（桂林師范高等?？茖W校數(shù)學與計算機技術系，廣西 桂林 541199）

符號是用來指稱和代表其他事物的一種象征物，是承載交流信息的載體。數(shù)學符號就是用以表示數(shù)學概念、數(shù)學運算和數(shù)學關系等的符號，是傳遞、啟示數(shù)學意義、數(shù)學信息的基本載體。

數(shù)學符號可以按照不同的標準分類，如將數(shù)學符號分為元素符號、關系符號、運算符號及輔助符號等。

數(shù)學是高度抽象的學科，其抽象性體現(xiàn)在數(shù)學獨特的符號、語言和方法。數(shù)學符號作為數(shù)學語言的基本單位，不僅形式優(yōu)美，書寫、運算和推理方便，而且體現(xiàn)了數(shù)學發(fā)展的脈絡，對數(shù)學的傳播、推廣、普及和發(fā)展起著重要的作用。

本文將從數(shù)學史的發(fā)展過程中提煉數(shù)學符號發(fā)展、進化的軌跡。

數(shù)學符號的發(fā)展可分為四個時期：15世紀之前，數(shù)字符號形成為主階段；15—17世紀，符號代數(shù)發(fā)展階段；17—19世紀，近代數(shù)學符號形成、發(fā)展階段；19世紀至今，由數(shù)理邏輯發(fā)展帶來的數(shù)學符號形式化及現(xiàn)代數(shù)學發(fā)展階段。

一、數(shù)字符號形成為主階段（15世紀之前）[1-3]

人類對數(shù)的認識是一個緩慢的、漸進的過程，其中記數(shù)符號的出現(xiàn)、發(fā)展及完善是這一過程的必然產(chǎn)物。古埃及、古巴比倫（美索不達米亞）、古中國和古印度被歷史學家稱為四大文明古國，它們是人類文明的發(fā)源地，早期數(shù)字符號，就是在這些地域首先發(fā)展起來的。

（一）古埃及數(shù)字符號

早在公元前3000年古埃及人就創(chuàng)造了象形文字，他們使用特殊記號來表示數(shù)字，如一條豎線表示1，表示 10，用或者表示100等。這一記數(shù)系統(tǒng)表示數(shù)的方法是數(shù)字中某位上是幾，就在該位上把這個符號重復寫幾次，并且數(shù)字順序是從右到左，如表示12345。這種以10為基底，沒有位值制的記數(shù)方法由于符號多，用做運算會相當復雜。在萊茵德紙草書和莫斯科紙草書中，僧侶文數(shù)字代替了一些冗長重復的記號，引進了10的乘冪的倍數(shù)和一些表示數(shù)字的記號，如4用“”替代了，1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、20 分別記為：。

使用單位分數(shù)是古埃及數(shù)學的一個重要特色。古埃及人將所有除外的真分數(shù)都分解為單位分數(shù)的和，如：。顯然，對于分數(shù)本身，這種單位分數(shù)是極為繁瑣的，但是他們將分數(shù)分解為幾個單位分數(shù)之和后，分數(shù)的四則運算就可以進行了，盡管做起來比較麻煩。為了簡化計算，紙草書上還有相關數(shù)表。

