韓琛曄

(河北工程技術(shù)學(xué)院 信息技術(shù)學(xué)院，河北 石家莊 050091)

0 引 言

Wiener系統(tǒng)是一種模塊化的非線性系統(tǒng)，由線性子模型和無記憶的非線性模塊串聯(lián)而成。這樣的模塊化組合可以有效地刻畫實(shí)際系統(tǒng)的特性，是一種描述許多工業(yè)過程的非線性特性系統(tǒng)[1-5]，因此，研究Wiener系統(tǒng)的系統(tǒng)辨識(shí)對(duì)于實(shí)際系統(tǒng)建模和工作過程的理解具有一定的現(xiàn)實(shí)意義。但是，由于Wiener 系統(tǒng)是不同元件串聯(lián)而成的，因此，在建立辨識(shí)模型時(shí)，會(huì)出現(xiàn)非線性參數(shù)和線性參數(shù)相互耦合的現(xiàn)象，就是所謂的過參數(shù)問題(冗余參數(shù)估計(jì)問題)和估計(jì)參數(shù)不唯一問題[6]，這增加了辨識(shí)算法的計(jì)算量，特別是對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)和大規(guī)模系統(tǒng)是不可接受的。另外，Wiener系統(tǒng)的內(nèi)部信號(hào)不可直接測(cè)量，也增加了辨識(shí)的難度。

遞歸最小二乘及其改進(jìn)形式是目前辨識(shí)領(lǐng)域應(yīng)用最廣泛的一種辨識(shí)算法，具有計(jì)算量小、適用性強(qiáng)和方便在線估計(jì)等優(yōu)點(diǎn)[7-9]。但是，它也存在一些缺點(diǎn)和需要改進(jìn)的領(lǐng)域，例如，遞歸最小二乘(recursive least square,RLS)對(duì)于有色噪聲和強(qiáng)噪聲辨識(shí)性能表現(xiàn)不夠理想；對(duì)系統(tǒng)的過去和當(dāng)前時(shí)刻信息利用率低導(dǎo)致精度不高；對(duì)于時(shí)變系統(tǒng)無能為力。因此，為了改善或解決這些問題，大量的改進(jìn)算法不斷被研究人員設(shè)計(jì)出來并成功應(yīng)用于系統(tǒng)辨識(shí)領(lǐng)域。WANG Jianhong等[10]首先計(jì)算Hammerstein系統(tǒng)中的分段仿射非線性函數(shù)的逆函數(shù)，之后建立參數(shù)化的線性回歸辨識(shí)模型，并在有界噪聲下利用RLS估計(jì)模型中的各個(gè)參數(shù)；石建飛等[11]根據(jù)電機(jī)的工作原理建立電機(jī)的近似線性動(dòng)力學(xué)模型，為改進(jìn)RLS精度不高問題，利用折息因子修改RLS的修正增益大小，并應(yīng)用于電機(jī)模型的參數(shù)估計(jì)；DING Feng等[12]為提高系統(tǒng)的計(jì)算效率，利用分層遞階原理將系統(tǒng)的模型劃分為若干個(gè)子模型辨識(shí)問題，之后提出一種基于分層遞階的最小二乘辨識(shí)算法；Z.Hafezi 等[13]提出一種基于遞歸廣義最小二乘方案，以解決ARMA噪聲模型問題，并利用RML方法進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證提出算法的有效性；衛(wèi)志農(nóng)等[14]建立了電池系統(tǒng)的等效電路模型，將多新息理論和最小二乘結(jié)合形成多新息最小二乘辨識(shí)方法，在電池的充放電試驗(yàn)中實(shí)施電池參數(shù)的有效估計(jì)；GAN Min等[15]首先利用投影算法估計(jì)系統(tǒng)的非線性參數(shù)，之后采用多新息最小二乘估計(jì)方案估計(jì)線性部分的參數(shù)，并和存在的一些估計(jì)方法對(duì)比，表現(xiàn)出較高的估計(jì)性能。

