王國強(qiáng) 張爍 楊俊元? 許小可

1) (山西大學(xué)復(fù)雜系統(tǒng)研究所,太原 030006)

2) (山西大學(xué),疾病防控的數(shù)學(xué)技術(shù)與大數(shù)據(jù)分析山西省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,太原 030006)

3) (大連民族大學(xué)信息與通信工程學(xué)院,大連 116600)

搜集廣東省自1月23日到2月16日期間944例新冠肺炎樣本信息.對確診人群進(jìn)行年齡特征分析,將人群分為兒童組(0—5歲)、青少年組(6—19歲)、中青年組(20—64歲)、老年組(65歲及以上),耦合不同年齡層的接觸模式,建立離散年齡結(jié)構(gòu)新冠肺炎模型,得出模型的基本再生數(shù)及最終規(guī)模.通過蒙特卡羅數(shù)值算法(MCMC)辨識模型的參數(shù)、擬合累計(jì)病例數(shù)、計(jì)算消亡時間、感染峰值及到達(dá)時間等有關(guān)生物量.研究發(fā)現(xiàn)中青年人群感染人數(shù)最多； 相比于居家模式,社區(qū)模式下中青年人群感染峰值上升41%,峰值推遲一周到達(dá).通過分析不同年齡層的最終規(guī)模在對應(yīng)年齡層的占比,發(fā)現(xiàn)老年人的易感性較高,青少年的易感性相對較低.在居家模式下,若各年齡層患者能及時就診,住院峰值將進(jìn)一步減少,但住院高峰將提前一周到達(dá).此模型可揭示個體接觸行為對新冠肺炎的傳播的影響,定量評價居家隔離措施的有效性.

1 引 言

新冠肺炎“coronavirus disease 2019” (COVID-19)肆虐全球10個多月以來,截至目前已有7000多萬人確診,170多萬人死亡,給人類的健康和生活帶來極大的危害.廣東作為中國人口第一大省、經(jīng)濟(jì)強(qiáng)省,人口密集且流動頻繁,感染風(fēng)險頗大.截至2020年7月16日,廣東省新冠肺炎累計(jì)確診 1650 例,新增病例均為輸入性病例,疫情基本得到控制.這主要得益于廣東各級政府及時啟動新冠肺炎疫情防控一級響應(yīng)[1],如封城、限制或者停止集會、居家隔離、佩戴口罩等一系列措施.在此基礎(chǔ)上,了解和掌握新冠肺炎的流行特征和內(nèi)在傳播機(jī)制是有效遏制新冠肺炎再次爆發(fā)傳播的關(guān)鍵.

分析廣東省2020年1月9日到2月16日944例新冠肺炎患者的詳細(xì)病例數(shù)據(jù)信息(年齡、性別、接觸史、癥狀、癥狀出現(xiàn)時間、住院確診時間等),發(fā)現(xiàn)大多數(shù)患者以發(fā)熱為主要臨床癥狀,所占比例為73.31%,而少數(shù)患者伴有咳嗽、頭暈、肌肉酸痛、乏力等癥狀； 男性患者占比49.79%,女性患者占比50.21%.通過對廣東省每日新增病例分段統(tǒng)計(jì) (如圖1 所示),發(fā)現(xiàn) 0—5 歲、6—19 歲、20—64歲、65歲及以上各年齡組每日新增病例分別于1月31日、2月1日、1月27日及2月2日到達(dá)高峰； 由圖1 發(fā)現(xiàn),20—64 歲每日新增病例高峰到達(dá)時刻早于其他組別,且變化幅度明顯高于其他組別.

為了更直觀地觀測每日新增確診病例年齡構(gòu)成,圖2給出了各年齡組每日新增病例占當(dāng)日新增總病例百分比.發(fā)現(xiàn)每日新增病例占當(dāng)日新增總病例的百分比20—64歲超過80%,65歲及以上約為15%,0—19歲僅為 5%.廣東省新冠肺炎患者分布呈現(xiàn)明顯的年齡異質(zhì)性.如何利用數(shù)學(xué)模型揭示新冠肺炎傳播的年齡異質(zhì)性,對新冠肺炎的優(yōu)化控制至關(guān)重要.

圖1 廣東省各年齡組每日新增病例折線圖Fig.1.Line chart of new cases for each age group in Guangdong province.

圖2 廣東省各年齡組每日新增病例占當(dāng)日新增總病例百分比圖Fig.2.Chart of the percentage of new cases for each age group in the total new cases of each day in Guangdong province.

