張師語，劉章玉，石仁翠

（1.四川農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院，雅安 625014；2.四川農(nóng)業(yè)大學(xué)信息工程學(xué)院，雅安 625014；3.四川農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院，雅安 625014）

0 引言

有“數(shù)學(xué)顯微鏡”之稱的小波變換是近年迅速發(fā)展的一種新的時(shí)頻分析方法，可以用來邊緣檢測和分割，還可以把短時(shí)的物理現(xiàn)象作為瞬態(tài)過程來進(jìn)行分析的分析方法是時(shí)頻分析；主要區(qū)分突變信號(hào)和穩(wěn)定信號(hào)還可以定量分析其能量的分析方法是頻域分析[1]。

在傳統(tǒng)的傅里葉分析中，可以發(fā)現(xiàn)信號(hào)完全是在頻域里展開的，沒有包含任何時(shí)域的信息。僅僅分析信號(hào)的時(shí)域或頻域性質(zhì)在很多情況下是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，例如在電力監(jiān)測系統(tǒng)中對(duì)信號(hào)分析的要求，既要求監(jiān)控穩(wěn)定信號(hào)的成分，又要求故障信號(hào)的準(zhǔn)確定位[1]。后來人們在傳統(tǒng)傅里葉分析的基礎(chǔ)上引入了時(shí)域信息的最初嘗試，即短時(shí)傅里葉變換[1]，但是其對(duì)信號(hào)進(jìn)行分析大多時(shí)候只能在一個(gè)分辨率上，對(duì)許多應(yīng)用場景來說并不夠準(zhǔn)確，存在較大的缺陷。

小波變換正是因?yàn)檫@種缺陷引入的，它克服了短時(shí)傅里葉變換只能單分辨率分析處理信號(hào)的缺點(diǎn)，具有多分辨率分析信號(hào)的特點(diǎn)。小波變換不論在時(shí)域還是頻域里都能展現(xiàn)信號(hào)的局部信息，可以根據(jù)信號(hào)的具體形態(tài)來動(dòng)態(tài)調(diào)整其時(shí)間窗和頻率窗。通常情況下，在低頻部分，此時(shí)信號(hào)是較平穩(wěn)的狀態(tài)，不需要太記錄信號(hào)隨時(shí)間的變化，因此通過降低時(shí)間分辨率來提高頻率分辨率；在高頻部分，頻率的變化情況不明顯，此時(shí)可以用較低的頻率分辨率來得到時(shí)間定位的精確度[1]。因?yàn)榭梢蕴綔y到正常信號(hào)中的瞬態(tài)部分，并且展示其頻率成分的特性，所以小波變換廣泛應(yīng)用于各個(gè)時(shí)頻分析領(lǐng)域[2-4]。

1 小波變換基本原理

人們提出了窗函數(shù)，因?yàn)閭鹘y(tǒng)傅里葉變換不能表達(dá)隨時(shí)間變化的頻率，這種函數(shù)被稱為“時(shí)間-頻率分析”[1]。時(shí)間-頻率窗是靈活可變的，這個(gè)“窗”不僅能夠體現(xiàn)頻率的細(xì)節(jié)信息，而且頻率隨時(shí)間的變化是由窗與窗之間反映的。綜上所述，短時(shí)傅里葉變換屬于一種時(shí)間-頻率分析方法，而且固定窗[1]。

把時(shí)域和頻域分解成多個(gè)大小相等的小窗口是窗口傅里葉變換的實(shí)現(xiàn)過程，其中對(duì)信號(hào)的任何部分采用的都是相同的時(shí)間和頻率分辨率。著名的測不準(zhǔn)原理[1]是無論采用任何函數(shù)作為窗函數(shù)，其時(shí)間窗和頻率窗寬度的乘積最小值都是2。該定理說明，同時(shí)以任意精度在時(shí)間和頻率兩個(gè)空間去逼近被測信號(hào)這是不可能實(shí)現(xiàn)的，在信號(hào)的分析上一定要對(duì)時(shí)間或頻率的精度做權(quán)衡取舍。