由以上研究可知，對(duì)最小二乘算法的改進(jìn)工作有很多種方式，但是利用多新息理論進(jìn)行改進(jìn)是近幾年比較新穎的辨識(shí)方法。目前多新息最小二乘應(yīng)用于線性系統(tǒng)較多，非線性性系統(tǒng)相對(duì)較少且階次都是已知的，而應(yīng)用于階次未知的Wiener非線性系統(tǒng)更加困難，因?yàn)殡A次未知就不能實(shí)施后續(xù)的參數(shù)辨識(shí)，無法獲得系統(tǒng)的有效信息，且非線性部分在系統(tǒng)的最后邊，導(dǎo)致輸出信號(hào)畸形，甚至無法采集信號(hào)，無法利用采集的數(shù)據(jù)進(jìn)行辨識(shí)。

本文提出一種基于行列式比確定階次和分解技術(shù)的多新息最小二乘估計(jì)方法(decomposition technique of multi-innovation least squares method,D-MILS),實(shí)現(xiàn)階次未知的Wiener系統(tǒng)的參數(shù)估計(jì)問題。和其他文獻(xiàn)中的Wiener系統(tǒng)相比，本文所述系統(tǒng)的階次是未知的，屬于盲辨識(shí)，辨識(shí)更加困難。本文確定系統(tǒng)階次的算法僅僅使用輸入輸出信息構(gòu)造，簡(jiǎn)化了算法的設(shè)計(jì)。利用分解技術(shù)建立線性子系統(tǒng)和非線性模型參數(shù)相互分離的辨識(shí)模型，減少冗余參數(shù)的估計(jì)，提高運(yùn)行效率。設(shè)計(jì)參考模型解決內(nèi)部變量不可測(cè)問題，利用原始系統(tǒng)的部分信息，提高參數(shù)估計(jì)的精度。采用若干組數(shù)據(jù)修改觀測(cè)向量，使參數(shù)更新表達(dá)式不僅利用過去的系統(tǒng)信息，而且利用當(dāng)前的系統(tǒng)信息，以改善辨識(shí)的精度和收斂速度。對(duì)提出算法的收斂性理論分析表明，參數(shù)估計(jì)誤差能夠收斂到零。

1 問題描述

Wiener系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 Wiener系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖

圖1中：G,f分別描述Wiener組成部分中的線性和非線性部分;u(t),y(t)為系統(tǒng)的輸入和輸出信號(hào)；x(t),w(t)分別為內(nèi)部信號(hào)和噪聲信號(hào)。

Wiener系統(tǒng)可表示為

x(t)=G(z)u(t),

(1)

(2)

G(z)=B(z)/A(z),

(3)

式中：B(z)=b1z-1+…+bnz-n；A(z)=1+a1z-1+…+anz-n；f(x(t))為有限階次的基函數(shù)線性組合的形式，是有理分式。

將式(1)和(3)代入式(2)中，可得

(4)

這導(dǎo)致線性參數(shù)bj/aj和非線性參數(shù)λi耦合的情況，形成復(fù)合參數(shù)λibj/aj。

在設(shè)計(jì)辨識(shí)算法估計(jì)過程中，出現(xiàn)需要估計(jì)過多參數(shù)問題，增加算法的計(jì)算量且無法得到唯一的辨識(shí)模型，因?yàn)閺?fù)合參數(shù)只要結(jié)果正確其組成形式有無數(shù)解。為避免此問題，利用分解技術(shù)[16-17]構(gòu)造系統(tǒng)參數(shù)相互分離的辨識(shí)模型，減少計(jì)算量，提高運(yùn)行效率。為此，對(duì)于本文的系統(tǒng)而言，將式(2)分解出第一項(xiàng)λ1x(t)，其他各項(xiàng)不變。將式(1)只代入到分解的這一項(xiàng)中，可得

y(t)=λ1a1x(t-1)-λ1a2x(t-2)-…

-λ1anx(t-n)+λ1b1u(t-1)+λ1b2u(t-

2)+…+λ1bnu(t-n)+λ2x(t)2+

λ3x(t)3+…+λnx(t)n+w(t),

(5)

