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        關(guān)于Sine橢球的研究

        2021-01-18 07:11:54張思濤
        卷宗 2020年32期
        關(guān)鍵詞:星體橢球對偶

        張思濤

        (商丘工學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部,河南 商丘 476000)

        1 引言

        橢球是凸幾何分析中一個重要的研究對象,近些年來,橢球得到了廣泛的關(guān)注并產(chǎn)生了大量的深刻結(jié)果[1-3]。本文也將繼續(xù)在L3空間中進行研究。在經(jīng)典力學(xué)中,慣量橢球Γ2K是指在任一方向上有相同的轉(zhuǎn)動慣量,這個橢球就是我們熟知的Legendre橢球[1]。Lutwak[2]引入了它的對偶模型LYZ橢球。利用數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的基本定理勾股定理,Li[3]定義了兩種正弦橢球,對于星體K和向量x,橢球Λ2K的支撐函數(shù)定 義為:

        對于凸體K和向量x,橢球Λ-2K的徑向函數(shù)定義為:

        受上述文獻的啟發(fā),我們進一步研究正弦橢球,得到了如下結(jié)果:

        定理:若L是星體,那么

        2 定理的證明

        我們將列舉有關(guān)凸體的一些知識背景,可以參看Schneider的關(guān)于凸體的百科全書[4]。對于凸體K,有

        若K,L是星體,那么他們的對偶混合體積[5]定義為:

        當(dāng)K=L時,有

        對偶Lp Minkowski不等式陳述為:若K,L是星體和3≥p>0,有

        其中等號成立當(dāng)且僅當(dāng)K,L是膨脹的。

        引理:若K和L是星體,則有

        證明:由等式(5),(4),(1)和Fubini’s定理,有

        進一步化簡得到等式(8),證畢。

        由不等式(7)得:

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