現(xiàn)有新冠肺炎模型主要包括以數(shù)據(jù)驅(qū)動的統(tǒng)計(jì)模型[2-5]及通過機(jī)理分析建立的動力學(xué)模型[6-8],統(tǒng)計(jì)建模以數(shù)據(jù)驅(qū)動為特點(diǎn),能直觀描述疾病的發(fā)生和發(fā)展過程,如曹文靜等[5]構(gòu)建了安徽省疫情發(fā)展后期的自回歸傳播模型,為新冠肺炎疫情的傳播早期預(yù)測預(yù)警提供參考.動力學(xué)模型主要發(fā)掘疾病傳播的內(nèi)在傳播規(guī)律,評估和預(yù)測疾病流行特征.李盈科等[6]詳細(xì)闡述了幾類新冠肺炎動力學(xué)模型及其在早期疾病防控方面的作用,模型假設(shè)人群的接觸是均勻混合的,忽略了接觸行為的異質(zhì)性.了解和掌握不同年齡段個體接觸模式可以更精準(zhǔn)地刻畫傳染病傳播的傳播途徑,是傳染病建模的重要組成部分[9-11].廣東省采取了嚴(yán)格的管控遏制新冠肺炎的傳播,該措施改變?nèi)说男袨槟Ｊ郊盎顒臃秶?本文考慮以個體家庭為中心,將人群的活動距離分為家庭內(nèi)部(居家模式)和家庭外0.5 km內(nèi)活動范圍(社區(qū)模式),并在兩種模式下對不同年齡組之間的接觸進(jìn)行量化,得到不同模式下的接觸矩陣,結(jié)合傳播動力學(xué)模型,刻畫新冠肺炎在不同人群間的傳播.考慮各年齡層接觸模式的異質(zhì)性對提高新冠肺炎傳播的認(rèn)識及控制具有重要意義,并可提供理論依據(jù).

近期,已有一些學(xué)者耦合社會接觸模式和動力學(xué)建模方法來研究年齡異質(zhì)性對新冠肺炎的影響[12,13].如Kiesha等[12]建立了一個離散年齡結(jié)構(gòu)的SEIR 模型評估不同時間復(fù)工對新冠肺炎的影響.文獻(xiàn)[13]評估不同年齡段的錯峰復(fù)工感染新冠肺炎的風(fēng)險.已有的結(jié)果主要討論不同年齡間接觸模式對新冠肺炎的風(fēng)險評估,對數(shù)據(jù)的擬合及實(shí)際情況的預(yù)測略有欠缺.本文擬合廣東省新冠肺炎各年齡層高維數(shù)據(jù)、辨識模型參數(shù),揭示社會接觸行為對新冠肺炎傳播的影響,評估各種策略對新冠肺炎傳播的影響.

2 模型假設(shè)和構(gòu)建

2.1 模型假設(shè)

1) 2020年1月23日至2月19日時間跨度較短； 1 月 23 日距除夕僅一天,春運(yùn)基本結(jié)束,而且各級政府已于1于23日實(shí)行封城,人口流動因素可以忽略.因此可忽略人口出生和自然死亡,不考慮人口遷移,假設(shè)廣東省人口為固定常數(shù).

2)自1月23日起,全國各地開始實(shí)行嚴(yán)格的居家式隔離,人與人之間主要以家庭單位接觸,故假設(shè)廣東省人群接觸方式為家庭式接觸.

3) 假設(shè)廣東省的醫(yī)療資源充足,被確診的染病者能得到及時救治.

4) 假設(shè)確診者入院后被完全隔離,不再具有傳染性.

2.2 模型構(gòu)建

依據(jù)廣東省新冠肺炎傳播特征,將廣東省人口分成0—5歲、6—19歲、20—64歲以及65歲及以上4個不同層次,刻畫廣東省新冠肺炎在兒童、青少年、中青年、老年人群中的流行特征.用N1表示0—5歲的總?cè)丝?N2表示6—19歲的總?cè)丝?N3表示20—64歲總?cè)丝?N4表示65歲及以上老年人的數(shù)量.依據(jù)SEIHR倉室建模理論,將第k(k=1,2,3,4)年齡段總?cè)丝贜k(t) 分成五種不同的人群,即易感者、潛伏者、染病者、確診住院者和康復(fù)者,分別用Sk(t) ,Ek(t) ,Ik(t) ,Hk(t) 和Rk(t)表示.第k年齡階段易感者的個體和j年齡階段染病 個 體 平 均 接 觸 數(shù) 為ckj,第k年 齡 段 和j年 齡段染病者接觸數(shù)為總接觸數(shù)為第k年齡段的易感個體以傳播概率βk被感染而轉(zhuǎn)變成潛伏個體Ek.潛伏個體經(jīng)過 1 /α天潛伏變成染病個體.染病個體經(jīng)過 1 /h天進(jìn)入醫(yī)院確診.確診住院個體經(jīng)過 1 /γ天轉(zhuǎn)化成康復(fù)個體.上述新冠肺炎狀態(tài)間的轉(zhuǎn)化可用如下微分方程組表述：

假設(shè)(1)式表示的模型1具有如下初值：

模型各參數(shù)的生物學(xué)意義及取值參見表1.第k個年齡組初始時刻的易感者數(shù)量、潛伏者數(shù)量、染病者數(shù)量、確診者數(shù)量的具體取值見表2.

表1 參數(shù)定義和參數(shù)值Table 1.Parameter definitions and parameter values.

