周 鋒，徐天河

1. 山東科技大學(xué)測繪科學(xué)與工程學(xué)院，山東 青島 266590； 2. 山東大學(xué)空間科學(xué)研究院，山東 威海 264209

精密單點(diǎn)定位(precise point positioning，PPP)是指利用外部提供的高精度衛(wèi)星軌道和鐘差產(chǎn)品，在綜合考慮各項(xiàng)誤差精確改正的基礎(chǔ)上，采用合理的參數(shù)估計(jì)策略(如最小二乘或Kalman濾波等)，利用單臺GNSS接收機(jī)的載波相位和偽距觀測值實(shí)現(xiàn)全球高精度絕對定位(一般可達(dá)分米至毫米級)的一項(xiàng)技術(shù)[1]。PPP技術(shù)自20世紀(jì)90年代被提出并實(shí)現(xiàn)后[2-3]，經(jīng)過將近30年的快速發(fā)展，基本理論和工程實(shí)踐已日趨成熟，目前已廣泛應(yīng)用于廣域精密定位、低軌衛(wèi)星定軌、水汽反演與電離層監(jiān)測、地震與海嘯的監(jiān)測和預(yù)警、時間傳遞等領(lǐng)域[4-7]。

得益于全球分布的大地型GNSS接收機(jī)，PPP技術(shù)自問世以來，大多采用雙頻PPP模型，已有學(xué)者從模糊度固定角度詳細(xì)論述了不同雙頻PPP模型的相互關(guān)系[8]。隨著美國GPS現(xiàn)代化、我國BDS和歐盟Galileo導(dǎo)航衛(wèi)星系統(tǒng)的迅速建設(shè)，越來越多的導(dǎo)航衛(wèi)星開始播發(fā)三頻信號，三頻PPP的研究和應(yīng)用也越來越廣泛與深入[9]。基于BDS三頻觀測值，文獻(xiàn)[10—11]系統(tǒng)研究了3種BDS三頻PPP觀測模型及其定位性能，即基于B1/B2和B1/B3無電離層組合觀測值、基于單個無電離層組合觀測值及基于非差非組合觀測值的三頻PPP模型。文獻(xiàn)[12]基于GPS三頻觀測值對比分析了不同三頻PPP模型的定位性能。不同研究結(jié)果表明，三頻PPP與雙頻PPP在收斂性能和定位精度等性能指標(biāo)上基本相當(dāng)。針對城市復(fù)雜環(huán)境下(如信號遮擋、衰減和多徑頻繁發(fā)生)的智能交通、自動駕駛等對高精度動態(tài)定位的需求，文獻(xiàn)[13]充分利用三頻多系統(tǒng)GNSS數(shù)據(jù)，提出單歷元寬巷模糊度固定PPP方法，并與傳統(tǒng)雙頻PPP和廣域偽距增強(qiáng)精密定位方法進(jìn)行對比分析。結(jié)果表明，在干擾因素多的城市復(fù)雜環(huán)境中，單歷元寬巷模糊度固定PPP定位效果更好。可以看出，三頻觀測值的加入，不僅可以提升PPP模糊度固定效率，還將提升復(fù)雜場景下PPP定位的可用性及可靠性。

近年來，已有大量研究針對三頻PPP模型與定位性能進(jìn)行了廣泛的驗(yàn)證與分析，但鮮有文獻(xiàn)對三頻PPP模型間進(jìn)行系統(tǒng)性的研究與比較，而且對三頻PPP模型中GNSS偏差的產(chǎn)生機(jī)制及數(shù)學(xué)表達(dá)缺乏深入探討。從原始非差非組合觀測方程出發(fā)，在精細(xì)考慮偽距和載波相位硬件偏差的基礎(chǔ)上，本文詳細(xì)地研究了3種常用的三頻PPP函數(shù)模型的獨(dú)立參數(shù)化方法，系統(tǒng)分析了3種PPP模型的相互關(guān)系，并給出了非組合模式下兩類GNSS偏差(如接收機(jī)偽距頻間偏差和載波相位頻間衛(wèi)星鐘偏差)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)表達(dá)形式。本文利用GPS/BDS/Galileo三頻PPP算例，分析驗(yàn)證了理論的正確性及不同模型的定位性能。