針對(duì)上述情況，小波變換提供了可以根據(jù)需要來選擇時(shí)間或者頻率的精度的一種靈活性很高的方法?？尚械氖牵业揭唤M在能量有限信號(hào)的函數(shù)空間上稠密的正交基函數(shù)，并且這組函數(shù)可以單純地由一個(gè)函數(shù)的伸縮和平移生成[1]。在不同的分辨率下分解信號(hào)由伸縮實(shí)現(xiàn)，可以把這組信號(hào)作為窗，來觀察關(guān)心的部分是平移的結(jié)果。另外，滿足上述要求的函數(shù)一定是具有緊支集性，可以在有限的區(qū)域內(nèi)迅速衰減到0，這樣的函數(shù)稱為母小波，它生成的一組正交基稱為小波函數(shù)[1]。

假設(shè)Ψ(t)?L2(R)滿足容許性條件：

即Ψ(t)稱作可允許小波或者基小波。并且是Ψ(t)的傅里葉變換。

那么由可允許小波生成的小波系數(shù)可表示為：

離散小波函數(shù)可表示為：

離散小波變換的系數(shù)可表示為：

類似傅里葉級(jí)數(shù)，其重構(gòu)公式為：

由小波變換重構(gòu)原始信號(hào)的逆變換為：

從圖1中的(d)可以發(fā)現(xiàn)時(shí)間窗和頻率窗組合成的面積在小波變換中相同，隨著|a|的增大，頻率窗逐漸減小，時(shí)間窗逐漸增大，因此時(shí)間窗和頻率窗的比例可以自行調(diào)節(jié)的途徑是通過選取不同的a。不用像只能獲取固定時(shí)間窗內(nèi)的固定頻率段的短時(shí)傅里葉變換那樣，小波變換可以獲取任何時(shí)間內(nèi)任何感興趣的頻譜。

圖1 各種分析方法的時(shí)域與頻域分辨率

2 小波閾值圖像去噪原理

在小波域中要實(shí)現(xiàn)去噪，二維信號(hào)的基本思想與一維信號(hào)的情況類似。通常來說，在應(yīng)用中二維信號(hào)表現(xiàn)為圖像信號(hào)。去噪效果的重要影響因素是閾值選擇，在去噪過程中既可以使用統(tǒng)一固定的全局閾值，也可以從三個(gè)方向，水平、豎直和對(duì)角，分別作用閾值抑制其成分[1]，這樣可以把所有方向的噪聲分離出來。

假設(shè)原始的圖像信號(hào)為Xj,k(j,k=1,2,…,N)，在受到均值為0，噪聲強(qiáng)度為σ的高斯白噪聲τj,k污染后變?yōu)閅j,k，這一過程的基本模型如下：

與一維離散小波變換類似，二維小波變換的實(shí)現(xiàn)方法是，從原始信號(hào)S開始在每個(gè)層次只需要分解上一層次的近似系數(shù)。在對(duì)每個(gè)進(jìn)行分解的時(shí)候，需要從兩個(gè)維度分別作用兩次濾波器[1]，分別是縱向和橫向，這是與一維離散小波變換不同的地方，如圖2。

小波閾值圖像去噪的基本步驟[5]為：

（1）分解過程：根據(jù)噪聲特點(diǎn)選擇合適的小波基和分解層數(shù)，對(duì)含噪圖像作小波變換；

（2）作用閾值過程：尋找一個(gè)合適的數(shù)值作為閾值，并用該閾值對(duì)每一層的高頻系數(shù)進(jìn)行量化；

（3）重建過程：將處理后的小波系數(shù)通過小波逆變換，從而恢復(fù)原圖像。

以上去噪過程的依據(jù)是，表現(xiàn)為能量密集區(qū)域的是攜帶信息的原始信號(hào)[1]，在頻域或小波域中能量相對(duì)集中，其信號(hào)分解系數(shù)的絕對(duì)值比較大；而對(duì)于能量譜相對(duì)分散的噪聲信號(hào)，其系數(shù)的絕對(duì)值較小。概括來說，含噪圖像信號(hào)經(jīng)過小波變換后，信號(hào)的小波系數(shù)大于噪聲的小波系數(shù)，因此通過作用閾值，保留絕對(duì)值大于選取閾值的小波系數(shù)，過濾絕對(duì)值小于選取閾值的小波系數(shù)，從而實(shí)現(xiàn)去噪。