式(5)轉(zhuǎn)化為辨識(shí)模型的形式，表達(dá)式為

y(t)=φT(t)θ+w(t),

(6)

φ(t)=[-x(t-1),-x(t-2),…,-x(t-

n),u(t-1),u(t-2),…,u(t-n),x(t)2,

x(t)3,…,x(t)n]T,

(7)

θ=[λ1a1,λ1a2,…,λ1an,λ1b1,λ1b2,…,

λ1bn,λ2,λ3,…,λn]T。

(8)

在實(shí)施辨識(shí)算法之前，為了后續(xù)的參數(shù)辨識(shí)，做一些適當(dāng)?shù)募僭O(shè)，這些假設(shè)已經(jīng)廣泛應(yīng)用于參數(shù)辨識(shí)和系統(tǒng)建模領(lǐng)域[18-20]。

假設(shè)1：(1)輸入為持續(xù)激勵(lì)，使系統(tǒng)具有可辨識(shí)性；(2)線性子系統(tǒng)是穩(wěn)定的，不存在不穩(wěn)定的情況；(3)為獲得單獨(dú)的辨識(shí)模型，設(shè)λ1=1。

2 估計(jì)方案

2.1 線性系統(tǒng)階次的估計(jì)

(9)

(10)

(11)

(12)

和Hankel矩陣法、 殘差方程分析法及AIC法等方法相比，本文確定線性系統(tǒng)階次方法突出的優(yōu)勢(shì)是僅僅利用系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)來判斷階次，不需要設(shè)計(jì)特殊的輸入信號(hào)(Hankel矩陣法)，階次的精度不取決于參數(shù)估計(jì)值的精度(殘差方程分析法)，不需要設(shè)定特定的風(fēng)險(xiǎn)水平值(AIC法)。

2.2 估計(jì)算法設(shè)計(jì)

RLS的出現(xiàn)是為了提高最小二乘的辨識(shí)能力和適合在線辨識(shí)的。基于回歸模型(6)和預(yù)測(cè)誤差方法，建立成本函數(shù)J(θ)=‖y(t)-φT(t)θ‖2，計(jì)算J對(duì)θ的導(dǎo)數(shù)并求極值。結(jié)合矩陣求逆運(yùn)算，可得RLS的表達(dá)式為

(13)

(14)

P-1(t)=P-1(t-1)+φ(t)φT(t),
P(0)=p0I,

(15)

式中：P(t)為協(xié)方差矩陣；e(t)為標(biāo)量新息。

從式(13)～(15)可知，參數(shù)在每次更新時(shí)只使用了當(dāng)前時(shí)刻的數(shù)據(jù)向量φ(t)，沒有利用數(shù)據(jù)。這導(dǎo)致有時(shí)RLS估計(jì)能力不足或不理想。為了能充分利用系統(tǒng)的信息，需要對(duì)標(biāo)量新息進(jìn)行修改。最合適的方式就是將標(biāo)量新息通過若干組數(shù)據(jù)拓展，這樣參數(shù)更新時(shí)不僅利用當(dāng)前而且還使用了過去時(shí)刻的信息，提高了數(shù)據(jù)的利用率，進(jìn)而提高了辨識(shí)的性能。

采用p組數(shù)據(jù)對(duì)標(biāo)量新息進(jìn)行修改，可得多新息E(p,t)，

(16)

進(jìn)而，其他相應(yīng)的變量轉(zhuǎn)化為

φ(p,t)=[φ(t),φ(t-1),…,

φ(t-p+1)],

(17)

y(p,t)=[y(t),y(t-1),…,y(t-

p+1)]T。

(18)

根據(jù)式(16)～(18)的修改，可得多新息最小二乘法(multi-innovation least squares，MILS)表達(dá)式,即

(19)

(20)

