王賀權(quán)，方文強(qiáng)，閆世林

(1.沈陽(yáng)航空航天大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，遼寧 沈陽(yáng) 110136；2.鳳城市世林機(jī)械有限責(zé)任公司 技術(shù)部，遼寧 鳳城 118115)

引言

干式渦旋真空泵是一種無(wú)油真空泵，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，工作腔與油隔絕，可以獲得清潔的真空環(huán)境，廣泛應(yīng)用在半導(dǎo)體行業(yè)、醫(yī)療設(shè)備、生物制藥等產(chǎn)業(yè)。干式渦旋真空泵的工作原理是依靠動(dòng)定渦旋齒之間的高精度配合，各工作腔之間通過(guò)嚙合間隙進(jìn)行密封[1]，在工作過(guò)程中，渦旋齒在外載荷作用下易發(fā)生變形，影響動(dòng)定渦旋齒之間的嚙合間隙，從而影響真空泵的性能。

關(guān)于渦旋齒的分析，有科研工作者開(kāi)展了大量的研究工作。劉振全等[2]分析了氣體力作用下動(dòng)渦旋齒的應(yīng)力分布和變形情況。楊廣衍、劉國(guó)平等[3-4]模擬分析各工作腔的溫度場(chǎng)，對(duì)動(dòng)渦旋齒進(jìn)行應(yīng)力分析。李超、彭斌等[5-9]分析了多載荷耦合作用下動(dòng)、定渦旋齒以及模擬了渦旋齒裝配時(shí)的變形情況。羊玢等[10]討論了不同主軸轉(zhuǎn)角時(shí)渦旋齒的應(yīng)力分布，得到渦旋齒的剛度和強(qiáng)度。

目前對(duì)于渦旋真空泵的研究，主要是針對(duì)單級(jí)渦旋盤(pán)開(kāi)展的。本研究針對(duì)雙級(jí)串聯(lián)干式渦旋真空泵模型，結(jié)合模型的氣體流動(dòng)特點(diǎn)，討論兩級(jí)間壓力和第二級(jí)吸入氣體壓力。通過(guò)幾何理論和力學(xué)理論計(jì)算渦旋齒受到的氣體力，應(yīng)用有限元分析方法對(duì)渦旋齒施加相應(yīng)的氣體力載荷，分析得到雙級(jí)渦旋齒的等效應(yīng)力分布情況和變形規(guī)律。

1 幾何理論

本研究選取的干式渦旋真空泵模型為雙級(jí)串聯(lián)結(jié)構(gòu)，渦旋齒型線為圓漸開(kāi)線，雙級(jí)渦旋齒的幾何參數(shù)如表1所示。第一級(jí)為三頭渦旋齒，第二級(jí)為單頭渦旋齒，動(dòng)定渦旋齒依靠嚙合間隙密封完成吸氣、壓縮、排氣過(guò)程，雙級(jí)結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示。

1.排氣腔 2.第二工作腔 3.第三工作腔 4.吸氣腔

表1 渦旋齒幾何參數(shù)

根據(jù)圓漸開(kāi)線的幾何特征，可以得到在任意主軸轉(zhuǎn)角下，第i個(gè)工作腔容積：

(1)

式中,P—— 節(jié)距

t—— 壁厚

h—— 齒高

θ—— 主軸轉(zhuǎn)角

2 氣體載荷分析

本研究主要討論氣體載荷引起的渦旋真空泵渦旋齒變形，首先建立相應(yīng)的力學(xué)模型，作為邊界條件加載到有限元分析模型。

2.1 串聯(lián)模型級(jí)間壓力

假設(shè)真空泵的工作過(guò)程為絕熱壓縮，在穩(wěn)定工作狀態(tài)下，內(nèi)部氣體流動(dòng)狀態(tài)平穩(wěn)，氣體由第一級(jí)吸入第二級(jí)排出，這一過(guò)程氣體流動(dòng)是連續(xù)的。氣體流動(dòng)過(guò)程如圖2所示，箭頭表示氣體流動(dòng)方向。