1 三頻PPP觀測模型

本節(jié)給出三頻PPP的觀測模型，包括函數(shù)模型及其對應(yīng)的隨機(jī)模型。為簡單起見，利用L1、L2和L3分別表示GPS L1、L2和L5頻率，BDS B1、B2和B3頻率及Galileo E1、E5a和E5b頻率。具體見表1。

表1 GPS/BDS/Galileo衛(wèi)星系統(tǒng)及其對應(yīng)的頻率

1.1 函數(shù)模型

從非差非組合GNSS原始觀測方程出發(fā)，建立三頻PPP函數(shù)模型，并對不同模型的異同點(diǎn)進(jìn)行了細(xì)致研究。

1.1.1 原始觀測方程

一般地，非差非組合GNSS偽距和載波相位觀測方程可表示如下

(1)

對于偽距和相位硬件偏差，通常認(rèn)為偽距硬件偏差比較穩(wěn)定，一天內(nèi)變化較小[15-16]。而相位硬件偏差具有明顯的時變特性，可將相位硬件偏差分解為常數(shù)部分和時變部分[17-18]，即

(2)

為簡便起見，定義以下變量

(3)

目前GNSS精密衛(wèi)星鐘差產(chǎn)品一般是基于L1/L2雙頻(如GPS L1/L2、BDS B1/B2與Galileo E1/E5a)無電離層組合偽距和載波觀測值計(jì)算得到[19]。因此，精密衛(wèi)星鐘差包含了雙頻偽距硬件偏差與相位硬件偏差時變部分的線性組合，即

(4)

引入精密衛(wèi)星軌道和鐘差改正，將式(4)代入式(1)并線性化得

(5)

(6)

顧及式(6)，則式(5)可進(jìn)一步寫為

(7)

式中

(8)

IFCB估計(jì)一般基于經(jīng)典的無幾何距離無電離層(geometry-free and ionospheric-free，GFIF)組合觀測量計(jì)算得到[17,20]。文獻(xiàn)[21—22]論證了IFCB與衛(wèi)星有關(guān)，而與接收機(jī)無關(guān)，并給出了將GFIF組合觀測量估計(jì)的IFCB轉(zhuǎn)化為非組合觀測值下的IFCB的轉(zhuǎn)換關(guān)系，即

(9)

接著，在式(7)的基礎(chǔ)上，建立3種常用的三頻PPP函數(shù)模型。為簡便起見，用IF1213-PPP、IF123-PPP和UC123-PPP分別表示基于L1/L2和L1/L3兩個無電離層組合觀測值、基于單個無電離層組合觀測值及基于非差非組合觀測值的三頻PPP模型。首先給出三頻偽距和載波相位OMC觀測向量，即

(10)

1.1.2IF1213-PPP模型

IF1213-PPP由兩個不同的無電離層組合觀測量得到，可表達(dá)為

(11)

為使觀測方程中接收機(jī)鐘差參數(shù)保持一致，將式(11)展開并改寫為

(12)

式中

(13)

式中，Ωr,IF1213為IF1213組合下的接收機(jī)IFB。

可以得出，IF1213-PPP的待估參數(shù)向量為

(14)

1.1.3IF123-PPP模型

IF123-PPP利用三頻觀測值直接組成無電離層組合觀測量，即

(15)

式中，設(shè)計(jì)矩陣AIF123=[e1e2e3]，e1、e2和e3為線性組合系數(shù)，且滿足以下關(guān)系式

(16)

(17)

將式(15)展開，得

(18)

式中

(19)

相應(yīng)地，IF123-PPP的待估參數(shù)向量為

X=[xdtr,IF123ZrNr,IF123]

(20)