P-1(t)=P-1(t-1)+φ(p,t)φT(p,t),
P(0)=p0I。

(21)

矩陣求逆運(yùn)算計(jì)算量較大，為解決此問題，采用矩陣求逆原理，式(19)～(21)可重寫為

(22)

(23)

L(t)=P(t-1)φ(p,t)/[I-φT(p,t)P(t-
1)φ(p,t)]，

(24)

P(t)=P(t-1)+L(t)φT(p,t)P(t-
1),P(0)=p0I。

(25)

雖然設(shè)計(jì)了辨識(shí)算法，但是由于數(shù)據(jù)向量中含有不可直接測(cè)量的內(nèi)部信號(hào)x(t)，導(dǎo)致式(22)～(25)無法實(shí)施。為處理這個(gè)問題，根據(jù)參考模型辨識(shí)思想[21-22]設(shè)計(jì)參考模型，利用參考模型的輸出xref(t) 代替內(nèi)部信號(hào)x(t)。參考模型的表達(dá)式為

2.3 算法收斂性

在系統(tǒng)辨識(shí)和參數(shù)估計(jì)領(lǐng)域，不僅要關(guān)心參數(shù)辨識(shí)算法的收斂速度和收斂精度，而且要關(guān)心利用參數(shù)估計(jì)誤差判斷估計(jì)器是否收斂。和控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析類似，只有系統(tǒng)是穩(wěn)定的，跟蹤控制才有意義。

定理1 對(duì)于考慮的Wiener系統(tǒng)(1)～(3)和提出的辨識(shí)算法(22)～(25),假設(shè)由w(t) 和Ft組成一個(gè)殃差序列，F(xiàn)t是一個(gè)σ代數(shù)序列，σ由采集到的數(shù)據(jù)組成。假設(shè)噪聲{w(t)} 滿足下面的條件[23]：

(1)E[w(t)|Ft-1]=0,a.s.。

(2)E[w2(t)|Ft-1]≤σ2<∞,a.s.，存在正數(shù)α>0,β>0,α0≥0，使得以下持續(xù)激勵(lì)條件成立。

則有參數(shù)估計(jì)誤差收斂到0，即

證明定義下面的表達(dá)式：

根據(jù)式(19)～(20),式(19)能夠轉(zhuǎn)換為

(26)

根據(jù)式(26)，定義一個(gè)非負(fù)函數(shù)，形式為

根據(jù)(21)和(22),T(t)可轉(zhuǎn)化為

V(p,t)]TφT(p,t)P(t)φ(p,t)×

V(p,t)，

由于I-φT(p,t)P(t)φ(p,t)

=[I+φT(p,t)P(t-1)φ(p,t)]-1≥0,

則有

T(t)≤

T(t-1)+VT(p,t)φT(p,t)P(t)φ(p,t)V(p,t)+

i)P(t)φ(t-i)w2(t-i),a.s.。

對(duì)上式應(yīng)用殃差收斂定理[23]，可知，Z(t)收斂于一個(gè)有限的隨機(jī)值Z0，即

由此，存在一個(gè)較大的C,使得下式成立：

T(t)≤C[ln|P-1(t)|]c,t→∞,a.s.。

根據(jù)T(t)的定義，可知

根據(jù)假設(shè)條件(3)和式(21)，可知

tr[P-1(t)]≤nβtα0+1+n/p0,a.s.，

λmin[P-1(t)]≥αt,a.s. ，

定理1 證畢。

3 示 例

考慮以下Wiener系統(tǒng):x(t)=-0.65x(t-1)-0.4x(t-2)+0.5u(t-1)+0.25u(t-2),y(t)=x(t)+0.35x2(t)+0.5x3(t)+w(t)。

