崔 崧, 呂 嫣, 李惠玲,3

(1. 沈陽師范大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院, 沈陽 110034; 2. 沈陽師范大學(xué) 遼寧省射線儀器儀表工程技術(shù)研究中心, 沈陽 110034; 3. 電子科技大學(xué) 物理學(xué)院, 成都 611731)

0 引 言

損傷變量是力學(xué)上描述材料內(nèi)部性能劣化狀態(tài)的一個宏觀變量,是連續(xù)損傷力學(xué)中一個重要概念,可以依據(jù)一些宏觀的力學(xué)量(如彈性模量)引入標量、矢量、張量等不同形式的損傷變量[1-7],細觀損傷力學(xué)則力圖從細觀層次上對含有微觀缺陷的典型損傷單元進行分析,確定其有效彈性模量[8-12]。將2種方法有機地結(jié)合,是損傷力學(xué)將來發(fā)展的方向[13-14]。

一些學(xué)者根據(jù)損傷對材料拉伸和剪切模量的不同影響,提出了雙標量損傷模型[15-16],即拉伸損傷和剪切損傷。2種損傷都是微細觀缺陷的特征在宏觀的體現(xiàn),因此它們之間并非相互獨立,而是具有一定的聯(lián)系,研究它們之間的關(guān)系可以一定程度上簡化損傷理論。

1 拉伸損傷和剪切損傷變量

考慮一個從薄板上截取的寬度和高度分別為2l和2h代表性單元,其中央有一長度為2a的裂紋,建立坐標系o-xy,裂紋沿x方向。令單元體分別承受拉伸和剪切載荷,如圖1、圖2所示。

圖1 受拉伸作用的單元體Fig.1 Element under tension

圖2 受純剪切的單元體Fig.2 Element under shear

由文獻[17-18],圖1對應(yīng)的單元拉伸損傷變量D2和圖2對應(yīng)的剪切損傷變量ω12分別為

則式(1)中的f1、f2的表達式為

同理,與剪切載荷作用下位移有關(guān)的函數(shù)為

2 2種損傷變量間的關(guān)系

利用式(1)和式(2)可以得到損傷變量D2和ω12的關(guān)系曲線,這里做2個算例。算例1保持圖1和圖2中的單元體尺寸l和h不變以及泊松比μ=1/3不變,令裂紋尺寸a逐漸增大的方式使損傷增加,并分別取h/l=0.6、1和1.4。計算結(jié)果如圖3所示:D2-ω12曲線形狀與h/l的取值有關(guān),但是只有當(dāng)損傷較大時,h/l對D2-ω12曲線形狀的影響才比較顯著,否則可以忽略這種影響。

算例2則在算例1的基礎(chǔ)上令泊松比μ分別取1/3、1/4和1/5,并取h/l=1不變,計算結(jié)果如圖4所示:D2-ω12曲線形狀也與泊松比μ的取值有關(guān),當(dāng)2種材料的泊松比μ的差值較大時,μ對D2-ω12曲線形狀的影響在損傷較小時就很明顯,并隨著損傷的增大這種影響也逐漸增大。

由圖3、4的曲線形狀可以認為D2與ω12的關(guān)系近似為多項式。利用式(1)和式(2),令

圖3 h/l對D2-ω12曲線的影響Fig.3 Influence of h-l on D2-ω12 relation cueve

圖4 μ對D2-ω12曲線的影響Fig.4 Influence of μ on D2-ω12 relation cueve

(3)

且k=k(ω12),由式(3),有

D2=D2(ω12)=k(ω12)ω12

上式令其在ω12=0處作Taylor展開,保留到3次,則有

(4)

式(4)即為2種損傷變量關(guān)系的近似式。其中式中的k(0)可由式(3)得到,k′(0)和k″(0)則可利用數(shù)值方法求出,例如當(dāng)h/l=1,μ=1/3時,可以求出k(0)=2.666 7,k′(0)=-3.529 4,k″(0)=11.375 42,圖5為這種情況下的D2-ω12關(guān)系的實際曲線和按照式(4)得到的理論曲線的比較,圖6為當(dāng)h/l=0.6,μ=1/3時實際曲線和理論曲線。

圖5 h/l=1時D2-ω12的理論曲線和實際曲線

圖6 h/l=0.6時D2-ω12的理論曲線和實際曲線

由上圖可以看到,2種情況下D2-ω12關(guān)系的理論曲線和實際曲線都符合的很好,表明公式(4)是實用的。

3 結(jié) 論

應(yīng)用彈性力學(xué)理論的復(fù)變函數(shù)法,分析了平面應(yīng)力問題的含裂紋單元的拉伸損傷變量和剪切損傷變量,并給出了具體的表達式,進一步分析了2種損傷變量之間的關(guān)系,得到了實用的簡單公式。計算結(jié)果表明,2種損傷變量的關(guān)系與泊松比μ及損傷的擴展方式有關(guān)。雖然分析的是簡單含裂紋單元,但是方法和結(jié)論可用來分析脆性材料內(nèi)部復(fù)雜裂紋分布情況下的拉伸損傷和剪切損傷之間的關(guān)系。