圖2 氣體流動(dòng)過(guò)程示意圖

根據(jù)封閉空間氣流連續(xù)性原理，吸入氣體和排氣氣體在數(shù)值上是等量的，則第二級(jí)吸入氣體壓力為兩級(jí)間氣體壓力，可由下式得出

p1dV1d=p2sV2s

(2)

式中，p1d,p2s—— 第一級(jí)排氣壓力、第二級(jí)吸氣壓力

V1d,V2s—— 第一級(jí)排氣腔容積、第二級(jí)吸氣腔容積

2.2 工作腔內(nèi)壓力

各工作腔容積逐漸變小導(dǎo)致吸入氣體逐漸被壓縮，進(jìn)而導(dǎo)致各工作腔內(nèi)的氣體壓力不同。根據(jù)氣體狀態(tài)方程知pVk=定值，第i個(gè)工作腔內(nèi)氣體壓力可由下式求解[11]：

(3)

式中，k—— 氣體的等熵指數(shù)

Vi—— 第i個(gè)工作腔容積

pi—— 第i個(gè)工作腔氣體壓力

根據(jù)上述分析可以計(jì)算得到各工作腔內(nèi)的壓力分布情況，如表2所示。計(jì)算結(jié)果表明，第一級(jí)工作腔內(nèi)壓力變化較小，變化波動(dòng)近似為1，第二級(jí)工作腔壓力變化波動(dòng)為2.8倍左右。

表2 各工作腔內(nèi)壓力分布 MPa

2.3 渦旋齒受力分析

渦旋齒受到的氣體力可以分解為徑向氣體力、切向氣體力和軸向氣體力[12]。軸向氣體力影響軸向間隙的大小，導(dǎo)致氣體沿徑向方向泄漏。方向沿主軸方向，其大小為：

(4)

式中，θ*—— 排氣角

ps—— 吸氣壓力

切向氣體力作用于內(nèi)外兩側(cè)不同名稱工作腔的渦旋齒上，集中分布在渦旋齒一側(cè)，方向垂直于動(dòng)定渦旋盤(pán)基圓中心連線，其大小為：

(5)

法向氣體力作用在渦旋齒齒面的寬度等于基圓直徑，方向平行于動(dòng)定渦旋盤(pán)基圓中心連線，其大小為：

(6)

對(duì)于雙級(jí)渦旋盤(pán)，選取4種特殊的主軸轉(zhuǎn)角，分別對(duì)第一級(jí)、第二級(jí)渦旋盤(pán)受到的氣體力計(jì)算分析。選取穩(wěn)定狀態(tài)下的吸氣壓力ps=0.01 MPa[13]，排氣壓力pd=0.1 MPa，根據(jù)以上計(jì)算得到渦旋盤(pán)受到的氣體力，計(jì)算結(jié)果如表3所示。

表3 氣體力計(jì)算結(jié)果

3 有限元分析模型

3.1 控制方程

在靜力結(jié)構(gòu)分析中，忽略與時(shí)間相關(guān)的量，可以得到力學(xué)方程[14]:

Ku=F

(7)

式中，K—— 剛度矩陣

u—— 單元位移矢量

F—— 力載荷矢量

渦旋盤(pán)單元內(nèi)部任一點(diǎn)的位移量可由節(jié)點(diǎn)位移表示:

u=Nd

(8)

式中,N—— 形狀函數(shù)

d—— 節(jié)點(diǎn)位移矢量

應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系可用如下矩陣表示：

(9)

式中，E—— 彈性模量

μ—— 泊松比

σ—— 應(yīng)力矩陣

ε—— 應(yīng)變矩陣

變形量方程:

(10)

(11)

式中，ur—— 徑向變形量

ua—— 軸向變形量

ux,uy,uz—— 在X,Y,Z3個(gè)方向的變形分量

3.2 材料屬性與網(wǎng)格

渦旋盤(pán)的材料為鑄鋁合金，彈性模量為72 GPa，泊松比為 0.33，密度為2700 kg/m3。網(wǎng)格劃分采用機(jī)械結(jié)構(gòu)中的自由網(wǎng)格劃分，選擇三維20節(jié)點(diǎn)單元類型，最小單元尺寸設(shè)置為2 mm。