輸入信號(hào)u(t)選擇為隨機(jī)信號(hào)，噪聲為白噪聲。從考慮的系統(tǒng)形式可知真實(shí)參數(shù)值為

a1=0.5,a2=0.25,b1=0.65,b2=0.4,λ2=0.35，λ3=0.5。

利用D-RLS(decomposition technique of recursive least squares method,D-RLS),RML(recursive maximum likelihood,RML)[24]作為對(duì)比算法，和本文提出算法D-MILS對(duì)比辨識(shí)考慮系統(tǒng)Wiener的各個(gè)參數(shù)信息。在不同樣本數(shù)量下的估計(jì)值如表2～4所示。從表2～4可知，3種算法都能估計(jì)Wiener系統(tǒng)的參數(shù)，但是D-MILS算法的估計(jì)值更靠近真實(shí)值，精度較高。

表1 行列式比計(jì)算結(jié)果

表2 D-RLS 辨識(shí)過程

表4 D-MILS辨識(shí)結(jié)果

圖2是D-RLS，RML，D-MILS估計(jì)誤差結(jié)果圖。從圖2可知，隨著樣本的增加，3種估計(jì)方案都能使估計(jì)誤差漸漸變小，這說明D-RLS，RML和D-MILS都能辨識(shí)Wiener系統(tǒng)的參數(shù)。圖2 也說明算法D-MILS比D-RLS有較好的估計(jì)精度和較快的收斂速度，D-MILS比RML有較高的估計(jì)精度，驗(yàn)證了所提出算法的優(yōu)點(diǎn)。

圖2 估計(jì)誤差變化趨勢(shì)

為了驗(yàn)證新息長(zhǎng)度對(duì)D-MILS算法的影響，圖3 顯示了不同新息長(zhǎng)度p下所提出算法的辨識(shí)性能圖，從圖3可知，隨著新息長(zhǎng)度的增加，估計(jì)誤差收斂速度更快，但是振蕩也更加嚴(yán)重。這是因?yàn)殡m然辨識(shí)算法隨著新息長(zhǎng)度的增加，利用越來越多的系統(tǒng)信息，提高了辨識(shí)數(shù)據(jù)的利用率，但是噪聲信息也同時(shí)被進(jìn)一步利用，此時(shí)噪聲對(duì)辨識(shí)性能的影響也越來越大，從而導(dǎo)致估計(jì)性能開始惡化。

為了測(cè)試噪聲對(duì)辨識(shí)算法的影響，表5列出了不同噪聲大小下所提出算法的辨識(shí)誤差結(jié)果。從表5可知，弱噪聲下在不同時(shí)刻參數(shù)估計(jì)值更接近真實(shí)的參數(shù)，強(qiáng)噪聲下參數(shù)估計(jì)值變化幅度較大，估計(jì)值在真實(shí)值附近波動(dòng)較大，也說明噪聲對(duì)辨識(shí)算法會(huì)產(chǎn)生一些不利的影響，表5證明圖3顯示的結(jié)果是正確的和合理的。

圖3 不同新息長(zhǎng)度下提出算法的估計(jì)誤差

表5 不同噪聲情況下D-MILS辨識(shí)性能

4 結(jié) 語

本文針對(duì)Wiener系統(tǒng)階次未知，采用行列式比方法確定系統(tǒng)的階次。對(duì)于非線性Wiener系統(tǒng)的冗余參數(shù)辨識(shí)問題，利用分解技術(shù)，選擇分解項(xiàng)代入到相應(yīng)的表達(dá)式中，構(gòu)建被估計(jì)參數(shù)向量含較少的復(fù)合參數(shù)的辨識(shí)模型，提高了算法的運(yùn)行效率。針對(duì)系統(tǒng)的內(nèi)部變量，采用參考模型的輸出替代未知的內(nèi)部變量，增加了辨識(shí)性能。為改善最小二乘的收斂速度和估計(jì)精度，利用若干數(shù)據(jù)修改新息向量，使得標(biāo)量新息轉(zhuǎn)化為向量，獲得多新息最小二乘方法。最后，利用仿真分別分析了不同噪聲和不同新息長(zhǎng)度下提出算法的辨識(shí)性能與傳統(tǒng)最小二乘的對(duì)比，證明提出的算法具有一定的優(yōu)勢(shì)。