王雪峰，張 斌，王鳴浩，楊曉霞，李玉霞，吳慶林

（1.中國科學(xué)院 長春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所，長春 130033；2.中國科學(xué)院大學(xué)，北京 100049）

根據(jù)跟蹤架結(jié)構(gòu)形式的不同，光電望遠(yuǎn)鏡可以分為赤道式、地平式、水平式等［1］。赤道式望遠(yuǎn)鏡的最大優(yōu)點是在視場上觀測目標(biāo)位置沒有相對轉(zhuǎn)動，同時在觀測條件最好的天頂位置沒有盲區(qū)。由于具有上述優(yōu)點，赤道式跟蹤架是光電望遠(yuǎn)鏡設(shè)計中常采用的一種結(jié)構(gòu)形式。然而，赤道式望遠(yuǎn)鏡的缺點是赤經(jīng)軸的摩擦力大且不均勻，這是因為赤經(jīng)軸在鏡筒和叉臂的重力作用下產(chǎn)生了變形，且望遠(yuǎn)鏡底座與赤經(jīng)軸之間可能產(chǎn)生溫差膨脹變形。上述兩種變形都會導(dǎo)致赤經(jīng)軸摩擦力變大［2］。

赤道式望遠(yuǎn)鏡是一種精密觀測設(shè)備，對伺服系統(tǒng)的定位精度、響應(yīng)速度和動態(tài)跟蹤精度等指標(biāo)的要求非常高，但赤經(jīng)軸上較大且不均勻的摩擦力導(dǎo)致上述性能指標(biāo)很難實現(xiàn)。主要體現(xiàn)在動態(tài)跟蹤誤差大，速度換向時出現(xiàn)位置誤差尖峰，低速運(yùn)行和精確定位時產(chǎn)生滯滑、爬行及極限環(huán)等有害特性［3-6］。要提高伺服系統(tǒng)的性能，必須減小或消除摩擦力的影響，為此，提出了多種摩擦力補(bǔ)償方法。如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)補(bǔ)償、自適應(yīng)補(bǔ)償、模糊補(bǔ)償?shù)?，但這些算法較復(fù)雜，并不適合工程應(yīng)用。

光電望遠(yuǎn)鏡伺服系統(tǒng)通常采用由速度環(huán)和位置環(huán)組成的雙閉環(huán)控制結(jié)構(gòu)。速度環(huán)為內(nèi)環(huán)，位置環(huán)為外環(huán)，控制算法主要以PID為主。PID控制是通用的控制方法，其結(jié)構(gòu)簡單，易于程序?qū)崿F(xiàn)，同時具有很好的魯棒性，可靠性高，在運(yùn)動控制系統(tǒng)有非常廣泛的應(yīng)用。但是，PID控制器的參數(shù)在控制過程中是不變的，這嚴(yán)重制約了控制性能。為此，研究人員提出了多種新型PID控制器［7-25］。按照控制理論，PID控制的微分環(huán)節(jié)對外界擾動非常敏感，因而對于光電望遠(yuǎn)鏡而言，采用省去微分環(huán)節(jié)的PI控制器更加合適［26］。

針對赤道式望遠(yuǎn)鏡存在的問題，結(jié)合PI控制器和變結(jié)構(gòu)思想，利用雙閉環(huán)控制結(jié)構(gòu)的特點，本文中設(shè)計了一種變結(jié)構(gòu)PI控制器（VSPI），構(gòu)造了以速度誤差為自變量的比例增益函數(shù)和以位置誤差為自變量的積分增益函數(shù)，可根據(jù)誤差的變化實時調(diào)整比例積分。VSPI控制器結(jié)構(gòu)簡單，參數(shù)調(diào)節(jié)方便，經(jīng)過仿真分析和實驗發(fā)現(xiàn)，VSPI控制器能夠減小望遠(yuǎn)鏡赤經(jīng)軸摩擦力的影響，提高伺服系統(tǒng)的定位精度、響應(yīng)速度和動態(tài)跟蹤精度。