公元前4世紀古埃及被希臘人征服，以論證幾何為主的希臘數(shù)學也隨之替代了這一古老的數(shù)學文化。

（二）美索不達米亞數(shù)字符號

約公元前2800年，在古巴比倫，美索不達米亞人創(chuàng)造了楔形文字，其中由兩個基本的楔形文字構成了美索不達米亞人的數(shù)字符號體系。該數(shù)字系統(tǒng)的特點就是有進位記號并以60為基底，而且用位值制表示數(shù)值，即按其位置用相同的符號表示數(shù)值。比如59記為，對于大于59的數(shù)，他們則采用六十進制的位值記法。同一個記號，根據(jù)它在數(shù)字表示中的相對位置而賦予不同的值，因為它是用較少的符號來表示數(shù)的，沒有位值制表示數(shù)便會極其復雜。位值制的發(fā)明，是古巴比倫數(shù)學的一項突出貢獻。例如，右邊的表示2個單位，中間的表示2個60，左邊的表示2個602，所以表示 2×602+2×60+2＝7322。當然因為沒有零號，這種位值制是不完全的。比如美索不達米亞人表示722和7202的形式是一樣的，人們只能通過上下文來猜測它們的意思。不過在公元前3世紀的泥版文書中出現(xiàn)了一個表示空位的專門記號，憑借這個空位記號，人們就很容易將數(shù)（2×602+0×60+2）與（2×60+2）區(qū)分。但是現(xiàn)存的泥版沒有發(fā)現(xiàn)零號置于尾端的情況，所以還可以表示形如2×602+2×60k-1（k≥1）的整數(shù)。另外，美索不達米亞人還將位值原理推廣應用到整數(shù)以外的分數(shù)，這就是說不僅表示2×60+2，同時表示類似2×60k+2×60k-1（k≤-1）的分數(shù)。這本質(zhì)上是進制小數(shù)的表示方法，還蘊涵了位值制的思想。因此，美索不達米亞人對分數(shù)的運算跟整數(shù)的運算一樣能夠進行。美索不達米亞人有時混用多種進位制，這使得他們的記數(shù)系統(tǒng)在極不規(guī)范的情況下更顯繁雜了。但是這種混亂沒有影響他們?nèi)〉幂^高的數(shù)學成就。

大約在公元前6世紀，古巴比倫數(shù)學文明也被論證幾何為主的希臘數(shù)學取代。

（三）古代中國數(shù)字符號

中國早在商朝時期（約公元前1600年—約公元前1046年）的甲骨文中已經(jīng)使用完整的十進制計數(shù)。用甲骨文書寫的數(shù)字有12個獨立的符號，并以空位表示零。1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、100、1000 分別記為：。至遲到春秋戰(zhàn)國時期（公元前770年—公元前476年）又開始出現(xiàn)嚴格的十進制籌算計數(shù)，籌算計數(shù)又有縱橫兩種形式。縱式用來表示個位、百位、萬位……數(shù)字；橫式用來表示十位、千位、十萬位……數(shù)字?？v橫相間，零則以空位表示。如76031記為，6724則記為。

春秋戰(zhàn)國時期，完善的算籌記數(shù)法已得到普遍使用，這種依靠籌的擺放來計數(shù)的算籌記數(shù)系統(tǒng)在中國使用了兩千多年，直到元朝。在此基礎之上的古代中國數(shù)學，一直居于世界前列。另一方面，在如此漫長的時間里，算籌計數(shù)的弊端也日益突出。由于計算是通過籌的擺放來進行的，這樣就難以保留其演算過程，并且步驟會相當繁瑣，難以簡化、壓縮。同時，根深蒂固的算籌計數(shù)也成了其他先進算法和數(shù)學符號引進的一大阻礙。在《九章算術》中求解線性方程組的演算過程相當于對矩陣施行初等變換，當時應該是非常先進。然而它是對籌的擺放，即是對數(shù)的運算來進行。元代朱世杰的“四元術”采用分離系數(shù)的方法，其本質(zhì)也是對數(shù)（籌）的操作，所有這些都使得算籌難以產(chǎn)生用符號代替未知量的思想。最終的結果是中國籌算完全被歐洲先進的符號化數(shù)學取代。

（四）古印度數(shù)字符號

關于公元前2世紀至公元3世紀的印度數(shù)學，可參考的資料不多，但發(fā)現(xiàn)的書寫在樺樹皮上的“巴克利手稿”已出現(xiàn)完整的十進制數(shù)碼，其中零用點表示。點后來逐步演變?yōu)閳A圈，即現(xiàn)在的“0”號。這一過程最晚于公元9世紀完成，有一塊叫作Gwalior的石碑上面有著完整的數(shù)系：，它們分別表示 1、2、3、4、5、6、7、8、9、0。印度人不只把“0”看作記數(shù)法中的空位，也視其為可施行運算的一個獨立的數(shù)。

