīng)用數(shù)值方法對加筋結(jié)構(gòu)的振動性能的分析成果，如應(yīng)用有限元法[1]、微分求積法[2]、光滑有限元法[3]、無網(wǎng)格伽遼金法[4]等。趙芝梅等[5]應(yīng)用ANSYS軟件，對基于改進(jìn)的子結(jié)構(gòu)線導(dǎo)納方法建立的多點激勵下加筋板殼耦合結(jié)構(gòu)的振動模型進(jìn)行驗證。Asokendu等[6]采用有限元法對加筋殼體的自振特性進(jìn)行分析，提出了一種新的殼單元，具有應(yīng)用范圍更廣，更加靈活的特點。在分析較為復(fù)雜的結(jié)構(gòu)問題時，數(shù)值方法具有較強(qiáng)的優(yōu)勢，但是解析方法作為一種能夠探求結(jié)構(gòu)內(nèi)部機(jī)理的方法，對其進(jìn)行研究具有重要的意義。

解析或半解析方法的應(yīng)用甚至更早。王宏偉等[7]應(yīng)用了拉普拉斯變換技術(shù)對L型加筋板的自由振動進(jìn)行研究，同時考慮了加強(qiáng)筋和板的材料阻尼影響。李凱等[8]基于能量泛函變分的方法，研究了附加多個集中質(zhì)量縱橫加筋板的自由振動特性，引入拉格朗日乘子把板、梁組合振動分析問題轉(zhuǎn)化為處理一類無約束泛函變分問題。杜菲等[9]基于瑞利李茲法對四邊固支的加筋板進(jìn)行研究，通過與實驗及ANSYS結(jié)果進(jìn)行對比說明計算的準(zhǔn)確性。應(yīng)用解析方法對加筋結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析具有良好的適用性[10-11]，但是以上研究多是對簡單矩形板的直線型加筋的分析，對帶有復(fù)雜開口加筋矩形板，開口曲線加強(qiáng)筋的分析還較少。

本文應(yīng)用瑞利李茲法對帶有復(fù)雜開口的矩形加筋板結(jié)構(gòu)的自振特性進(jìn)行分析，引入彈簧模型模擬各種復(fù)雜的邊界條件，并對結(jié)構(gòu)的模態(tài)振型進(jìn)行分析，為實際的工程問題中加筋結(jié)構(gòu)的振動性能的分析提供參考。

1 理論分析

本文的研究對象為帶有開口加強(qiáng)筋的加筋矩形板，示意圖如圖1，板面為一矩形板，長為a，寬為b，中心為一開口，板面帶有橫向和縱向的加筋，開口處存在加強(qiáng)筋，四周為沿矩形板邊界線性分布的位移約束線彈簧和轉(zhuǎn)角約束線彈簧，用以模擬復(fù)雜的外邊界條件。

圖1 加筋板物理模型Fig.1 Physical model of stiffened thin plate

邊界處存在2種線性分布的彈簧，模擬邊界條件時改變兩類彈簧剛度的取值。表1給出了幾種邊界條件的彈簧取值。

表1 經(jīng)典邊界條件對應(yīng)彈簧取值

應(yīng)用瑞利李茲法時，位移試函數(shù)對精度影響較大。改進(jìn)的傅里葉級數(shù)可以克服邊界處不連續(xù)現(xiàn)象，且不滿足特定的邊界條件，邊界條件只與彈簧的剛度系數(shù)有關(guān)，適用于模擬各種復(fù)雜的邊界條件。本文方法選用改進(jìn)的傅里葉級數(shù)作為試函數(shù)[12-13]，具體形式為：

(1)

式中：m=1，2，3，…,M；n=1，2，3，…,N。

求解整體的應(yīng)變能、動能、彈性勢能時，將整個結(jié)構(gòu)視為開口矩形板和加筋的組合，分別求解相關(guān)的能量，最后再進(jìn)行求和。

在計算開口矩形板時，應(yīng)用瑞利李茲法，首先假設(shè)一個位移試函數(shù)[14]：

(2)

式中：Amn為傅里葉級數(shù)展開系數(shù)；簡諧時間因子eiωt表示垂向位移與時間相關(guān)的項；M、N為截斷項數(shù)；fm(x)、gn(y)為x、y方向的容許梁函數(shù)，其具體表達(dá)式見式(1)。

無開口的矩形板的彎曲應(yīng)變能表示為:

(3)

無開口的矩形板的動能為：

(4)

式中ρ為材料的密度。

開口部分結(jié)構(gòu)的彎曲應(yīng)變能為：

(5)

式中s為開口部分形狀。

開口部分動能可以表示為：

(6)

儲存在邊界約束彈簧中的彈性勢能為：

(7)

式中：kx0、ky0、kxb、kyb分別為x=0、y=0、x=a、y=b處的位移約束彈簧的剛度值。Kx0、Ky0、Kxb、Kyb分別為x=0、y=0、x=a、y=b處的轉(zhuǎn)角約束彈簧的剛度值。

計算筋條的彎曲應(yīng)變能及動能時，選用與矩形板相同的位移試函數(shù)，通過使筋條的橫向位移與筋條所在位置板的橫向位移相等來保證筋條與板的位移連續(xù)性，將加筋視為歐拉梁模型。則橫向、縱向加筋筋條的彎曲應(yīng)變能、動能分別為：

(8)

式中：E為梁的彈性模量；I為梁的慣性矩；l為梁長；mbh和mbv分別為橫向加筋和縱向加筋的質(zhì)量密度。

由于加筋的存在，使結(jié)構(gòu)整體的中性軸與光板中面位置相比下移，在計算梁的慣性矩時，應(yīng)當(dāng)對其進(jìn)行修正，修正后的偏心距為[15]:

