◇ 廣東 邱志權(quán) 余鐵青

一元二次不等式是初中和高中階段中較為基本的不等式．在初中主要是考查二次函數(shù),較少涉及不等式的求解,相關(guān)知識考查單一,難度不大．通常來說在高中對一元二次不等式的考查不是孤立的,它更多是將多板塊的知識雜糅在一起,從單純考查一元二次方程的求解轉(zhuǎn)變?yōu)橐砸辉尾坏仁綖楣ぞ咻o助解決其他問題,成為解題過程中極為重要的紐帶,其重要性進(jìn)一步提升．

1 緣起

在本學(xué)年開學(xué)不久,筆者所在學(xué)校開展了科組公開課,題目是“數(shù)列中的最值問題”,整堂課的講授都是圍繞數(shù)列的單調(diào)性進(jìn)行展開,教師引導(dǎo)學(xué)生將(n,an)看成(x,f(x)),利用數(shù)列的函數(shù)屬性解決問題．其中一道例題如下:已知數(shù)列{an},an＝n2＋λn (其中λ 為常實(shí)數(shù)),若數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列,求實(shí)數(shù)λ 的取值范圍．學(xué)生們的作答情況如下．

解答1:利用數(shù)列的單調(diào)性可知:an＋1＞an,代入化簡得λ＞－3．

解答2:注意到an＝n2＋λn,而n∈N＋,結(jié)合數(shù)列單調(diào)性與二次函數(shù)圖象可知,即λ≥－2．

筆者發(fā)現(xiàn),用解法2的同學(xué)數(shù)量多于解法1,看了解法1后很多同學(xué)認(rèn)為解法1是對的,但是解法2似乎也沒有問題,礙于答案的唯一性,大家都認(rèn)為解法2是錯(cuò)的,但就是不清楚究竟錯(cuò)在哪里．教師通過信息技術(shù)作圖,展示了數(shù)列圖象是離散點(diǎn),而二次函數(shù)是連續(xù)圖象,通過幾何直觀,大家很順利地理解了解法2存在的問題．這也讓筆者產(chǎn)生思考,一直以為學(xué)生會(huì)的內(nèi)容,或許學(xué)生并不熟悉．

2 教學(xué)內(nèi)容背景分析與教學(xué)目標(biāo)

舊版教材將一元二次不等式的解法這部分內(nèi)容安排在函數(shù)的學(xué)習(xí)之后,而很多學(xué)者、一線教師普遍反映應(yīng)將這部分內(nèi)容調(diào)整至集合之前或者集合之后函數(shù)之前．人教社最新版(2019年版)教材已經(jīng)將一元二次不等式調(diào)整至繼集合之后,實(shí)際上新教材集合的課后參考資料中還是出現(xiàn)了一元二次不等式求解的問題,然而教材又將一元二次不等式放在了后面章節(jié),所以依據(jù)實(shí)際學(xué)情,適時(shí)開展一元二次不等式求解銜接課具有極強(qiáng)的實(shí)際意義．

通過這節(jié)課引導(dǎo)學(xué)生思考一元二次方程、二次函數(shù)圖象以及一元二次不等式的解與圖象的關(guān)系,并能根據(jù)圖象處理含參一元二次不等式問題,判定參數(shù)范圍,訓(xùn)練學(xué)生學(xué)會(huì)類比、遷移、歸納總結(jié)的數(shù)學(xué)思維品質(zhì),提升數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、幾何直觀和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)能力．

3 教學(xué)重難點(diǎn)

重點(diǎn):通過繪制二次函數(shù)圖象得到一元二次不等式解的情況,并準(zhǔn)確區(qū)分它與二次函數(shù)圖象的異同．

難點(diǎn):從數(shù)據(jù)處理到草圖的準(zhǔn)確繪制,求解參數(shù)．

4 具體教學(xué)設(shè)計(jì)過程

4.1 復(fù)習(xí)引入,由代數(shù)向幾何過渡

師:請大家求出不等式2x－1＜0的解集．

師:請你說說是怎么算得的．

生1:先把1移到不等式右邊,然后不等式兩邊同時(shí)除以2,即得解集．

師:說得很準(zhǔn)確! 但這是從代數(shù)運(yùn)算化簡的角度處理的,那大家能不能通過幾何圖象進(jìn)行理解呢?

生2:我覺得可以這樣理解,對于不等式左邊的2x－1,用一次函數(shù)的觀點(diǎn)來看,即y＝2x－1,那么該不等式的解就可以理解為y＜0的自變量x 的集合．該圖象為直線且過點(diǎn),函數(shù)斜率為正數(shù),所以由圖象可得不等式的解集為

4.2 思考討論,畫圖象,展示幾何直觀

師:請同學(xué)們看以下問題,并討論兩個(gè)問題的關(guān)系(白板展示)．

(1)當(dāng)x 為何值時(shí),二次式x2－x－6的值等于0? 何時(shí)大于0? 何時(shí)小于0?

(2)當(dāng)x 為何值時(shí),函數(shù)y＝x2－x－6 圖象上的點(diǎn)在x 軸上方? 何時(shí)圖象上的點(diǎn)在x 軸上? 何時(shí)圖象上的點(diǎn)在x 軸的下方?