現(xiàn)在通用的記數(shù)方法最初是在印度首先制定。在這個記數(shù)符號基礎上印度人形成一套完整的運算方法。印度數(shù)字的寫法不斷有所變化和演變，并在公元8世紀傳入阿拉伯國家。其中零號的傳播則要晚一些，后經(jīng)阿拉伯人改進最終成為現(xiàn)今的數(shù)字“1，2，3，4，5，6，7，8，9，0”。12世紀后，這套數(shù)字系統(tǒng)通過意大利數(shù)學家Leonardo Fibonacci的《算盤書》，傳入歐洲大陸，成為引發(fā)歐洲文藝復興的重要原因之一，對近代歐洲數(shù)學發(fā)展起了重要作用。

此外，印度人使用一些縮寫文字和記號來替代運算、運算過程、代數(shù)式和未知量。在“悉檀多”（約公元5世紀—12世紀）初期，得益于他們對零和負數(shù)運算法則的理解，印度人對一元二次方程的一般式甚至丟番圖方程進行了研究，盡管印度人使用的記號不多，但他們的代數(shù)可以看成是具有符號化的代數(shù)。

另外古希臘對最初的幾何符號影響深遠。古希臘文明（公元前800—公元前146）對現(xiàn)代西方社會的發(fā)展影響極大，它是人類歷史上最宏偉的文明之一。古典時期的希臘（公元前510—公元前323）幾何是數(shù)學發(fā)展史上的光輝一幕，其中Euclid of Alexandria的《原本》更是幾何學的里程碑。書中Euclid首先給出了幾個不嚴格的定義，然后通過幾何圖形的直觀性演繹展開?！对尽返脑逡褋G失，不清楚Euclid表示圖形的記號，由于當時數(shù)和線段的長度是用希臘字母來表示的，古希臘人也很可能是利用字母來表示點、直線。而對于三角形、四邊形等多邊形則可能用多字母表示。公元1世紀的Heron of Alexandria和3世紀的Pappus開始用一些如△、∠、⊙等符號表示幾何圖形了，這些符號形象、簡潔，可極大地簡化推理過程。

二、符號代數(shù)發(fā)展階段（15—17世紀）[4，5]

15世紀始，人們開始頻繁地使用符號來表示運算。最早使用P和M，分別表示加和減，而德國人J.Widman于1489年用“+”和“-”來表示箱子重量的超虧，后來數(shù)學家用來表示加減?！啊痢笔怯薟.Oughtred于1631年第一次用來表示乘法。法國數(shù)學家F.Vieta先用aequalis，后改用“～”表示相等，法國數(shù)學家 R.Descartes則用“∝”表示相等。1557年英國人R.Recorde認為表示相等最合適用平行相等的線段“＝”。到17世紀末，“＝”逐步流行。小于和大于號“＜”和“＞”是英國人T.Harriot首次引入的。至于根號“”的使用卻源遠流長，幾經(jīng)變化。在數(shù)學發(fā)展史上，遠至古埃及的紙草書上都曾有方根的身影。瑞士數(shù)學家Leonard Eular曾認為，根號“√”應該來源于“radix”的首字母小寫形式“r”。但在德國的代數(shù)手稿中人們發(fā)現(xiàn)“√”是由點“·”演變而來的。在一部 1480年的拉丁文手稿中，“·”表示開平方；“··”表示開四次方；“···”表示開立方；“····”則是開九次方。當時數(shù)學家們也曾采用符號“”來作為方根符號。1525年，波蘭—奧地利數(shù)學家Christon Rudolff在《未知數(shù)》中創(chuàng)作符號“√”表示平方根。同時Rudolff還引入了立方根符號“”，四次方根符號“”。Rudolff的符號相比之下有著很大的優(yōu)勢，因此它在16世紀和17世紀在歐洲迅速傳播開來。但是，這一符號也有明顯的缺陷，如符號的含義難以區(qū)分被開方的是多重根式或一個多項式的情況。直到17世紀，R.Descartes第一個使用了現(xiàn)今用的根號“”。16世紀，荷蘭數(shù)學家A.Girard開始引入an表示乘冪。