1.1.4UC123-PPP模型

UC123-PPP在不同頻率觀測值之間不作線性組合，而是直接利用原始偽距和載波觀測值，即

(21)

式中，設(shè)計(jì)矩陣AUC123=diag(1,1,1)。其中，diag(·)表示對角陣。

結(jié)合式(7)和式(8)，將式(21)進(jìn)一步展開為

(22)

相應(yīng)地，UC123-PPP的待估參數(shù)向量為

(23)

1.1.5 三頻PPP模型間的聯(lián)系

在觀測方程層面，IF1213-PPP、IF123-PPP和UC123-PPP都是基于三頻原始觀測值的線性組合形成，設(shè)計(jì)矩陣(或線性組合系數(shù)陣)分別對應(yīng)AIF1213、AIF123和AUC123。不同的是，前兩者需對不同頻率觀測值進(jìn)行線性組合以消除電離層延遲影響，而UC123-PPP在不同頻率觀測值之間無須做線性組合。

在待估參數(shù)層面，3個模型對應(yīng)相同的位置參數(shù)和對流層濕延遲參數(shù)，而估計(jì)的載波相位模糊度各不相同；不同于IF123-PPP，IF1213-PPP和UC123-PPP估計(jì)相同的接收機(jī)鐘差參數(shù)。此外，IF1213-PPP和UC123-PPP需分別估計(jì)一個接收機(jī)偽距IFB參數(shù)，且兩者存在下述轉(zhuǎn)換關(guān)系

Ωr,IF1213=β12DCBr,12-β13DCBr,13≡β13·Ωr,3

(24)

1.2 隨機(jī)模型

假設(shè)不同頻率觀測值之間相互獨(dú)立，且不同頻率偽距或載波相位觀測值噪聲相同，即滿足σP1=σP2=σP3=σP和σL1=σL2=σL3=σL。非組合三頻觀測值對應(yīng)的方差-協(xié)方差陣ΣUC可以表示為

(25)

式中，σP|L=a/sin(E)，其中a為觀測值噪聲，對于載波觀測值，一般經(jīng)驗(yàn)地取為0.003 m；而對于偽距觀測值，一般取0.3 m；E為衛(wèi)星高度角。

根據(jù)誤差傳播定律，IF1213-PPP、IF123-PPP和UC123-PPP對應(yīng)的方差-協(xié)方差陣為

(26)

式中，ΣIF1213、ΣIF123和ΣUC123分別為IF1213-PPP、IF123-PPP和UC123-PPP模型的觀測值方差-協(xié)方差陣。

2 試驗(yàn)結(jié)果分析

2.1 數(shù)據(jù)介紹及處理策略

為驗(yàn)證GPS/BDS/Galileo三頻PPP定位性能，選取均勻分布的25個MGEX測站于2019年7月的觀測數(shù)據(jù)(采樣間隔為30 s)進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，測站地理分布見圖1，測站所處經(jīng)緯度、配備的接收機(jī)類型和天線類型信息見表2。可以看出，所選測站的接收機(jī)類型有4種，分別是SEPT POLARX5、JAVAD TRE_3 DELTA、TRIMBLE ALLOY和TRIMBLE NETR9，其中配備TRIMBLE NETR9和SEPT POLARX5接收機(jī)的測站占比分別為56%和32%。此外，所選測站均具備跟蹤GPS/BDS/Galileo三頻信號的能力且滿足每個歷元跟蹤到每個衛(wèi)星系統(tǒng)的衛(wèi)星數(shù)均大于或等于4顆。表3給出了可以播發(fā)三頻觀測值的GPS、BDS和Galileo衛(wèi)星情況，其中包括部分GPS衛(wèi)星(12顆)以及全部的BDS(15顆)和Galileo衛(wèi)星(24顆)。

圖1 選取的25個MGEX測站分布Fig.1 Geographical distribution of the selected 25 MGEX tracking stations