1 變結(jié)構(gòu)PI控制器

1.1 經(jīng)典PI控制器的特點

經(jīng)典PI控制器的時域表達(dá)式為：

式中：u（t）是控制器的輸出；e（t）為誤差；Kp為比例增益；KI為積分增益。根據(jù)式（1），PI控制器的特點可總結(jié)為：① 誤差e（t）和誤差的積分∫e（t）dt是產(chǎn)生控制量u（t）的兩個基本要素；② 控制量u（t）是e（t）和的線性組合，在控制過程中，比例增益Kp和積分增益KI保持不變。大量研究成果和實際應(yīng)用結(jié)果表明，PI控制器的這種線性特性制約了控制性能［25］。

分析PI控制器的特點，可以發(fā)現(xiàn)比例作用Kp和積分作用KI在控制過程中的作用：①KP的作用是使控制器的輸出和輸入成正比關(guān)系，是有差調(diào)節(jié)，增大KP可以減小誤差，也能夠提高響應(yīng)速度，但KP不能無限增大，否則會導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定；②KI的作用是消除穩(wěn)態(tài)誤差，但會降低快速性和穩(wěn)定性，在大誤差階段，積分作用很容易使系統(tǒng)達(dá)到積分飽和，導(dǎo)致出現(xiàn)很大的超調(diào)量，調(diào)節(jié)時間也會變長［12］。

綜合上述分析，考慮將PI控制器的參數(shù)改為實時性和非線性，以獲得更好的控制性能。

1.2 位置、速度雙閉環(huán)控制結(jié)構(gòu)分析

赤道式望遠(yuǎn)鏡伺服系統(tǒng)采用位置、速度雙閉環(huán)的控制結(jié)構(gòu)，如圖1所示。位置回路為外環(huán)，速度回路為內(nèi)環(huán)，位置回路的輸出是速度回路的輸入。

速度回路的作用是克服摩擦力矩等非線性干擾。速度回路的性能直接影響伺服系統(tǒng)性能。如果速度回路能夠快速、穩(wěn)定地跟蹤位置回路的輸出，則伺服系統(tǒng)能夠達(dá)到很高的跟蹤精度。

為了提高速度回路的性能，改進(jìn)經(jīng)典PI控制器，通過實時調(diào)整比例和積分作用來提高控制器的性能。比例作用的調(diào)整依據(jù)是速度誤差的變化，當(dāng)速度誤差較大時，增大比例增益以加快響應(yīng)速度、縮短調(diào)節(jié)時間，而隨著速度誤差的減小則逐漸減小比例增益。積分的作用是減小穩(wěn)態(tài)誤差，但是增強(qiáng)積分作用容易導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定，因此需要限制積分作用的強(qiáng)度。對于雙閉環(huán)伺服系統(tǒng)，調(diào)整速度回路積分作用時需要考慮位置誤差的變化。速度回路要跟蹤位置輸出，必須克服摩擦力矩等干擾因素，而由文獻(xiàn)［12］可知，加強(qiáng)速度回路的積分作用能夠減小摩擦力矩的影響。依據(jù)控制原理，伺服系統(tǒng)對位置輸入的響應(yīng)過程可分為動態(tài)過程和穩(wěn)態(tài)過程。在動態(tài)過程中，位置誤差大，速度也較大，摩擦力對速度回路的影響相對小一些，速度回路需要快速響應(yīng)以盡快減小位置誤差，此時速度控制應(yīng)以比例控制為主，而積分作用不宜太強(qiáng)，這樣既能快速響應(yīng)，又能避免控制器飽和，可獲得良好的動態(tài)性能。當(dāng)位置響應(yīng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)過程后，由于受到摩擦力矩的影響，速度回路對位置回路輸出信號的跟蹤能力減弱，速度回路的響應(yīng)變慢，這會使穩(wěn)態(tài)位置誤差變大，并可能導(dǎo)致極限環(huán)振蕩。此時，應(yīng)加強(qiáng)速度回路的積分作用，減小摩擦力矩的干擾，從而提高位置跟蹤精度。

1.3 基于誤差函數(shù)的變結(jié)構(gòu)PI控制器

設(shè)計一種變結(jié)構(gòu)PI控制器（VSPI）并用于赤道式望遠(yuǎn)鏡的速度回路，VSPI的結(jié)構(gòu)如圖2所示。

VSPI的比例增益KP是速度誤差的函數(shù)，而積分增益KI是位置誤差ep的函數(shù)。ep、ev是伺服系統(tǒng)的實時速度誤差和位置誤差，KP、KI的變化規(guī)則如式（2）（3）所示。