整個16世紀，相當多的數(shù)學家對符號表示做了非常多的工作，當時的數(shù)學家應該都已經(jīng)意識到未知數(shù)必須用符號來表示。然而符號標準不明，甚至雜亂不堪，其中有用文字敘述形式或者文字縮寫來表示未知數(shù)的。至于乘冪的寫法更是各有千秋，比如有用正方形和正方體分別表示平方和立方的。第一個在數(shù)學中系統(tǒng)地用字母表示代數(shù)式的數(shù)學家是F.Vieta，他分別用元音字母和輔音字母表示未知量和已知量，一般的系數(shù)則用字母表示。他還將代數(shù)稱為“類算術”，即對“類和形式”的運算，稱算術為“數(shù)算術”。這樣處理使代數(shù)形式更抽象，運用也更廣泛，代數(shù)學也就更具普遍性了。可以說F.Vieta建立了一個表示未知量的標準。后來R.Descartes又對F.Vieta的字母符號作了改善，一直沿用至今。

16世紀之前，數(shù)學家因為沒有合適的代數(shù)表達方式，從古希臘的Diophantus到F.Vieta的12個多世紀，數(shù)學發(fā)展非常緩慢，這與缺乏符號體系不無相關。而從F.Vieta開始，代數(shù)學終于步入快車道。科學的符號體系逐步形成，大大推動了整個數(shù)學的發(fā)展。

隨著解析幾何的誕生，加之代數(shù)符號化的推動，幾何圖形符號也得到了快速發(fā)展，到19世紀初，法國數(shù)學家Carnot的幾何圖形符號已與現(xiàn)代幾何圖形符號相差不大了。

另外，在15世紀時，隨著幾何學的發(fā)展，三角學脫離天文學成為一門獨立數(shù)學分支。其中三角函數(shù)符號sine（正弦）一詞首先出現(xiàn)在德國數(shù)學家Johannes Regiomo的著作《論各種三角形》中，這也是歐洲第一部獨立于天文學的三角學著作。英國人Gheshir首先使用cosine及cotangent來分別表示余弦及余切。secant（正割）和tangent（正切）則是丹麥數(shù)學家Thomas Fink首創(chuàng)的。后來數(shù)學家們又進一步推出更簡潔的三角符號“sin”“tan”“sec”“cos”“cot”“csc”等，并逐漸通用起來。

16—17世紀，為簡化天文、航海方面所遇到的繁雜數(shù)值計算，另一項重要的數(shù)學創(chuàng)造就是對數(shù)。對數(shù)是由蘇格蘭數(shù)學家Napie創(chuàng)立的，對數(shù)一詞也是他所創(chuàng)造的。1632年，意大利數(shù)學家Cavalieri是首個采用符號log的人。1902 年，奧地利人 Stolz，O.以“alog.b”表示以 a為底的b的對數(shù)，此后經(jīng)過逐漸演變成為logab。

另外，在17世紀末，行列式的概念和符號伴隨著方程組的求解也發(fā)展起來。最初的雛形由日本數(shù)學家關孝和與德國數(shù)學家Gottfried Wilhelm Leibniz各自獨立提出。

初等數(shù)學的主要符號在17世紀初大體完成，這為近代數(shù)學的到來鋪平了道路，也為后續(xù)驚人的發(fā)展打下了基礎。

三、近代數(shù)學符號形成、發(fā)展階段（17—19世紀）[6，7]

符號代數(shù)直接推動了近代數(shù)學時期的到來。解析幾何和微積分的創(chuàng)立標志著近代數(shù)學的來臨，由此帶來分析學的蓬勃發(fā)展，這是數(shù)學發(fā)展史上的里程碑之一。