表2 所選MGEX測站基本信息

表3 具備三頻信號播發(fā)能力的GPS/BDS/Galileo衛(wèi)星情況

當(dāng)坐標(biāo)的東(E)、北(N)、垂向(U)3個方向定位偏差均小于1 dm時，認(rèn)為濾波收斂，選取濾波解穩(wěn)定后(本文選定濾波開始2 h后)的定位偏差用于統(tǒng)計(jì)定位精度[25]。利用箱線圖來描述定位精度的分布情況，其中上、下邊緣線分別表示95%和5%分位數(shù)，矩形盒的上、下兩端線分別表示75%和25%分位數(shù)，矩形盒內(nèi)部線表示中位數(shù)，即50%分位數(shù)[26]。

2.2 靜態(tài)PPP

算例給出5種GPS/BDS/Galileo靜態(tài)PPP模型定位情況，選取了雙頻無電離層組合模型IF12-PPP與雙頻非組合模型UC12-PPP作為對比。圖2為測站KAT1和KIRI在年積日(day of year，DOY)182的靜態(tài)定位誤差曲線圖?？梢钥闯觯谑諗侩A段IF123-PPP表現(xiàn)相對其他模型稍差一些，這主要是由于具有三頻觀測值的GPS衛(wèi)星較少(僅有12顆)，而IF123-PPP模型對三頻觀測值完整性的要求更為苛刻，導(dǎo)致其參與數(shù)據(jù)解算的GPS觀測值數(shù)量相比其他模型下降明顯。以KAT1測站為例，IF123-PPP、IF1213-PPP和UC123-PPP解算用到的GPS平均衛(wèi)星數(shù)分別為4.2、10.4和10.4。待濾波解充分收斂后，5種PPP模型定位誤差曲線基本重合。

圖2 5種模型GPS/BDS/Galileo靜態(tài)PPP定位誤差(年積日182，2019)Fig.2 Positioning errors derived from five GPS/BDS/Galileo static PPP solutions on DOY 182, 2019

圖3給出了所選25個測站一個月不同PPP模型靜態(tài)定位模式下定位精度分布箱線圖，表4列出了其定位精度的中位數(shù)統(tǒng)計(jì)。從圖中可以看出，相比雙頻PPP，三頻觀測值的加入對GPS/BDS/Galileo PPP定位精度提升不明顯，三頻PPP定位性能與雙頻PPP基本相當(dāng)。從表4可得，5種靜態(tài)PPP模型收斂后的水平方向精度優(yōu)于1.0 cm，高程方向優(yōu)于1.5 cm。

圖3 5種模型GPS/BDS/Galileo靜態(tài)PPP定位精度分布Fig.3 Distribution of positioning accuracy among five GPS/BDS/Galileo PPP models in static mode

表4 5種模型GPS/BDS/Galileo靜態(tài)PPP靜態(tài)定位精度統(tǒng)計(jì)

由式(24)可以得出，IF1213-PPP和UC123-PPP估計(jì)的接收機(jī)IFB的轉(zhuǎn)換系數(shù)為β13，對應(yīng)GPS為-1.261、BDS為-1.944、Galileo為-1.422。圖4給出了DOY 182不同測站IF1213-PPP和UC123-PPP估計(jì)的接收機(jī)IFB間轉(zhuǎn)換系數(shù)。從估計(jì)的IFB得到的轉(zhuǎn)換系數(shù)與參考值的吻合程度來看，Galileo最好，BDS次之，而GPS最差，這是因?yàn)镚PS三頻觀測值衛(wèi)星為MEO衛(wèi)星，每個測站實(shí)際觀測到的三頻GPS衛(wèi)星相對BDS和Galileo要少。仍以DOY 182 KAT1測站為例，可觀測到的具有三頻觀測值的GPS、BDS和Galileo平均衛(wèi)星數(shù)分別為4.2、10.7和7.3，其中BDS大部分為GEO和IGSO衛(wèi)星。此外，接收機(jī)IFB與偽距觀測值有關(guān)，相比GPS和BDS，Galileo的偽距觀測值質(zhì)量更好[27]。

