郭玄玄，王福章

(淮北師范大學 數(shù)學科學學院，安徽 淮北 235000)

高斯型徑向基函數(shù)方法屬于配點型無網(wǎng)格法，該法相對于基于網(wǎng)格劃分的傳統(tǒng)有限元法，僅需區(qū)域配點信息即可對所求問題進行數(shù)值模擬，具有無需網(wǎng)格劃分、原理簡單、易編程和譜收斂性等優(yōu)點[1-4].高斯型徑向基函數(shù)方法的特點在于直接借助于1 組區(qū)域離散點作為配點來構造微分方程邊值問題數(shù)值解的近似函數(shù)，近年來吸引了許多數(shù)學界和力學界專家進行深入研究.

目前，對高斯型徑向基函數(shù)的研究比較多.張志雄等[5]用Gaussian 徑向基函數(shù)對多個標志點的圖像配準來解決圖像局部彈性變換問題；John等[6]用Gaussian 徑向基函數(shù)求近似導數(shù)和微分方程；黎鳴[7]用Gaussian 徑向基函數(shù)網(wǎng)絡建立潛在剖面模型；袁桂霞等[8]提出了一種基于 Gaussian徑向基函數(shù)的復制-移動篡改檢測算法；柳丹等[9]提出了基于Gaussian 徑向基的子區(qū)域優(yōu)化溫度場重建算法；孔憲仁等[10]用改進Gaussian 徑向基函數(shù)響應面方法修正蜂窩板模型；Zheng 等[11]用Gaussian 徑向基函數(shù)研究了地下水的非穩(wěn)定流問題.盡管高斯型徑向基函數(shù)在實際問題的數(shù)值模擬中應用比較多，但針對高斯型徑向基函數(shù)精度的改進工作卻鮮見報道.

本文考慮橢圓型偏微分方程邊值問題，在數(shù)值模擬過程中，利用切比雪夫節(jié)點代替?zhèn)鹘y(tǒng)的均勻配點，與傳統(tǒng)高斯型徑向基函數(shù)方法和理論解的結果進行對比研究，并分析了基于切比雪夫節(jié)點的高斯型徑向基函數(shù)對橢圓型偏微分方程邊值問題的數(shù)值結果的影響.

1 高斯型徑向基函數(shù)配點法

為了簡要說明高斯型徑向基函數(shù)配點法的基本思路，以二維平面區(qū)域2Ω ?R 上的橢圓型偏微分方程的邊值問題為例，即

2 切比雪夫配點

眾所周知，傳統(tǒng)的高斯型徑向基函數(shù)配點法在數(shù)值模擬過程中所用的配點采用的是所考慮物理區(qū)域中的均勻布點，如圖1 所示.

圖1 傳統(tǒng)均勻布點

為了改進傳統(tǒng)配點型無網(wǎng)格法的數(shù)值模擬精度，本文引入了切比雪夫配點法，其基本思路是引入定義在區(qū)間( -1, 1)上的切比雪夫節(jié)點作為計算過程中的配點，增加區(qū)間端點 -1 和1，構成閉區(qū)間[ -1, 1]的配點，具體如圖2 所示.

對任意區(qū)間[ a , b] ，可用式(7)進行仿射變換.

圖2 切比雪夫節(jié)點

3 數(shù)值求解

進一步地，對應點處的法向數(shù)值解可由式(12)求法向?qū)?shù)得到.

4 算例分析

為便于研究，筆者進行了大量數(shù)值實驗，本文以下述橢圓型偏微分方程邊值問題為例：

傳統(tǒng)配點型無網(wǎng)格方法選取的均勻邊界配點數(shù)N =609，因為切比雪夫節(jié)點生成的配點是非均勻分布的，所以只能選取與均勻分布近似的配點數(shù)N =616，但所考慮計算點總數(shù)相同，均為40 401 個.均勻配點數(shù)值模擬誤差如圖3 所示.

圖3 基于均勻配點的高斯型徑向基函數(shù)所得計算誤差

圖3 表明，點( -1, 1)和(1, 1)附近的誤差較大，而其他點處的誤差非常小，所有計算點處的平均相對誤差為 Perr= 3.99 × 10-6.切比雪夫配點法所得誤差如圖4 所示.

圖4 基于非均勻配點法所得計算誤差

圖 4 表明，點( -1, 1)和(1, 1)附近的誤差仍然較大，但比傳統(tǒng)高斯型徑向基函數(shù)的計算結果提高了精度，所有計算點處的平均相對誤差為Perr= 3.43 × 10-7.綜上，傳統(tǒng)的高斯型徑向基函數(shù)法在所考慮物理區(qū)域邊界角點附近數(shù)值模擬精度較低，基于切比雪夫節(jié)點的徑向基函數(shù)配點法不僅可在邊界處提高計算精度，還提高了所有物理區(qū)域上的計算精度.

5 結論

為了提高高斯型徑向基函數(shù)法數(shù)值模擬偏微分方程邊值問題的精度，本文給出一種將傳統(tǒng)徑向基函數(shù)配點法和切比雪夫節(jié)點相結合的數(shù)值方法，對橢圓型微分方程的邊值問題進行了高精度數(shù)值模擬.在 Matlab 工具中的數(shù)值模擬實驗表明，切比雪夫節(jié)點結合高斯型徑向基函數(shù)的方法能得到更精確的計算結果，且其誤差明顯減小.