（一）解析幾何的發(fā)明及概念、符號引入

資本主義生產(chǎn)力在文藝復興以后快速發(fā)展，到了16世紀，物理學的中心問題是研究運動與變化，但是傳統(tǒng)的方法難以解決問題，必須創(chuàng)造一種新的數(shù)學方法處理這類問題，新的數(shù)學方法導致了變量數(shù)學即近代數(shù)學的誕生。解析幾何的發(fā)明是近代數(shù)學的第一個里程碑。解析幾何的創(chuàng)立要歸功于法國的兩位數(shù)學家R.Descartes與P.de Fermat。他們工作的出發(fā)點不同，但卻殊途同歸。Descartes在《幾何學》中建立了歷史上第一個斜坐標系，給出了坐標的概念與符號，并且把兩個未知數(shù)的任意代數(shù)方程看成平面的一條曲線。Fermat則在他的著作《論平面軌跡》中指出：只要在最后的方程中出現(xiàn)兩個未知量，對應就有一條曲線。書中，F(xiàn)ermat定義了以下曲線：直線 d（a-x）＝by；圓 b2-x2＝y(tǒng)2；橢圓 b2-x2＝ky2；拋物線 x2＝dy，y2＝dx；雙曲線 xy＝k2，x2-b2＝ky2。此后，1655年，英國數(shù)學家John Wallis在《圓錐曲線》中引入負坐標概念；1691年瑞士數(shù)學家Jakob Bernoulli引入極坐標；Johann Bernoulli1715年引入空間坐標系；1736年Leonhard Euler引入平面曲線的內(nèi)在坐標。這些工作使解析幾何得到了進一步完善。解析幾何的發(fā)明溝通了幾何和代數(shù)，從而使幾何符號與代數(shù)符號對應起來，也為微積分的創(chuàng)立搭建了舞臺。

（二）微積分符號的創(chuàng)立及發(fā)展

微積分的思想萌芽，特別是積分學可以追溯到古代。在古希臘、古中國和古印度的數(shù)學著作中，不乏用無限小過程計算特殊形狀的面積、體積和曲線長的例子。與積分學相比，微分學的起步要晚得多。導致微分學發(fā)展的主要問題是求曲線在一點的切線、求函數(shù)的極值以及求瞬時變化率等問題。

英國數(shù)學家Isaac Newton在1666年撰寫了第一部系統(tǒng)的微積分文獻《流數(shù)簡論》。他在文中將自古以來計算無限小問題的各種處理技術歸并為兩類，稱為正流數(shù)術（微分）和反流數(shù)術（積分）的一般算法，并證明了兩者互為逆運算，從而將正、反流數(shù)術統(tǒng)一成整體。Newton還首創(chuàng)了小○符號表示無限小且最終趨于零的增量。Newton在他的《曲線求積術》中引入符號表示變量x，y，z的一次流數(shù)（導數(shù)），二次流數(shù)、三次流數(shù)則用和，表示，等等。

Gottfried Wilhelm Leibniz在1675年引入dx和dy表示x和y的微分，導數(shù)記為dx：dy，用ddv表示二階微分。Leibniz還用omn.l表示l的總和，之后他將omn改寫成。1684年Leibniz在《教師學報》上公開發(fā)表了數(shù)學史上第一篇微分學論文《一種求切線和極值的新方法》，總結了自己1673年以來的研究成果。他定義微分的概念，并創(chuàng)造了微分dx，dy符號。Leibniz給出了函數(shù)的和、差、積、商、乘冪與方根等的微分公式，還得出了復合函數(shù)的鏈式微分法則，后來又將乘積微分法則推廣到高階情形。Leibniz引進的d和充分體現(xiàn)了微分和積分的“差”與“和”的實質(zhì)。這些都表明Leibniz非常重視微積分的形式符號和系統(tǒng)運算。與此相反，Newton盡管也發(fā)現(xiàn)和運用了正反流數(shù)術（微積分）的方法，卻沒有專門研究它的一般概念、符號和一般公式，他最多的興趣還是利用微積分的方法解決問題。