3.3 約束條件

分析模型的徑向?yàn)镺XY平面，齒高方向?yàn)閆向，在ANSYS中位移約束條件為：定渦旋盤(pán)內(nèi)孔壁X,Y方向自由度為0°，上表面和下表面Z方向自由度為0°。將表3的計(jì)算結(jié)果施加在渦旋盤(pán)的相應(yīng)位置上，法向和切向氣體力施加在渦旋齒齒面上，軸向氣體力施加在渦旋盤(pán)底面上。

3.4 誤差分析

由真空泵的工作機(jī)理可知，各工作腔內(nèi)的氣體低于標(biāo)準(zhǔn)大氣壓，氣體分子做無(wú)規(guī)則的運(yùn)動(dòng)，氣體壓力的方向存在于工作腔內(nèi)的各個(gè)方向。表3中的3種氣體力分量是分布在工作腔內(nèi)的平行力系，對(duì)工作腔內(nèi)施加的載荷是理想化的載荷。

4 ANSYS計(jì)算結(jié)果分析

4.1 第一級(jí)定渦旋盤(pán)結(jié)果分析

第一級(jí)定渦旋盤(pán)工作時(shí)，由渦旋盤(pán)中心開(kāi)始吸氣，3個(gè)吸氣腔依次工作，經(jīng)外圓周側(cè)排氣，氣體流動(dòng)路徑是由齒頭至齒尾。本研究選取4個(gè)關(guān)鍵位置的主軸轉(zhuǎn)角作為研究對(duì)象，分別是0°，30°，60°，90°。其等效應(yīng)力云圖如圖3所示。

圖3 第一級(jí)定渦旋盤(pán)等效應(yīng)力云圖

從應(yīng)力云圖可以看出，第一級(jí)定渦旋盤(pán)在4個(gè)主軸轉(zhuǎn)角下每條渦旋齒受力比較均勻，每條相鄰渦旋齒之間相差60°相位差。氣體由吸入到排出的過(guò)程處于氣體膨脹過(guò)程，兩級(jí)間氣體壓力要高于排氣腔內(nèi)氣體壓力，排氣開(kāi)始時(shí)，排氣腔內(nèi)氣體“欠壓縮”導(dǎo)致兩級(jí)間氣體返流至排氣腔內(nèi)。選擇其中一條渦旋齒由齒頭到齒尾劃分成“a”“b”“c”3段，“a”段應(yīng)力值無(wú)明顯變化；“b”段應(yīng)力值明顯增大，但變化過(guò)程平穩(wěn)，展開(kāi)角大約120°左右；“c”段應(yīng)力值無(wú)明顯變化。利用軟件中的點(diǎn)探測(cè)功能得到總體上齒頭處應(yīng)力值略小于齒尾，齒根處的應(yīng)力值大于齒頂處。最大等效應(yīng)力值發(fā)生在齒尾處，此時(shí)排氣腔的終止嚙合點(diǎn)位于齒尾，最大等效應(yīng)力值大小約為0.56 MPa。提取3條渦旋齒其中一條齒頂型線的位移變形量，沿渦旋型線展開(kāi)角負(fù)方向展開(kāi)，生成變形量曲線如圖4所示。