圖4 不同測站IF1213-PPP和UC123-PPP估計(jì)的接收機(jī)IFB間轉(zhuǎn)換系數(shù)(DOY 182，2019)Fig.4 Conversion coefficients of receiver IFBs derived from IF1213-PPP and UC123-PPP for different stations (DOY 182，2019)

2.3 動態(tài)PPP

算例給出5種GPS/BDS/Galileo動態(tài)PPP模型定位情況。圖5為測站KAT1和KIRI在DOY 182的動態(tài)定位誤差曲線圖。與靜態(tài)PPP相比，IF123-PPP動態(tài)定位誤差與其他PPP模型差異較明顯，可見動態(tài)PPP對可觀測衛(wèi)星數(shù)的變化更敏感。因此，對于三頻PPP定位，若有GPS觀測值加入時，不建議采用IF123-PPP模型。整體來看，除了IF123-PPP，其他4種PPP模型定位誤差吻合較好。從圖6和表5可以看出，三頻IF1213-PPP、UC123-PPP與雙頻IF12-PPP、UC12-PPP的定位精度基本相當(dāng)，而IF123-PPP定位精度稍差，整體上，5種動態(tài)PPP模型收斂后的水平精度優(yōu)于2.0 cm，高程精度優(yōu)于5.0 cm。

表5 不同GPS/BDS/Galileo PPP模型動態(tài)定位精度

此外，為了測試不同PPP模型的解算效率，圖7表示DOY 182不同測站不同PPP模型的解算時間(計(jì)算機(jī)為八核Intel Core i7-8550U處理器，CPU主頻1.8 GHz)。很明顯，基于非組合觀測值的PPP模型具有更多的觀測值與待估參數(shù)，因此其計(jì)算時間明顯大于無電離層組合PPP模型。

3 結(jié) 論

本文對三頻PPP模型中出現(xiàn)的偏差項(xiàng)(如接收機(jī)IFB、載波相位IFCB等)進(jìn)行了較為詳細(xì)的分析和描述。在充分考慮偽距和載波相位硬件延遲的基礎(chǔ)上，從公式推導(dǎo)的角度，詳細(xì)討論了3種三頻PPP模型的獨(dú)立參數(shù)化方法，并從觀測方程和參數(shù)估計(jì)角度，論述了不同三頻PPP模型的相互關(guān)系。試驗(yàn)分析了3種PPP模型的靜態(tài)、動態(tài)定位精度，得出以下結(jié)論。

(1) 由于當(dāng)前GPS衛(wèi)星僅有12顆可播發(fā)三頻信號，因此有GPS觀測值參與的三頻PPP解算，不建議采用IF123-PPP模型。

圖5 5種模型GPS/BDS/Galileo動態(tài)PPP定位誤差(年積日182，2019)Fig.5 Positioning errors derived from five GPS/BDS/Galileo kinematic PPP solutions on DOY 182, 2019

圖6 5種模型GPS/BDS/Galileo動態(tài)PPP定位精度分布圖Fig.6 Distribution of positioning accuracy among five GPS/BDS/Galileo PPP models in kinematic mode

圖7 不同PPP模型數(shù)據(jù)解算耗時對比(DOY 182，2019)Fig.7 Computation time for different PPP processing (DOY 182，2019)

(2) 不考慮IF123-PPP模型，待濾波收斂后，雙頻、三頻非組合PPP與相應(yīng)的無電離層組合PPP定位精度基本相當(dāng)。相比雙頻PPP，三頻觀測值的加入對PPP定位性能的提升不明顯，三頻PPP與雙頻PPP的定位精度基本相當(dāng)。

(3) GPS/BDS/Galileo三頻PPP，在靜態(tài)定位模式下，收斂后水平方向精度優(yōu)于1.0 cm，高程方向優(yōu)于1.5 cm；而在動態(tài)定位模式下，收斂后水平精度優(yōu)于2.0 cm，高程方向優(yōu)于5.0 cm。