圖2 二維小波變換的二層分解示意圖

3 閾值函數(shù)的改進(jìn)

3.1 常用的小波閾值函數(shù)

傳統(tǒng)的閾值處理過程中，常采用的是Donoho提出的軟、硬閾值函數(shù)[6]。設(shè)Wj,k為原始的圖像小波系數(shù)，λ為閾值，為閾值量化后的圖像小波系數(shù)。則硬閾值函數(shù)表達(dá)式為：

可以看出，硬閾值是間斷函數(shù)，在處不連續(xù)。這導(dǎo)致在圖像信號(hào)的間斷點(diǎn)處容易產(chǎn)生比較大的震蕩，進(jìn)行小波重構(gòu)時(shí)容易出現(xiàn)偽吉布斯現(xiàn)象[7]，使得重構(gòu)的圖像失真。

軟閾值函數(shù)表達(dá)式為：

3.2 改進(jìn)的小波閾值函數(shù)

之后大量研究學(xué)者根據(jù)上述軟、硬閾值的優(yōu)點(diǎn)與不足對(duì)閾值函數(shù)作出改進(jìn)，如均方根閾值函數(shù)，軟硬折中閾值函數(shù)[9]等。本文分別對(duì)上述具有代表性的兩種改進(jìn)閾值函數(shù)進(jìn)行改進(jìn)，并與其進(jìn)行去噪效果對(duì)比分析。

均方根閾值函數(shù)表達(dá)式為：

該函數(shù)雖然使估計(jì)小波系數(shù)在| |Wj,k逐漸增大時(shí)更趨于原始小波系數(shù)Wj,k，但在| |Wj,k=λ處間斷。

引入調(diào)節(jié)參數(shù)μ對(duì)均方根閾值函數(shù)進(jìn)行改進(jìn)，提出第一種改進(jìn)閾值函數(shù)：

（1）第一種改進(jìn)閾值函數(shù)的漸近性分析

當(dāng)Wj,k→+∞時(shí)，

當(dāng)Wj,k→-∞時(shí)，

因此，當(dāng)Wj,k→∞時(shí)，

（2）第一種改進(jìn)閾值函數(shù)的連續(xù)性分析

當(dāng)Wj,k→λ時(shí)，

折中閾值函數(shù)表達(dá)式為：

雖然折中閾值函數(shù)減少了閾值處理后的小波系數(shù)與原始圖像的小波系數(shù)之間存在的恒定偏差，恒定偏差為eλ，e小于1。但仍會(huì)影響重構(gòu)原始輸入圖像信號(hào)的逼近程度且在| |Wj,k=λ處不連續(xù)。

引入調(diào)節(jié)參數(shù)a對(duì)折中閾值函數(shù)進(jìn)行改進(jìn)，提出第二種改進(jìn)閾值函數(shù)：

（1）第二種改進(jìn)閾值函數(shù)的漸近性分析

當(dāng)Wj,k→-∞時(shí)，

因此，當(dāng)Wj,k→∞時(shí)，

（2）第二種改進(jìn)閾值函數(shù)的連續(xù)性分析

當(dāng)Wj,k→λ時(shí)，

當(dāng)Wj,k→-λ時(shí)，

（3）可調(diào)因子m的影響分析

當(dāng)m=0時(shí)，第二種改進(jìn)閾值函數(shù)變成軟閾值；當(dāng)m→+∞時(shí)，第二種改進(jìn)閾值函數(shù)變成硬閾值。調(diào)節(jié)因子m使得第二種改進(jìn)閾值函數(shù)在軟、硬閾值函數(shù)之間變動(dòng)，可以根據(jù)實(shí)際應(yīng)用進(jìn)行合理調(diào)節(jié)，增大或者減小m的值，從而達(dá)到最佳的去噪效果。