圖4 第一級(jí)定渦旋齒變形量曲線

最大徑向變形量位置在渦旋齒齒尾，發(fā)生在排氣開(kāi)始時(shí)，此時(shí)排氣腔內(nèi)壓力是工作腔在整個(gè)周期的最小值，渦旋齒受到的氣體力最大，最大徑向變形量大小約為0.41 μm。第一級(jí)的吸氣過(guò)程由三頭渦旋齒交替完成，在主軸轉(zhuǎn)角30°時(shí)，變形量曲線由齒頭至齒尾先變大后變小，在弧長(zhǎng)200 mm時(shí)達(dá)到極值。其他3種主軸轉(zhuǎn)角，在弧長(zhǎng)0～160 mm范圍內(nèi)，此時(shí)吸氣腔與排氣腔的壓力差較小，導(dǎo)致變形量曲線變化平緩；其中在弧長(zhǎng)160～230 mm時(shí)，變形量發(fā)生突變，對(duì)于單條渦旋齒來(lái)說(shuō)，渦旋齒一側(cè)壓力由吸氣壓力變化為兩級(jí)間壓力；在弧長(zhǎng)230～400 mm時(shí),變形量曲線平穩(wěn)變化；在弧長(zhǎng)400～500 mm范圍內(nèi)，變形量發(fā)生明顯變化，由排氣腔與外圓周側(cè)氣體壓力變化導(dǎo)致變形量波動(dòng)。在主軸轉(zhuǎn)角30°時(shí)，軸向變形量總體上為正向，此時(shí)排氣過(guò)程結(jié)束，兩級(jí)間氣體返流至排氣腔內(nèi)；其他3種轉(zhuǎn)角軸向變形量外圓周側(cè)變形大于中心側(cè)，型線弧長(zhǎng)在200 mm左右時(shí)為變形量正負(fù)向變形的分界點(diǎn)，最大正向變形量約為0.025 μm，負(fù)向變形量約為0.040 μm。

4.2 第二級(jí)定渦旋盤(pán)結(jié)果分析

對(duì)于第二級(jí)的定渦旋盤(pán)，氣體由吸氣腔吸入，逐漸壓縮至排氣腔排出，氣體流動(dòng)路徑由齒尾至齒頭。本研究選取4個(gè)特定的主軸轉(zhuǎn)角作為研究對(duì)象，分別是0，90°，180°，270°，等效應(yīng)力云圖如圖5所示。

圖5 第二級(jí)定渦旋盤(pán)等效應(yīng)力云圖

從應(yīng)力云圖可以看出，等效應(yīng)力較大值主要集中在排氣腔內(nèi)，其余工作腔應(yīng)力變化均勻且應(yīng)力值較小，齒根處應(yīng)力值大于齒頂。渦旋齒上的應(yīng)力分布主要由切向氣體力和法向氣體力共同作用，在主軸轉(zhuǎn)角90°時(shí)，齒頭齒根處的等效應(yīng)力值最大，大小約為1.21 MPa。從吸氣腔到排氣腔工作腔容積變小，進(jìn)而導(dǎo)致齒頭受到的氣體力較大，齒頭處的應(yīng)力值遠(yuǎn)大于齒尾處。渦旋齒上的應(yīng)力非連續(xù)性分布，應(yīng)力較大值集中分布在渦旋盤(pán)的切向方向，且渦旋齒上的應(yīng)力分布隨著主軸轉(zhuǎn)角變化轉(zhuǎn)過(guò)同樣的角度，切向力是影響渦旋齒應(yīng)力分布的主要因素。提取單頭渦旋齒齒頂型線的變形量，沿渦旋型線展開(kāi)角負(fù)方向展開(kāi)，生成變形量曲線如圖6所示。