設(shè)計(jì)意圖:從一元一次函數(shù)圖象過渡到一元二次函數(shù)圖象,形成類比,并能夠準(zhǔn)確區(qū)分y＝0,y＞0,y＜0在坐標(biāo)系中的幾何意義．

生3:我覺得這兩個(gè)問題的意思是一樣的,只是一個(gè)是從幾何角度提出的,一個(gè)是從代數(shù)角度提出的．解答這道題我覺得畫圖更直觀,該拋物線與x 軸相交于(－2,0)和(3,0),而且開口朝上,只要把圖象畫出來,所要求的解集都能夠很快寫出來．

師:沒錯(cuò),你的理解很透徹,說得很好!

那大家想想一元二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式之間的關(guān)系該怎么理解呢?

設(shè)問意圖:如圖1,設(shè)計(jì)這一環(huán)節(jié)的目的是為了引導(dǎo)學(xué)生概括出三個(gè)“二次”之間最本質(zhì)的關(guān)系,提煉出一般觀念:函數(shù)是核心、運(yùn)算是基礎(chǔ)、圖象是載體．讓學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的認(rèn)知過程,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和直觀想象等核心素養(yǎng)．

圖1

4.3 例題探究

例1若不等式x2－bx ＋c＞0 的解集是{x|x＜1或x＞3},求b 與c 的值．

生4:由題意知1和3是方程x2－bx＋c＝0的兩個(gè)根,代入得方程組

生5:由題意知1和3是方程x2－bx＋c＝0的兩個(gè)根,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得解得

設(shè)計(jì)意圖:加深學(xué)生對二次函數(shù)、一元二次方程以及一元二次不等式關(guān)系的理解,強(qiáng)化三者圖象與代數(shù)之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系,并滲透極限認(rèn)知．

4.4 變式提升

例2若不等式ax2＋2x－1＝0(a≠0)有一個(gè)根大于2,另一個(gè)根小于2,求實(shí)數(shù)a 的范圍．

生6:也可以利用例1的解法,繼續(xù)沿用根與系數(shù)的關(guān)系解題．不妨設(shè)兩根分別為x1,x2,于是得(x1－2)(x2－2)＜0,即x1x2－2(x1＋x2)＋4＜0,整理得因 此,a 的 范 圍是

設(shè)計(jì)意圖:突出圖象的重要性,學(xué)會(huì)通過圖象提煉代數(shù)語言,進(jìn)而進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)表述,實(shí)現(xiàn)方程與不等式之間的自由轉(zhuǎn)換．

5 對初高中數(shù)學(xué)課程銜接的幾點(diǎn)思考

5.1 教師應(yīng)增強(qiáng)銜接意識

初中和高中教學(xué)在看似自然順暢銜接的背后時(shí)常有很多容易被忽略的地方,比如在講授數(shù)列求和時(shí),很多教師都會(huì)直觀認(rèn)為1＋2＋3＋…＋(n－1)＋學(xué)生都已經(jīng)掌握了,實(shí)際上筆者經(jīng)歷幾輪循環(huán)教學(xué),發(fā)現(xiàn)至少有五成以上的學(xué)生是不知道這個(gè)公式的．絕大部分教師沒有這種銜接的意識,只是純粹地認(rèn)為銜接就是將高中常要用到但初中沒有教的公式或定理給學(xué)生補(bǔ)充完善一下,這種想法是較為粗淺的．

5.2 認(rèn)真研讀教材與考試要求,避免“想當(dāng)然”

現(xiàn)在較少有完全中學(xué)的辦學(xué)形式,不僅是校區(qū)上完全不在一起,而且就連教育主管部門組織的培訓(xùn)幾乎也都是分開的．這樣減少了初中和高中教師交流學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì),高中教師常年任教高中學(xué)段也就造成了很少接觸到初中教材與教參,在教學(xué)中遇到一些問題,會(huì)直接將責(zé)任歸咎于初中教師沒有講透,而本質(zhì)上可能是學(xué)生在初中根本就沒有學(xué)過,僅僅是高中教師認(rèn)為學(xué)生應(yīng)該學(xué)過,極容易造成經(jīng)驗(yàn)主義錯(cuò)誤．

5.3 研究生源結(jié)構(gòu),把控學(xué)情,精準(zhǔn)銜接

各校在高中招生時(shí),實(shí)際上已經(jīng)進(jìn)行了分層,那么自己學(xué)校的新生數(shù)學(xué)能力和水平是哪個(gè)層次,來自哪些學(xué)校,這些學(xué)校的教學(xué)是重基礎(chǔ)概念認(rèn)知、素質(zhì)的培養(yǎng)、還是重應(yīng)試等是需要教師了解的．不同層次的學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的差異明顯,這些都會(huì)影響到教師的授課廣度與深度,那么在對學(xué)情進(jìn)行準(zhǔn)確掌握的基礎(chǔ)上可以進(jìn)行精準(zhǔn)銜接,有利于控制課程講授的速度與難度．