李 芳

（四川師范大學(xué)，四川 成都 610066）

1 圓錐曲線與方程（章引言）教學(xué)設(shè)計(jì)

1.1 內(nèi)容分析

本課是人民教育出版社A版高中數(shù)學(xué)教材《選修2-1》中第二章“圓錐曲線與方程”的章引言課。教材章引言介紹了圓錐曲線的名稱由來(lái)、發(fā)展歷史、用途以及坐標(biāo)法思想。本課目的在于從章引言出發(fā)，類比圓的研究方法，建構(gòu)研究圓錐曲線的基本框架，明確本章學(xué)習(xí)內(nèi)容。

1.2 學(xué)情分析

學(xué)生通過(guò)直線與方程的關(guān)系，領(lǐng)會(huì)了曲線與方程之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，又通過(guò)圓與方程的學(xué)習(xí)，初步體會(huì)了運(yùn)用解析幾何研究幾何曲線的過(guò)程，建立了用代數(shù)方法研究曲線的基本經(jīng)驗(yàn)。又通過(guò)圓與方程的學(xué)習(xí)，領(lǐng)會(huì)了曲線與方程之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，但用代數(shù)方法研究相對(duì)陌生的圓錐曲線仍是難點(diǎn)。

1.3 教學(xué)目標(biāo)

1）了解圓錐曲線的背景（產(chǎn)生和發(fā)展）、應(yīng)用，感受其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)文化，領(lǐng)悟圓錐曲線研究的必要性和重要性。

2）通過(guò)類比圓的研究方法，建立研究圓錐曲線的基本思想方法，領(lǐng)悟圓錐曲線研究的反演（RMI）范式。通過(guò)旦德林雙球模型和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，探究橢圓上的點(diǎn)滿足的幾何條件。

3）通過(guò)感受圓錐曲線的文化和感悟思想方法的過(guò)程，激發(fā)學(xué)生的探究樂(lè)趣，發(fā)展學(xué)生的理性精神。

1.4 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

1）建構(gòu)研究圓錐曲線的基本方法，探究橢圓上的點(diǎn)滿足的幾何條件。

2）領(lǐng)會(huì)研究圓錐曲線的基本方法，理解旦德林雙球模型中橢圓的幾何特征。通過(guò)類比圓的研究方法和使用自制教具以及動(dòng)畫(huà)直觀顯示模型中的幾何關(guān)系來(lái)突破教學(xué)難點(diǎn)。

1.5 教法、學(xué)法

本節(jié)課采用“情境引導(dǎo)——類比建構(gòu)——啟發(fā)探究——?dú)w納拓展”等引導(dǎo)探究式教學(xué)，注重引、思、探、拓的結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生觀察思考、操作探究和反思拓展等學(xué)習(xí)活動(dòng)。

1.6 教學(xué)過(guò)程

1.6.1 情境引入

目的：明確圓錐曲線名稱由來(lái)和廣泛引用（為什么學(xué)）

1）從“嫦娥奔月”的情景和閱讀章引言出發(fā)，了解圓錐曲線。

2）圓錐曲線是如何產(chǎn)生的，它與圓錐有什么關(guān)系？

引入數(shù)學(xué)史：阿波羅尼奧斯用一個(gè)不過(guò)圓錐頂點(diǎn)的平面去截一個(gè)對(duì)頂圓錐得到四種不同的曲線（用PPT動(dòng)畫(huà)顯示，如下圖）

3）舉例說(shuō)明在天文物理、生產(chǎn)生活等方面都有圓錐曲線美麗的身影，表現(xiàn)圓錐曲線應(yīng)用的廣泛性。

1.6.2 方法建構(gòu)

目的：建構(gòu)研究圓錐曲線基本方法范式（怎么學(xué)）

1）圓與方程。介紹解析幾何思想：借助坐標(biāo)系，將點(diǎn)與坐標(biāo)對(duì)應(yīng)起來(lái)，曲線與方程對(duì)應(yīng)起來(lái)，通過(guò)曲線方程來(lái)研究曲線的幾何性質(zhì)?；仡檲A與方程的研究方法。

2）圓錐曲線的研究方法。具體如何來(lái)研究圓錐曲線呢？借助坐標(biāo)法將圓錐曲線上任一點(diǎn)的“幾何條件”轉(zhuǎn)變?yōu)椤按鷶?shù)關(guān)系”，通過(guò)代數(shù)關(guān)系求圓錐曲線的方程，進(jìn)一步通過(guò)圓錐曲線方程的代數(shù)性質(zhì)，研究其幾何性質(zhì)。

1.6.3 幾何條件的探究

目的：橢圓上的點(diǎn)滿足怎樣的幾何條件（學(xué)什么）

1）思考問(wèn)題：圓錐曲線（如橢圓）上的點(diǎn)滿足什么幾何條件？

研究曲線的起點(diǎn)是要明確曲線上的點(diǎn)所滿足的幾何條件。通過(guò)截圓錐得到不同類型的圓錐曲線，只到看到了“形”，這些圓錐曲線上的點(diǎn)應(yīng)滿足什么幾何條件呢？以橢圓為例，通過(guò)數(shù)學(xué)家旦德林構(gòu)造的雙球模型來(lái)探究橢圓上的點(diǎn)滿足的幾何條件。