3.3 閾值的選取

在小波系數(shù)上作用閾值是小波變換去噪的核心步驟。因?yàn)槿ピ氲馁|(zhì)量直接決定于閾值的選取，如果閾值選取過小，閾值量化后的小波系數(shù)中會(huì)含有較多的噪聲分量，導(dǎo)致圖像去噪不充分;如果閾值選取過大，會(huì)丟失部分有用的圖像信息，導(dǎo)致重構(gòu)后的圖像失真[10]。

一般是根據(jù)原始輸入信號(hào)的信號(hào)噪聲比來取得對(duì)各層小波系數(shù)去噪的閾值，常見的小波閾值選取方法有缺省的閾值確定模型、基于Stein無偏似然估計(jì)的軟閾值估計(jì)、啟發(fā)式SURE閾值等?，F(xiàn)在有很多種提取噪聲強(qiáng)度σ的方法，假定噪聲為白噪聲，噪聲的數(shù)學(xué)期望為0，其噪聲強(qiáng)度一般是用原信號(hào)的小波分解的各層系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差來衡量[1]。MATLAB提供wnoisest來實(shí)現(xiàn)這個(gè)功能。缺省的閾值確定模型如下：

噪聲的小波系數(shù)與分解尺度成反比，即分解尺度越大，分解的小波系數(shù)越小。對(duì)圖像進(jìn)行去噪處理時(shí)，不同的分解尺度，閾值的選取應(yīng)有所不同，閾值的選取準(zhǔn)則應(yīng)是隨著分解尺度的增大而減小[11]。本文對(duì)現(xiàn)有閾值選取算法做適當(dāng)?shù)母倪M(jìn)，其表達(dá)式為：

缺省閾值確定模型的閾值在不同尺度上是固定的，而在本文實(shí)驗(yàn)中取為可變的，可有效克服上述幾種閾值選取準(zhǔn)則的缺點(diǎn)，且計(jì)算相對(duì)簡單，可以取得較好的去噪效果，實(shí)用性也強(qiáng)。

3.4 分層閾值函數(shù)的圖像去噪

小波去噪中，MATLAB軟件提供了很多既可以通過某種通用的方式直接對(duì)信號(hào)去噪，也可以對(duì)其中的某個(gè)環(huán)節(jié)靈活控制的靈活使用方式。如wdencmp命令可以用于分層閾值去噪，與其他含噪圖像經(jīng)小波分解后的系數(shù)閾值量化不同的地方在于，傳入命令里的不是單一的閾值，而是一個(gè)數(shù)組，存放了各層閾值，并且不需要指定保留的層數(shù)[1]。

由于只關(guān)心系數(shù)的絕對(duì)值，并不關(guān)心系數(shù)的位置的閾值處理，所以二維小波變換系數(shù)的閾值化方法與一維情況類似。MATLAB提供了wthcoef2命令對(duì)二維小波變換閾值化，分別從水平、豎直、對(duì)角方向?qū)Σ煌瑢訑?shù)作用不同的閾值?？梢?，分層閾值化同全局閾值化相比，因?yàn)榻Y(jié)合分解層數(shù)和分解方向的閾值化方法能夠在進(jìn)行閾值化處理時(shí)利用更精細(xì)的細(xì)節(jié)信息[1]，所以在能量損失不是很大的情況下可以獲得更高的去噪比。

3.5 基于改進(jìn)閾值的圖像去噪具體步驟

（1）根據(jù)噪聲特點(diǎn)選擇合適的分解層數(shù)和小波基；

（2）對(duì)帶噪圖像Yj,k進(jìn)行多層小波變換，結(jié)果得到一組含噪圖像的小波系數(shù)Wj,k；

（3）利用MATLAB提供了wnoisest來計(jì)算噪聲強(qiáng)度σ，再根據(jù)改進(jìn)閾值選取公式計(jì)算λj；

（4）對(duì)各層小波系數(shù)做閾值量化處理，具體操作是以λj為比較對(duì)象，保留絕對(duì)值大于λj的小波系數(shù)，舍棄絕對(duì)值小于λj的小波系數(shù)且置為零，得到閾值處理后的小波系數(shù)；