對于Newton和Leibniz的符號，歷史上有過一番爭執(zhí)。在這場爭執(zhí)中，Leibniz的微積分符號顯示出巨大的優(yōu)越性。Leibniz的微積分符號更能表達微積分的本質(zhì)，對后來的分析學發(fā)展產(chǎn)生了極大的影響。而保守、頑固的英國人拒絕使用更科學的Leibniz微積分符號，導致英國數(shù)學在逐步遠離分析的主流。分析的進步在18世紀主要是由歐陸國家的數(shù)學家在發(fā)展Leibniz積分方法的基礎上而獲得的?？梢姡⒎e分符號的采用充分體現(xiàn)了：一種合適的符號能促進數(shù)學的發(fā)展，反之就會阻礙數(shù)學的進步。

微積分在18世紀的多方面應用及與其他學科緊密結合，導致了許多數(shù)學新分支的產(chǎn)生，這個世紀可以說是分析的時代，也是向現(xiàn)代數(shù)學過渡的重要時期。其中微積分最重大的進步是由Leonard Euler作出的。Euler的三部著作《微分學》《無限小分析引論》和《積分學》是微積分歷史上里程碑式的著作。在這些著作中，一批標準的符號如、i和e分別用來表示函數(shù)符號、求和符號、虛數(shù)單位和自然對數(shù)底。這一時期微積分深入發(fā)展還體現(xiàn)在積分技術的推進、微積分向多元函數(shù)的推廣、無窮級數(shù)理論、函數(shù)概念深化和微積分嚴格化。同時微積分的應用帶來了常微分方程、偏微分方程和變分法等分支的產(chǎn)生。伴隨著這些發(fā)展也帶來了一系列分析新概念和符號，如f（x，y）＝0的偏導數(shù)的偏微分（zxx、zyy、zxy）。

分析的光輝使18世紀的幾何的發(fā)展相對暗淡，但幾何也出現(xiàn)了一些革命性的發(fā)展，這主要有利用分析方法研究空間曲線和曲面的微分幾何的形成。Euler是微分幾何的重要奠基人，他給出了空間曲線在任一點的曲率定義和符號，并求出了曲率半徑公式。

四、由數(shù)理邏輯發(fā)展帶來的數(shù)學符號形式化及現(xiàn)代數(shù)學發(fā)展階段（19世紀至今）[8，9]

符號代數(shù)的建立、微積分的嚴格化及后續(xù)發(fā)展都要求數(shù)學符號更規(guī)范和統(tǒng)一，即數(shù)學符號形式化。數(shù)學符號形式化即是用符號、符號的方法或技術來表述數(shù)學對象的規(guī)律和結構，進而以符號對象的抽象研究替代數(shù)學具體對象的研究[10]。

在F.Vieta之后，符號以及用符號推演被數(shù)學家普遍重視。用數(shù)學方法研究邏輯或形式邏輯的學科數(shù)理邏輯（或稱符號邏輯）的誕生與發(fā)展正是數(shù)學符號演繹的體現(xiàn)，現(xiàn)代數(shù)學的高速發(fā)展正是由符號演繹推理的思想方法推動的。

“數(shù)理邏輯”的名稱由意大利數(shù)學家Giuseppe Peano首先給出，他也稱其為符號邏輯。作為數(shù)學的一個分支，數(shù)理邏輯的主要分支包括：模型論、證明論、遞歸論和公理化集合論。Leibniz在17世紀時就首先提出了數(shù)理邏輯的思想方法。Leibniz指出，演算可用符號作運算進行，其中的符號既不是數(shù)，也不是量，而是代表其他一些元素，如點、性質(zhì)、關系等。所有推理的正誤將取決于計算的正誤，演算規(guī)則成為推理規(guī)則。19世紀中葉，英國數(shù)學家George Boole提出數(shù)學運算類似于邏輯關系，如將代數(shù)系統(tǒng)的各種解釋平移到邏輯則形成一種思維演繹。Boole的代數(shù)首先是作為一種類演算建立起來的。類就是我們所說的集合，用x、y、z等表示，符號X，Y，Z等則代表個體元素。1表示全類或稱論域，0代表空類。兩個類x和y相加用x+y表示，兩個類x和y相乘用xy表示。1-x代表那些所有不在x中的個體元素組成的類。更一般地，Boole還考慮了兩個類相減x-y，而x包含y則可寫成y＝xy。我們可以將Boole代數(shù)看作是符號代數(shù)在邏輯上的應用，Boole代數(shù)的創(chuàng)立被認為是數(shù)理邏輯的誕生。