2）探究發(fā)現(xiàn)：橢圓上的點(diǎn)滿足的幾何條件。

如圖，截面的上下兩個(gè)球與橢圓截面及圓錐側(cè)面相切利用自制的模型，組織學(xué)生進(jìn)行合作探究以下問(wèn)題：

問(wèn)題1：|AE|和|AB|有什么數(shù)量關(guān)系？

問(wèn)題2：圖中|BC|為一個(gè)定值嗎？

問(wèn)題3：|AE|+|AF|與|BC|有什么數(shù)量關(guān)系？

再通過(guò)動(dòng)畫(huà)直觀顯示，驗(yàn)證學(xué)生探究出的結(jié)果，得出

|AE|+|AF|=|AB|+|AC|=|BC|（定長(zhǎng)）。由此，可以得到橢圓上的點(diǎn)滿足如下幾何條件：橢圓上的任意一點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為一個(gè)常數(shù)（大于兩定點(diǎn)的距離）。

3）實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證：滿足該幾何條件的點(diǎn)構(gòu)成橢圓。

思考問(wèn)題：滿足該幾何條件的點(diǎn)能構(gòu)成橢圓嗎？

第一步：在圓上任取一點(diǎn)P1，過(guò)P1翻折紙片，使其過(guò)定點(diǎn)F2，然后將紙片展開(kāi)，用鉛筆勾畫(huà)出折痕；

第二步，在圓上任取其他點(diǎn)，重復(fù)步驟一，就可以畫(huà)出一系列的折痕。這些折痕將“包出”一個(gè)橢圓。為什么這樣可以“折出”橢圓呢？讓同學(xué)課后操作后進(jìn)行探究。

1.6.4 課堂小結(jié)

通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，明白了圓錐曲線一章“為什么學(xué)、學(xué)什么以及怎么學(xué)”的主題。探究圓錐曲線的幾何性質(zhì)是目的，幾何定義和代數(shù)方程是兩個(gè)焦點(diǎn)，核心方法是坐標(biāo)法，數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)應(yīng)用是連接圓錐曲線和幾何性質(zhì)的拓展，結(jié)構(gòu)圖如下：

1.6.5 作業(yè)拓展

查閱資料，以“奇妙的圓錐曲線”為題，寫(xiě)一篇數(shù)學(xué)作文或課題小論文，表達(dá)你對(duì)圓錐曲線及其研究方法的認(rèn)識(shí)、理解。如果是數(shù)學(xué)作文，可以發(fā)揮想象，將數(shù)學(xué)和藝術(shù)聯(lián)系起來(lái)，寫(xiě)出圓錐曲線之美，之用；如果是課題小論文，請(qǐng)注意包括：選題、開(kāi)題、做題和結(jié)題幾個(gè)環(huán)節(jié)，寫(xiě)出數(shù)學(xué)探究的價(jià)值。

2 章引言課教學(xué)之靈魂

2.1 有思想

章引言課教學(xué)之靈魂之一是“有思想”。所謂的“有思想”是指區(qū)別于常規(guī)教學(xué)的獨(dú)特思考和想法。不少教師認(rèn)為章引言課沒(méi)有必要上，或者上也是一語(yǔ)帶過(guò)，可想便是忽略了其中的思想。思想是一種靈魂，所以沒(méi)有思想的教學(xué)是一種沒(méi)有靈魂的教學(xué)。而教學(xué)的思想決定了一節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，教學(xué)目標(biāo)決定了教學(xué)的方法，有了思想便有了目標(biāo)，有了目標(biāo)便有了方法，有了方法，數(shù)學(xué)教學(xué)就顯得簡(jiǎn)單而不失深度。譬如，以上這篇“圓錐曲線與方程章引言”的教學(xué)設(shè)計(jì)，以“是什么”“為什么學(xué)”“學(xué)什么”“怎么學(xué)”為線索，以解析幾何的思想貫穿其中，從思想到方法，形成研究圓錐曲線的映射反演范式，將圓錐曲線的學(xué)習(xí)與研究統(tǒng)一起來(lái)。同時(shí)，也彰顯數(shù)學(xué)的一種嚴(yán)謹(jǐn)與和諧之美。

2.2 有文化

章引言課教學(xué)之靈魂之二是“有文化”。所謂的“有文化”是指數(shù)學(xué)文化。眾所周知，數(shù)學(xué)已被不少學(xué)生添上了“枯燥”“乏味”等標(biāo)簽，認(rèn)為數(shù)學(xué)課與文化課水火不容，其實(shí)不然。《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“數(shù)學(xué)文化應(yīng)盡可能有機(jī)地結(jié)合高中數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容，選擇介紹一些對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展起重大作用的歷史事件和人物，反映數(shù)學(xué)在人類社會(huì)進(jìn)步、人類文明發(fā)展中的作用，同時(shí)也反映社會(huì)發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的促進(jìn)作用?！边@在以上這篇“圓錐曲線與方程章引言”教學(xué)設(shè)計(jì)中，體現(xiàn)得淋漓盡致。充分利用數(shù)學(xué)史介紹圓錐曲線的名稱由來(lái)，領(lǐng)會(huì)研究圓錐曲線思想方法的發(fā)展。數(shù)學(xué)文化重回?cái)?shù)學(xué)課堂，感知數(shù)學(xué)之魅力。

2.3 有創(chuàng)新

章引言課教學(xué)之靈魂之三是“有創(chuàng)新”。所謂的“有創(chuàng)新”是指以現(xiàn)有的思維模式提出有別于常規(guī)或常人的思路的見(jiàn)解為導(dǎo)向，利用現(xiàn)有的知識(shí)和物質(zhì)，去改進(jìn)或創(chuàng)造新的事物、方法和途徑，并能獲得一定的效果。比如，在本文的“圓錐曲線與方程章引言”教學(xué)設(shè)計(jì)中，充分利用現(xiàn)代技術(shù)的幾何軟件直觀形象地展現(xiàn)圓錐曲線的名稱由來(lái)，并結(jié)合直觀的教具模型（旦德林雙球模型）讓學(xué)生探究圓錐曲線的幾何性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的探究意識(shí)與創(chuàng)新精神。