馬志豪，王 寧，孟 叢，高 聰，賈宏志

（上海理工大學(xué) 上海市現(xiàn)代光學(xué)系統(tǒng)重點實驗室，上海 200093）

引 言

隨著半導(dǎo)體產(chǎn)業(yè)的飛速發(fā)展，高度集成的微納電子器件在正常工作時會產(chǎn)生大量余熱進而影響其工作性能和使用壽命。傳統(tǒng)風(fēng)冷和液冷方式無法解決大功率器件或高熱流密度芯片的熱管理問題。熱電制冷器件能夠直接將熱能轉(zhuǎn)換為電能，并且具有無機械傳動部件、體積小、重量輕、使用壽命長等優(yōu)點，非常適合解決傳統(tǒng)器件的熱管理問題。這種熱電器件的工作原理歸因于塞貝克效應(yīng)、帕爾帖效應(yīng)和湯姆遜熱效應(yīng)[1-2]，能夠直接實現(xiàn)熱能和電能的相互轉(zhuǎn)換。熱電器件中所使用的常見材料有碲化鉍、碲化鉛、硅鍺合金等。在低維納米材料的量子受限效應(yīng)被提出后，因其電子態(tài)密度更加集中有助于提高材料的導(dǎo)電性，并且固有的材料界面有利于聲子散射而降低材料的熱導(dǎo)率，所以研究者對低維納米材料的物理熱電性質(zhì)進行了廣泛的研究，而石墨烯正是一種新型低維納米材料。

石墨烯是一層致密蜂窩狀二維晶體結(jié)構(gòu)的單層碳原子，其電子輸送遵循狄拉克方程，因此表現(xiàn)出無質(zhì)量、零帶隙、雙極性[3]等物理特性，使石墨烯成為電學(xué)、光學(xué)和力學(xué)等方面的熱門材料。石墨烯的載流子遷移率可高達20 000 cm2/（V·S），且是目前電阻率最小的材料，只有10-6Ω·cm，并且其帶隙、載流子濃度和極性可以通過光照、電場和磁場等條件實現(xiàn)靈活調(diào)控[4-5]，使得石墨烯在熱電領(lǐng)域也備受關(guān)注。

本文提出一種可以通過背柵電壓調(diào)控參數(shù)的石墨烯熱電器件結(jié)構(gòu)。首先，從柵壓和溫度對載流子遷移率和濃度的影響出發(fā)，分析了柵壓和溫度對石墨烯通道電阻的影響。然后，依據(jù)半經(jīng)典Mott公式推導(dǎo)塞貝克系數(shù)的表達式，進一步給出了石墨烯通道電導(dǎo)率和熱導(dǎo)率的模型。最終，給出了不同背柵電壓下石墨烯熱電器件的溫度分布圖。

1 石墨烯熱電器件模型

石墨烯熱電器件示意圖如圖1所示。這種結(jié)構(gòu)的背柵電極被放置在Si襯底之下，與石墨烯層通過SiO2介質(zhì)層相隔離。在背柵電極的作用下石墨烯的帶隙被打開形成PN結(jié)[6-7]，并改變石墨烯通道中載流子遷移率和濃度。此結(jié)構(gòu)作為熱電器件工作時，電流I從電極流經(jīng)石墨烯，石墨烯和電極接觸界面會發(fā)生熱量的釋放和吸收過程。吸收的熱量為Q=（Sg-Se）ITc-kgsgΔT/L-I2R/2，釋放的熱量為Q=（Sg-Se）ITh-kgsgΔT/L+I2R/2。其中Sg、Se、Tc、Th、kg、sg、L和R分別為石墨烯的塞貝克系數(shù)、電極的塞貝克系數(shù)、冷端溫度、熱端溫度、石墨烯的熱導(dǎo)率、石墨烯橫截面積、石墨烯通道的長度和電阻。

圖1 石墨烯熱電器件示意圖Fig. 1 Schematic of graphene thermoelectric device

2 石墨烯熱電器件仿真建模

2.1 石墨烯通道的載流子輸運

石墨烯通道的載流子遷移率[7]受載流子濃度（n）和環(huán)境溫度（T）影響，其變化關(guān)系可表示為

式中：初始載流子遷移率μ0=4 650 cm2/（V·s）；初始載流子濃度nref=1.1×1013cm-2；初始溫度Tref=300 K；α=2.2；β=3。背柵電壓對石墨烯載流子濃度的影響可以表示為

式中VB,Dirac、CB、εo、εr、tB分別為背柵狄拉克電壓、背柵電容、真空中介電常數(shù)、背柵材料的相對介電常數(shù)和厚度。石墨烯通道的載流子濃度可以表示為

式中L=10 μm和W=8 μm分別為石墨烯通道的長和寬。

2.2 石墨烯熱電器件性能參數(shù)