式中：KP、KP0、KP1、c0、KI、KI0、c1、KI1、ep0均為正實常數(shù)。

比例增益KP的調(diào)整依據(jù)是ev的變化。當(dāng)ev＝0時，KP取最小值為KP0；當(dāng)ev→ ±∞時，KP取最大值為KP0+KP1。KP的變化趨勢與誤差的變化趨勢相同。調(diào)整c0的大小可調(diào)整KP變化的速率，圖3為KP隨ev的變化曲線。變化的比例增益既能提高響應(yīng)速度、減小超調(diào)量，也能保證穩(wěn)定性。

積分增益KI的調(diào)整依據(jù)是ep的變化，通過函數(shù)f（ep）動態(tài)地調(diào)整KI。式（2）為f（ep）的變化規(guī)則，圖4所示為f（ep）的變化曲線。ep0用于界定動態(tài)過程和穩(wěn)態(tài)過程。當(dāng)時，伺服系統(tǒng)的響應(yīng)處于動態(tài)過程，f（ep）的值恒為1，KI取最小值KI0，積分作用保持不變；當(dāng)時，響應(yīng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)過程，f（ep）＞1，通過f（ep）對KI進(jìn)行動態(tài)放大，從而動態(tài)地加強(qiáng)積分作用，減小摩擦力矩的影響，進(jìn)而提高速度回路對位置回路輸出的跟蹤能力。f（ep）的值隨著ep的減小而逐漸變大，當(dāng)ep＝0時f（ep）取最大值，此時積分作用最強(qiáng)。

2 仿真研究

為了驗證VSPI算法的有效性，仿真分析等效正弦跟蹤過程。仿真時采用某赤道式望遠(yuǎn)鏡赤經(jīng)軸的實測模型作為控制對象，模型的傳遞函數(shù)為：

仿真模型的結(jié)構(gòu)如圖5所示，在位置回路采用雙超前-滯后校正，速度回路分別采用PI、VSPI控制器。

位置回路控制器傳遞函數(shù)為

PI控制器的參數(shù)根據(jù)文獻(xiàn)［27］確定，望遠(yuǎn)鏡模型的機(jī)械時間常數(shù)Tm＝1.12 s，電氣時間常數(shù)Te＝0.006 s，增益K＝0.85。根據(jù)內(nèi)模PID原理，比例增益KP＝Tm／Kλ，積分增益KI＝1／Kλ，其中λ值越小越有利于動態(tài)性能，λ值越大則越有利于增強(qiáng)魯棒性。取 λ＝0.05附近，再對KP、KI適當(dāng)調(diào)整，最后得到KP＝28、KI＝20.21。

VSPI控制器的參數(shù)與PI控制器的參數(shù)有一定關(guān)聯(lián)，VSPI參數(shù)的確定原則為：KP0值約為KP的0.5～0.6倍，KP0與KP1二者之和同KP相當(dāng)；KI0約為KI的0.5～0.6倍，KI1取值范圍是20～40，c0、c1的取值范圍是15～30，ep0、ev0的取值要盡量小一些。根據(jù)以上原則，最后選取KP0＝15.02，KP1＝12，c0＝18，KI0＝10.43，KI1＝30，c1＝25，ep0＝0.02°，ev0＝0.1（°）／s。

圖6、7所示為仿真得到的等效正弦跟蹤位置誤差曲線，圖7是圖6的局部放大圖。圖6、7中位置誤差曲線的尖峰產(chǎn)生在速度換向階段，此時摩擦力對動態(tài)跟蹤精度的影響最大。表1表示PI、VSPI仿真結(jié)果，仿真結(jié)果表明：采用VSPI算法的誤差明顯小于采用PI算法的誤差，VSPI算法能夠提高伺服系統(tǒng)的動態(tài)跟蹤精度。

