周立群，宋協(xié)慧

(天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 天津 西青區(qū) 300387)

時(shí)滯遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(DRNNs)基于在聯(lián)想記憶、優(yōu)化控制、圖像處理等領(lǐng)域的應(yīng)用而被廣泛研究。在這些應(yīng)用中大多數(shù)都需要DRNNs 是穩(wěn)定的，指數(shù)穩(wěn)定性作為DRNNs 的一種重要的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)[1-4]，它的特征之一是Lyapunov 指數(shù)不等于0。然而大多數(shù)情況下，DRNNs 的最大Lyapunov 指數(shù)是等于零的，其狀態(tài)軌跡漸近趨于平衡點(diǎn)，即此時(shí)DRNNs 是漸近穩(wěn)定的[5-7]。

多項(xiàng)式穩(wěn)定性是一種特殊的穩(wěn)定性，它同指數(shù)穩(wěn)定性一樣蘊(yùn)含著漸近穩(wěn)定性，但其收斂速度比指數(shù)穩(wěn)定性慢一些。它的特征之一就是其最大的Lyapunov 指數(shù)等于零。目前，這種系統(tǒng)的多項(xiàng)式穩(wěn)定性研究較少，只有某些系統(tǒng)在某些特殊情況下才具有多項(xiàng)式穩(wěn)定性，如波動(dòng)方程[8-9]和隨機(jī)微分方程[10-14]。需要說(shuō)明的是，這里的多項(xiàng)式穩(wěn)定性不是指對(duì)于一個(gè)多項(xiàng)式來(lái)研究這個(gè)多項(xiàng)式的穩(wěn)定性，而是因?yàn)槟承┫到y(tǒng)的解的估計(jì)式中含有t-λ(t≥t0, λ ＞0)，類(lèi)似于多項(xiàng)式，故稱(chēng)這種穩(wěn)定性為多項(xiàng)式穩(wěn)定性，具體見(jiàn)下文的定義。

由上所述，某種DRNNs 是否具有多項(xiàng)式穩(wěn)定性？文獻(xiàn)[15]回答了這個(gè)問(wèn)題，文中給出了比例時(shí)滯遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(RNNs)多項(xiàng)式穩(wěn)定性的定義，并研究了幾類(lèi)比例時(shí)滯RNNs 的多項(xiàng)式穩(wěn)定性和多項(xiàng)式周期性。文獻(xiàn)[16]將比例時(shí)滯引入細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，提出比例時(shí)滯細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型。此后各種比例時(shí)滯RNNs 基于在二次規(guī)劃問(wèn)題和QoS 路由決策等方面的潛在應(yīng)用得到了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注，并取得一些研究成果[17-26]，但關(guān)于比例時(shí)滯RNNs的多項(xiàng)式穩(wěn)定性的研究還很有限。

除了時(shí)滯效應(yīng)外，脈沖也是影響神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)動(dòng)力學(xué)性質(zhì)的重要因素之一。脈沖效應(yīng)是指在網(wǎng)絡(luò)運(yùn)行過(guò)程中，系統(tǒng)的狀態(tài)發(fā)生突變，導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)的行為更加復(fù)雜，因此研究脈沖作用下系統(tǒng)的穩(wěn)定性是非常必要的。目前，已有許多關(guān)于脈沖DRNNs 的動(dòng)力學(xué)行為的研究成果[24,27-32]。文獻(xiàn)[24]應(yīng)用Lyapunov 穩(wěn)定性理論結(jié)合線(xiàn)性矩陣不等式的方法研究一類(lèi)比例時(shí)滯脈沖RNNs (IRNNs) 的無(wú)源性。然而，比例時(shí)滯IRNNs 的動(dòng)力學(xué)行為的研究還很少。基于此，本文通過(guò)構(gòu)造Lyapunov 泛函和LMI 的方法對(duì)一類(lèi)比例時(shí)滯IRNNs的全局多項(xiàng)式穩(wěn)定性進(jìn)行探討。

1 模型與預(yù)備知識(shí)

2 全局多項(xiàng)式穩(wěn)定性

y=t-λ y=e-λt圖1 函數(shù) 和 的圖像

3 數(shù)值算例

且 λΞ= -12.756 7, -10.255 2, -7.726 6, -4.182 5,-2.375 5, -1.383 2， 即 Ξ ＜0。由定理1 可知，系統(tǒng)(19)是GPS。系統(tǒng)(19)的平衡點(diǎn)為x*=(0,0)T。時(shí)間響應(yīng)軌線(xiàn)如圖2～圖5 所示。

圖2 系統(tǒng)(19)無(wú)脈沖時(shí)， x1(t)的時(shí)間響應(yīng)軌線(xiàn)

圖3 系統(tǒng)(19)帶脈沖時(shí)， x1(t)的時(shí)間響應(yīng)軌線(xiàn)

圖4 系統(tǒng)(19)無(wú)脈沖時(shí)， x2(t)的時(shí)間響應(yīng)軌線(xiàn)

圖5 系統(tǒng)(19)帶脈沖時(shí)， x2(t)的時(shí)間響應(yīng)軌線(xiàn)

得到矩陣 Ξ ，且 λΞ= -48.370 1, -21.586 4, -2.085 5,-5.302 1, -17.523 0, -8.011 9, -10.002 8, -14.865 7,-12.968 0, 由此可知Ξ ＜0，由定理1，可知系統(tǒng)(20)是GPS。由Matlab 計(jì)算，得系統(tǒng)(20)的平衡點(diǎn)為x*=(0.154 5, -0.539 5,1.880 5)T。時(shí)間響應(yīng)曲線(xiàn)如圖6～11 所示。

圖6 系統(tǒng)(20)無(wú)脈沖時(shí)， x1(t)的時(shí)間響應(yīng)軌線(xiàn)

圖7 系統(tǒng)(20)帶脈沖時(shí)， x1(t)的時(shí)間響應(yīng)軌線(xiàn)

圖8 系統(tǒng)(20)無(wú)脈沖時(shí)， x2(t)的時(shí)間響應(yīng)軌線(xiàn)

圖9 系統(tǒng)(20)帶脈沖時(shí)， x2(t)的時(shí)間響應(yīng)軌線(xiàn)

圖10 系統(tǒng)(20)無(wú)脈沖時(shí)， x3(t)的時(shí)間響應(yīng)軌線(xiàn)

圖11 系統(tǒng)(20)帶脈沖時(shí)， x3(t)的時(shí)間響應(yīng)軌線(xiàn)

4 結(jié) 束 語(yǔ)

本文通過(guò)構(gòu)造合適的Lyapunov 泛函，研究了一類(lèi)具比例時(shí)滯IRNNs 的全局多項(xiàng)式穩(wěn)定性，所得準(zhǔn)則是以L(fǎng)MI 形式給出的，便于應(yīng)用Matlab 驗(yàn)證?？烧{(diào)參數(shù)的引入使得所得條件的適用范圍擴(kuò)大了。激活函數(shù)較廣泛，可以是無(wú)界的，也可以是不可微的。本文的研究方法也適合于具比例時(shí)滯RNNs的多項(xiàng)式周期性、多項(xiàng)式同步性和多項(xiàng)式耗散性等動(dòng)力學(xué)行為的研究。