熱電優(yōu)值（ZT）是衡量熱電材料性能的關(guān)鍵參數(shù)

式中S、σ和k分別為塞貝克系數(shù)、電導(dǎo)率和熱導(dǎo)率。首先從半經(jīng)典Mott關(guān)系式出發(fā)，得到石墨烯的近似塞貝克系數(shù)，化簡得到

式中EF=?·vF·（π·n）1/2。石墨烯通道的等效電導(dǎo)率[9]可由σ=L·R/sg和式（4）得到

式中d為石墨烯的厚度。石墨烯的熱導(dǎo)率由電子熱導(dǎo)和聲子熱導(dǎo)兩部分組成，其中電子熱導(dǎo)率部分可以被忽略，而石墨烯的聲子熱導(dǎo)率（k）[10]可以表示為

式中k0=5 000 W/(K·m)。

3 結(jié)果與討論

如圖2（a）所示，載流子遷移率受背柵電壓的影響很小，當(dāng)T=500 K時，μ=3 500 cm2/（V·s）；T=100 K 時，μ=6 500 cm2/（V·s），可見遷移率主要受環(huán)境溫度變化的影響。載流子遷移率主要受聲子散射和庫倫散射的限制。聲子散射和溫度有關(guān)，而庫倫散射與電場有關(guān)。當(dāng)溫度從100 K升高到200 K時，石墨烯的聲子散射增強，限制了載流子的遷移率；由式（1）可知，當(dāng)系統(tǒng)溫度在參考溫度附近（200～400 K）時，遷移率對溫度變化不敏感；當(dāng)溫度從400 K升高到500 K時，高溫激發(fā)了二氧化硅襯底的表面極性聲子散射，進一步降低了載流子的遷移率。如圖2（b）所示，在背柵狄拉克電壓處，當(dāng)環(huán)境溫度T從100 K升高500 K時，載流子濃度從2.6×1011cm-2升高到4.6×1011cm-2，因為當(dāng)溫度升高時，石墨烯內(nèi)熱激發(fā)產(chǎn)生的熱致載流子增多使?jié)舛壬?。同樣?dāng)背柵電壓施加時，石墨烯因為場效應(yīng)會在通道區(qū)域形成電子導(dǎo)電區(qū)（n型載流子）或空穴導(dǎo)電區(qū)（p型載流子），使載流子濃度上升。因為載流子遷移率和濃度的影響，石墨烯通道電阻同時受背柵電壓和溫度調(diào)控，圖2（c）中通道電阻整體呈現(xiàn)Λ形狀，電阻的最大值出現(xiàn)在狄拉克電壓處。由圖2（d）可知，溫度與塞貝克系數(shù)成正比關(guān)系。當(dāng)T=500 K，VB=-2 V時，塞貝克系數(shù)最大值達到230 μV/K；當(dāng)VB=7 V時，塞貝克系數(shù)為-230 μV/K，這也是石墨烯雙極性的體現(xiàn)。

通過有限元分析（FEA）建模，輸入電流密度為1×1011A/m2，設(shè)定冷端溫度為270 K。圖3展示了不同背柵電壓下石墨烯熱電器件表面溫度分布，當(dāng)VB=0 V時，石墨烯熱電器件熱端和冷端溫度差為30 K；當(dāng)VB=6 V時，熱端和冷端的最大溫差升高到50 K。此后，隨背柵電壓的增加，溫差逐漸變小，當(dāng)VB=30 V，溫差只有10 K。在熱電器件內(nèi)部的能量可以分為三部分:塞貝克效應(yīng)產(chǎn)生的能量（-Se）ITc、帕爾貼效應(yīng)產(chǎn)生的能量sgΔT/L以及湯姆遜熱效應(yīng)部分I2R。其中塞貝克系數(shù)Sg和熱導(dǎo)率kg均與柵壓有關(guān)，可見背柵電壓可以對石墨烯器件的熱電性能進行調(diào)控。

圖2 背柵電壓和溫度與石墨烯熱電參數(shù)的關(guān)系Fig. 2 Relationship between back gate voltage and temperature to graphene thermoelectric parameters

圖3 不同背柵電壓下石墨烯熱電器件熱端和冷端溫度圖Fig. 3 Charts of hot and cold side temperatures of graphene thermoelectric device at different back gate voltages.

4 結(jié) 論

本文通過對石墨烯熱電器件的載流子遷移率、載流子濃度、電阻、塞貝克系數(shù)、電導(dǎo)率和熱導(dǎo)率的模型搭建，分析了背柵電壓和溫度對各熱電參數(shù)的影響，并通過有限元分析（FEA）方法直觀給出了熱電器件冷端和熱端的溫度差。體現(xiàn)了溫度和背柵電壓對石墨烯熱電性能的調(diào)控特性，為新型石墨烯熱電器件的設(shè)計提供參考。