這一時期的英國數(shù)學家Augustus de Morgan還提出了關系邏輯概念。到了19世紀70年代，英國數(shù)學家C.S.Peirce進一步推廣Morgan的思想，首次系統(tǒng)建立了關系邏輯。他提出了命題函數(shù)，特別地引入了全稱量詞“”即“對所有的 x，有 F（x）成立”，及特稱量詞“”即“至少存在一個 x，使 F（x）成立”。德國人Friedrich Ludwig Gottlob Frege是第一個全面系統(tǒng)地建立量詞理論的人。他認為嚴格的形式語言應該體現(xiàn)在邏輯演算中，從而構建起一套完整的演算體系。這是標志數(shù)理邏輯奠基的一個起點。然而當時人們并沒有太留意Frege的理論，主要原因之一是由于Frege用的符號不太簡潔。Giuseppe Peano則改進了符號的使用，提出了一些如“或、且、非”的關系連結詞，并創(chuàng)造了一類表意符號，如用分別表示屬于、任意、推出、合取和析取等?，F(xiàn)代分析中很多命題仍在使用這些符號。

數(shù)理邏輯史上一項偉大的成就就是集合論的創(chuàng)立。這是一個奠定現(xiàn)代數(shù)學初步基礎的新領域。集合論帶來了符號的革命。當今有大量的數(shù)學分支理論方法都是建立在集合論符號系統(tǒng)之上的。

通過符號的形式化方法構筑出新概念，已成為數(shù)學發(fā)現(xiàn)的利器，這極大地拓展了數(shù)學研究的范圍。各種數(shù)學理論的邏輯結構被清晰地揭示，這為進一步探討各種數(shù)學分支的相互關聯(lián)奠定了理論基礎。另外，公理化方法使數(shù)學家的思想完全自由，從而有機會獲得更全面的成果。

19世紀末的德國數(shù)學家DavidHilbert將數(shù)學符號形式化發(fā)展推向了系統(tǒng)化階段，他運用形式化的公理化思想方法給出了幾何學的公理基礎，從而給出了非歐幾何與歐式幾何的公理化統(tǒng)一方法。Hilbert所發(fā)展的這種公理化方法在20世紀已遠遠超出了幾何學的范圍而成為現(xiàn)代數(shù)學甚至物理學領域中普遍應用的科學方法。

在19世紀變革與積累的基礎上，20世紀以來數(shù)學呈現(xiàn)出指數(shù)式的高速發(fā)展。現(xiàn)代數(shù)學已成為分支眾多、龐大的知識體系，并且仍在繼續(xù)急劇地變化發(fā)展中。大體上，純粹數(shù)學的擴張、數(shù)學空前廣泛的應用以及計算機與數(shù)學的互相影響，形成了現(xiàn)代數(shù)學活動的三大方面。其主要特征和趨勢是：更高的抽象性、更強的統(tǒng)一性、更深入的基礎探討和更廣泛的應用性。與此相伴，現(xiàn)代數(shù)學的新符號和新思想方法也層出不窮，當今世界已難有人能夠通曉所有數(shù)學符號。然而，一旦有新元素或新概念創(chuàng)立，對應的新的數(shù)學符號立即被數(shù)學家創(chuàng)造出來，并且在演繹中持續(xù)改良符號，因為他們深信，一個適當?shù)姆?，簡潔而不簡單，能極大地加速和簡化思維的推導過程。憑借符號，數(shù)學家能抽象和復雜地思考。可以說，沒有抽象、精確、規(guī)范和富有啟發(fā)性的數(shù)學符號，就不可能有豐富多彩的當代數(shù)學[11]。