表1 兩種控制算法的仿真結(jié)果

3 實驗與結(jié)果

為了進(jìn)一步驗證VSPI算法性能，在某赤道式望遠(yuǎn)鏡赤經(jīng)軸上進(jìn)行實驗，該赤經(jīng)軸由直流力矩電機(jī)驅(qū)動。赤道式望遠(yuǎn)鏡結(jié)構(gòu)如圖8所示，轉(zhuǎn)動慣量約為1 050 kg·m2，控制系統(tǒng)選用文獻(xiàn)［28］所設(shè)計的通用集成伺服控制系統(tǒng)。如圖9所示，該伺服控制器系統(tǒng)由1個配電模塊、2個大功率開關(guān)電源、1個雙軸電機(jī)驅(qū)動器、1個伺服控制器組成。配電模塊的作用是為開關(guān)電源、雙軸功率驅(qū)動器、伺服控制器供電。2個開關(guān)電源作為雙軸電機(jī)驅(qū)動器的功率電源，每個開關(guān)電源的功率可達(dá)2 800 W。雙軸功率驅(qū)動器可獨(dú)立驅(qū)動2臺直流力矩電機(jī)。伺服控制器由PC／104 CPU模塊（SCM／LX-3072，主頻500 MHz）和接口電路板組成，伺服控制器的功能是接收編碼器數(shù)據(jù)和主控計算機(jī)的控制命令，進(jìn)行位置閉環(huán)、速度閉環(huán)校正運(yùn)算，輸出PWM給電機(jī)驅(qū)動器，最終實現(xiàn)對電機(jī)的精確控制。赤經(jīng)軸的位置反饋由圓光柵提供，圓光柵的角分辨率為0.032 4″，速度反饋由位置反饋數(shù)據(jù)差分獲得，系統(tǒng)的閉環(huán)校正頻率為500 Hz。位置環(huán)采用超前-滯后校正，速度環(huán)分別采用PI和VSPI算法，PI、VSPI算法的參數(shù)與仿真設(shè)置相同。

3.1 位置定位實驗

圖10、11是采用PI算法得到的1°位置階躍響應(yīng)誤差曲線，圖12、13是采用VSPI算法得到的1°位置階躍響應(yīng)誤差曲線。表2是1°位置階躍實驗數(shù)據(jù)。計算表2中的穩(wěn)態(tài)誤差（RMS）時，選取的數(shù)據(jù)源是進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后25 s內(nèi)的穩(wěn)態(tài)誤差數(shù)據(jù)。從實驗結(jié)果可以看出：采用PI算法時，過渡時間為0.68 s，位置階躍穩(wěn)態(tài)階段存在穩(wěn)態(tài)極限環(huán)振蕩，穩(wěn)態(tài)誤差為0.62″，并且經(jīng)過60 s仍無法達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)；而采用VSPI算法后，過渡時間為0.59 s，消除了極限環(huán)，系統(tǒng)可以快速穩(wěn)定，穩(wěn)態(tài)誤差僅為0.13″。

表2 1°位置階躍實驗結(jié)果

3.2 等效正弦響應(yīng)實驗

為了測試赤經(jīng)軸的動態(tài)跟蹤精度，通過等效正弦信號r（t）＝64sin（0.125t）°對系統(tǒng)進(jìn)行測試。該信號的最大等效速度為8（°）／s，最大等效加速度為1（°）／s2。圖14、15分別給出了采用PI、VSPI算法時的等效正弦響應(yīng)曲線，表3是等效正弦實驗數(shù)據(jù)。

表3 等效正弦實驗結(jié)果

等效正弦實驗數(shù)據(jù)表明：采用VSPI算法后，最大正向誤差減小了37.2%，最大負(fù)向誤差減小了44.9%，穩(wěn)態(tài)誤差減小了37.7%，VSPI算法能夠顯著提高動態(tài)跟蹤精度。

4 結(jié)論

針對赤道式望遠(yuǎn)鏡伺服系統(tǒng)跟蹤精度高、定位響應(yīng)快的要求，結(jié)合經(jīng)典PI控制器原理和變結(jié)構(gòu)思想，提出了VSPI控制器?；陔p閉環(huán)控制結(jié)構(gòu)將經(jīng)典PI、VSPI兩種算法分別運(yùn)用在速度回路進(jìn)行仿真，最后在某赤道式望遠(yuǎn)鏡赤經(jīng)軸上進(jìn)行位置定位和等效正弦跟蹤實驗。實驗數(shù)據(jù)表明：采用VSPI算法后，赤道式望遠(yuǎn)鏡的1°位置階躍過渡時間由0.68 s縮短至0.59 s，位置階躍穩(wěn)態(tài)誤差由0.62″減小到0.13″，等效正弦跟蹤誤差由3″減小到1.87″，各項控制指標(biāo)滿足赤道式望遠(yuǎn)鏡的要求。VSPI算法可成功應(yīng)用到赤道式望遠(yuǎn)鏡伺服系統(tǒng)中。