(9)

式中：S1、S2分別為板、梁橫截面面積；e為梁的中性軸到板中面的距離；e*為梁的中性軸到組合截面中性軸的距離。

在對曲線加筋進(jìn)行計算時，有時形狀較為不規(guī)則，無法直接積分求得彎曲應(yīng)變能及動能，引入數(shù)值方法對積分進(jìn)行計算，在計算積分時將梁沿長度進(jìn)行離散，得到小單元的中心點坐標(biāo)，再利用中點坐標(biāo)得到微段的應(yīng)變能和動能，再將所有微段的應(yīng)變能和動能求和，得到整體梁的應(yīng)變能和動能。

離散后的梁的彎曲應(yīng)變能為[16]：

(10)

離散后的梁的動能為：

(11)

式中：n為邊界的法線方向；l為邊界的總長度。如圖2[16]。

圖2 曲線加筋處偏導(dǎo)數(shù)計算示意Fig.2 Diagram of partial derivative calculation

式(11)中偏導(dǎo)數(shù)為：

(12)

離散筋條如圖3[16]。

圖3 加筋離散示意Fig.3 Diagram of discrete stiffeners

每個微段的長度為[16]：

(13)

于是系統(tǒng)的能量泛函可以表示為：

Π=Vp-Vpo+Vbh+Vbv+Vs-

T+To-Tbh-Tbv

(14)

將式(3)～(8)代入式(14)，并求極值：

(15)

式中Amn是用來描述薄板彎曲振動的未知系數(shù)。于是可以表示為：

(K-ω2M)A=0

(16)

式中：K為彈性勢能與整體結(jié)構(gòu)應(yīng)變能之和；M為質(zhì)量矩陣；A為未知系數(shù)向量；ω為圓頻率。

2 收斂性分析

2.1 收斂性

截斷項數(shù)M、N對能否取得較為準(zhǔn)確的結(jié)果影響較大，選取矩形加筋板進(jìn)行收斂性分析，邊界條件為四邊自由，參數(shù)如下：矩形板長a=10 m，寬b=10 m，厚度h=0.05 m。材料為鋼材：楊氏模量E=2.1×1011Pa，泊松比μ=0.3，密度ρ=7 850 kg/m3。加筋的截面為矩形截面，寬B=0.1 m，高H=0.1 m，加筋位置為橫向加筋y=5處，縱向加筋x=4、6處。

選取自由邊界對截斷項數(shù)進(jìn)行收斂性分析，與有限元模型進(jìn)行對比。表2給出加筋板在不同截斷項數(shù)M=N=q時對應(yīng)的前6階固有頻率。有限元網(wǎng)格數(shù)為36 860結(jié)果收斂。由表2可知，當(dāng)M=N=12時，矩形加筋板的固有頻率結(jié)果已經(jīng)收斂，后續(xù)算例中取M=N=12。

表2 截斷項數(shù)收斂性分析Table 2 Convergence analysis of truncated number

2.2 實例分析

以上述縱橫加筋板為例，計算固有頻率，與有限元結(jié)果進(jìn)行對比，計算兩者相對誤差。

本文將邊界條件進(jìn)行簡寫，其中C表示固支；S表示簡支；F表示自由；E表示彈性邊界。

表3中彈性邊界，y=0邊彈簧剛度系數(shù)為k=105N/m2，K=0 N/rad。

表3 矩形縱橫加筋板固有頻率Table 3 Natural frequencies of stiffened rectangular plates

選取帶有組合形狀開口的矩形加筋板，對其自振特性進(jìn)行分析，計算固有頻率，得到振型圖，與有限元結(jié)果進(jìn)行對比，說明分析的準(zhǔn)確性，示意圖如圖1。

模型的主要參數(shù)為長A=10 m，寬B=10 m，板厚H=0.05 m，中心開口半圓半徑為r=1，連接直邊為l=2 m，筋條截面為矩形，寬b1=0.1 m，高h(yuǎn)1=0.1 m，加筋位置為橫向加筋y=5處，縱向加筋x=4，x=6處，開口處加強(qiáng)筋寬b2=0.1 m，高h(yuǎn)2=0.1 m。有限元建模如圖4所示，計算時對網(wǎng)格劃分進(jìn)行收斂性分析，當(dāng)網(wǎng)格劃分為4 425時結(jié)果已收斂。

圖4 加筋板有限元模型Fig.4 Finite element model of stiffened plate

根據(jù)上面的分析，應(yīng)用Matlab編程，選取不同邊界條件對上述模型進(jìn)行計算，并與有限元模型結(jié)果對比，結(jié)果如表4所示。給出四邊固支前六階模態(tài)振型圖的對比圖如圖5，說明方法的準(zhǔn)確性。

表4 不同邊界加筋板的固有頻率結(jié)果對比 Table 4 Natural frequencies of stiffened plates Hz

表4據(jù)表明，本文方法計算結(jié)果與有限元仿真分析計算結(jié)果誤差很小，圖5中2種方法計算所得模態(tài)振型圖吻合良好。說明本方法在計算帶有開口的加筋板自由振動的準(zhǔn)確性。

圖5 模態(tài)振型圖對比Fig.5 Comparison of modal shapes

3 結(jié)論

1)傳統(tǒng)瑞利里茲法結(jié)合整體能量減去開口部分能量、彈簧模型模擬邊界條件等方法能夠非常靈活地對開口加筋等振動問題進(jìn)行計算。

2)結(jié)合離散的方法能夠非常靈活地實現(xiàn)對曲線型加筋的振動問題的計算，可以模擬圍壁加強(qiáng)等情況。