（5）根據(jù)處理后的小波系數(shù)進(jìn)行小波逆變換，即可得到去噪后的圖像。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及其性能分析

本文使用MATLAB軟件編程實(shí)現(xiàn)所有程序，選定Lena圖像作為研究的原始圖像，加入均值為0，方差為0.01的高斯噪聲。

4.1 去噪效果評(píng)價(jià)

為對(duì)去噪后的圖像質(zhì)量進(jìn)行量化，評(píng)價(jià)常常有以下3種評(píng)定參數(shù)：峰值信噪比PSNR、信噪比SNR、均方誤差MSE[12]，它們的計(jì)算公式如下：

其中f(x,y)和是原來圖像數(shù)據(jù)和去噪后的圖像數(shù)據(jù)。M×N是圖像的大小。

假如去噪信號(hào)的信噪比SNR越高，原始信號(hào)與去噪信號(hào)的均方誤差MSE越小，則去噪信號(hào)就越接近于原始信號(hào)，去噪效果越好[13]。

4.2 去噪效果對(duì)比

針對(duì)兩種改進(jìn)函數(shù)和分層閾值函數(shù)，利用MAT?LAB中的wmaxlev2命令計(jì)算在已知信號(hào)長度的情況下，選用不同的小波基分解的最大層數(shù)，分別以小波基類型和分解層數(shù)作為自變量探究每一種改進(jìn)函數(shù)所能實(shí)現(xiàn)的最好效果，如表 1、2、3。

表1 小波基對(duì)第一種改進(jìn)閾值去噪影響

表2 小波基對(duì)第二種改進(jìn)閾值去噪影響

表3 小波基對(duì)分層閾值去噪影響

通過表中數(shù)據(jù)對(duì)比發(fā)現(xiàn)且參考圖像紋理識(shí)別中最優(yōu)小波基的選擇[14-15]，選用coif5作為小波基且分解層數(shù)為4層，三種改進(jìn)函數(shù)都能達(dá)到最優(yōu)的效果，故選定其來對(duì)圖像進(jìn)行分解與重構(gòu)。

使用效果最優(yōu)傳統(tǒng)閾值函數(shù)去噪后的結(jié)果圖與使用第一種改進(jìn)閾值函數(shù)、第二種改進(jìn)閾值函數(shù)、分層閾值函數(shù)去噪后的結(jié)果圖對(duì)比，如圖3、4、5。

圖3 含噪Lena圖像第一種改進(jìn)閾值去噪效果對(duì)比

圖4 含噪Lena圖像第二種改進(jìn)閾值去噪效果對(duì)比

圖5 含噪Lena圖像分層閾值去噪效果對(duì)比

表4 含噪Lena圖像去噪效果評(píng)定指標(biāo)

由表4可知，相比效果最優(yōu)傳統(tǒng)閾值所得結(jié)果，三種改進(jìn)方法均能使去噪后的圖像更清晰，邊界更清楚。

5 結(jié)語

本文在傳統(tǒng)軟硬閾值基礎(chǔ)上提出了兩個(gè)方向的改進(jìn)措施：改進(jìn)閾值函數(shù)、分層設(shè)置閾值，形成了三種改進(jìn)方法。在原始圖像中加入高斯噪聲，通過分別改變小波基類型和分解層數(shù)來探究每一種改進(jìn)函數(shù)所能實(shí)現(xiàn)的最好效果，以期去噪效果更好、邊緣信息保留度更高。通過比較去噪效果圖和評(píng)價(jià)參數(shù)PSNR、SNR、MSE和改變比例的數(shù)值，發(fā)現(xiàn)三種改進(jìn)方法都比傳統(tǒng)閾值去噪效果更優(yōu)，并都更好地保留圖像邊緣細(xì)節(jié)信息，使圖像更接近原始圖像，驗(yàn)證了本文所提方法的正確性和有效性。