圖6 第二級(jí)定渦旋齒變形量曲線

徑向變形量是由平面方向的變形量合成得到，從變形量曲線可以看出，渦旋齒齒頭的變形量大于齒尾，4個(gè)工作腔與其相鄰的工作腔氣體壓力不同導(dǎo)致氣體力發(fā)生變化，在4種主軸轉(zhuǎn)角下的每條徑向變形量曲線都有4個(gè)明顯的波動(dòng)。在主軸轉(zhuǎn)角90°時(shí)，齒頭處變形量曲線發(fā)生突變，此時(shí)渦旋齒齒頭處和排氣通道相通，排氣腔內(nèi)的壓力達(dá)不到排氣壓力，外界氣體返流至排氣腔內(nèi)，齒頭受到的氣體力較大，故最大變形量位置在齒頭處，大小約為0.63 μm。每次波動(dòng)的極大值點(diǎn)不同是因?yàn)閮蓛上噜徆ぷ髑坏臍怏w壓力不同導(dǎo)致氣體力不同；每次波動(dòng)的極小值點(diǎn)是渦旋齒內(nèi)外兩側(cè)受相同的氣體壓力時(shí)，此時(shí)氣體力對(duì)渦旋齒變形的影響較小。軸向變形量主要發(fā)生在齒頭處，其中最大正向變形為0.11 μm，最大負(fù)向變形為0.03 μm。對(duì)于渦旋真空泵來(lái)說(shuō)，軸向間隙的密封方式是在渦旋齒頂處放置1個(gè)彈性密封件，以達(dá)到動(dòng)密封的效果。氣體力使渦旋齒軸向發(fā)生變形，使動(dòng)定渦旋盤(pán)的軸向間隙變得不均勻，在軸向變形的位置上改變密封材料的高度可以抵消變形對(duì)軸向間隙的影響，達(dá)到更好的密封效果，并減少不必要的功率損耗。綜上所述，最大變形位置發(fā)生在排氣腔內(nèi)，尤其是齒頭處的變形直接影響真空泵的抽氣性能。

5 結(jié)論

本研究針對(duì)雙級(jí)串聯(lián)渦旋真空泵在穩(wěn)定的工作狀態(tài)下，內(nèi)部氣體流動(dòng)狀態(tài)平穩(wěn)，結(jié)合氣流連續(xù)性的特點(diǎn)，分析了串聯(lián)模型兩級(jí)間的氣體壓力情況，由此得到第一級(jí)、第二級(jí)各自的吸氣壓力。分別計(jì)算4種轉(zhuǎn)角下第一級(jí)、第二級(jí)渦旋齒受到的氣體載荷，通過(guò)有限元分析得到雙級(jí)渦旋齒的應(yīng)力分布和變形規(guī)律，有如下結(jié)論：

(1)雙級(jí)串聯(lián)渦旋真空泵，第一級(jí)氣體由渦旋盤(pán)內(nèi)側(cè)向外周側(cè)流動(dòng)，氣體處于“膨脹”的流動(dòng)過(guò)程，壓縮比近似于1。第二級(jí)氣體流動(dòng)由外圓周側(cè)向內(nèi)側(cè)流動(dòng)，壓縮比近似為2.8。兩級(jí)間氣體流動(dòng)處于封閉空間的連續(xù)過(guò)程，兩級(jí)間的氣體壓縮比約為1.7；

(2)第一級(jí)、第二級(jí)渦旋齒在齒高方向上齒根處應(yīng)力值大于齒頂，第一級(jí)三頭渦旋齒應(yīng)力分布較為均勻，齒尾處應(yīng)力值略大于齒頭。第二級(jí)單頭渦旋齒齒頭處應(yīng)力值遠(yuǎn)大于齒尾，應(yīng)力較大值主要分布在排氣腔內(nèi)。氣體力對(duì)渦旋齒變形的影響主要體現(xiàn)在徑向變形上，對(duì)軸向變形的影響較小。在徑向間隙設(shè)計(jì)值的基礎(chǔ)上，應(yīng)考慮氣體力對(duì)渦旋齒的影響，在加工時(shí)應(yīng)考慮下偏差至少0.62 μm，以保證真空泵正常工作；

(3)使用密封材料對(duì)渦旋齒軸向密封時(shí)，需要考慮密氣體力對(duì)軸向變形的影響，且氣體力對(duì)第二級(jí)的軸向間隙的影響是第一級(jí)的2.75倍。第一級(jí)的軸向變形較小，密封條高度按設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)不變。第二級(jí)的密封條在設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)的基礎(chǔ)上，由齒尾到齒頭密封條高度線性減少0.11 μm，可有效防止在氣體力作用下導(dǎo)致密封條壓力過(guò)大或者增加泵的能耗。