表2 變量生物學(xué)意義和變量初始值Table 2.The meaning of variables and initial values.

2.3 基本再生數(shù)

基本再生數(shù)是傳染病防控中一個非常重要的量.基本再生數(shù)R0表示在一個全部都是易感者的環(huán)境中一個染病者在整個染病期內(nèi)二次傳染人數(shù)的平均值.在疾病傳播初期,如果R0＜1 ,疾病消亡； 否則,疾病流行.模型 1有惟一的無病平衡點(diǎn)

這里Nk(k=1,2,3,4) 分別表示廣東省 0—5歲、6—19歲、20—64歲及65歲及以上人口數(shù).

利用文獻(xiàn)[17,18]計(jì)算模型1基本再生數(shù).在無病平衡點(diǎn)P0處線性化模型1,定義

和

其中Id為 4×4 單位矩陣,0 為 4×4 零矩陣,

則

其中ρ表示矩陣的譜半徑.

容易驗(yàn)證,當(dāng)初值條件滿足(2)式時模型1的解是非負(fù)的.注意到Nk(t)=Sk(t)+Ek(t)+Ik(t)+Hk(t)+Rk(t),那么故各年齡層人口數(shù)保持不變.從而區(qū)域

是模型(1)的一個正向不變集.

定理1假設(shè)矩陣F1不可約且R0＜1 ,則無病平衡點(diǎn)P0全局漸近穩(wěn)定.

證明由矩陣F1的不可約性,結(jié)合Perron-Frobenius[19]定理,矩陣F1存在一個單的特征根ρ(F1)=hR0和一個正的左特征向量ω=(ω1,ω2,ω3,ω4) ,滿足ωF1=hρ(F1)ω=hR0ω.

令E=(E1,E2,E3,E4)T和I=(I1,I2,I3,I4)T,構(gòu)建如下Lyapunov函數(shù)：

其 中ωk(k=1,2,3,4) 是hρ(F1) 對 應(yīng) 特 征 向 量 的分量.

對L沿模型1解軌線求全導(dǎo)數(shù)得

令

如果R0＜1 ,由ω正性得到L′=0 的充要條件為I=0 .從而最大不變集M只包含惟一的無病平衡點(diǎn)P0.由 LaSalle 不變集原理[20]知,當(dāng)R0＜1時,無病平衡點(diǎn)P0是全局漸近穩(wěn)定的.

定理1表明只要基本再生數(shù)小于1,就不會有新增新冠肺炎患者,疾病得以控制.

最終規(guī)模是指在整個疾病流行期間內(nèi)感染的總?cè)藬?shù).在傳染病傳播中,用來刻畫疾病傳播的危害程度.實(shí)際上由模型1可得,第k年齡層的累計(jì)病例數(shù)

即為各年齡組的最終規(guī)模.

首先,由模型1的第一個方程得出Sk(t) 單調(diào)遞減,故Sk(∞) 存在.將模型 1 第一個方程分離變量積分得

其次,將模型1的前三個方程相加并積分得

最后,將(10)式代入到(9)式,得到模型1各年齡層最終規(guī)模為

其中Sk(∞) 表示第k年齡層易感者的最終規(guī)模.事實(shí)上,新冠肺炎的易感初始人群Sk(0) 已知； 若通過數(shù)據(jù)辨識模型參數(shù)βk和h、接觸矩陣ckj及初值Ej(0)和Ij(0) ,根據(jù) (11) 式可求出Sk(∞) ,進(jìn)而得到第k年齡層的染病最終規(guī)模為Sk(0)+Ek(0)+Ik(0)-Sk(∞).

2.4 人口數(shù)據(jù)及部分參數(shù)值的確定

通過查閱中國2010年人口普查資料[21],得到2010年廣東省各年齡層統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)(見表3).

隨后依據(jù)廣東省2010年到2019年各年度人口增長和出生率[22],估算出現(xiàn)有年齡段人口分布(見表4).

由文獻(xiàn)[23]可知新冠肺炎的平均潛伏期為5.2 天,故可以假設(shè)α=1/5.2 ； 根據(jù)國家衛(wèi)健委新聞發(fā)布會[15],湖北省外患者從確診住院到恢復(fù)出院時長約為10天,故可假設(shè)γ=1/10 .

從模型1不難發(fā)現(xiàn),計(jì)算接觸矩陣cij(i,j=1,2,3,4)非常關(guān)鍵[7,11].文獻(xiàn)[14]對廣東省城鄉(xiāng)人口的出行和接觸方式進(jìn)行了調(diào)查,考慮個體活動范圍(家庭內(nèi)部和外部接觸),得到了不同活動范圍下的接觸矩陣—家庭內(nèi)部接觸矩陣、以家庭為中心半徑0.5 km內(nèi)的接觸矩陣及半徑超過0.5 km的接觸矩陣.本文將家庭內(nèi)部接觸矩陣定義為居家模式接觸矩陣,將活動半徑0.5 km以內(nèi)和居家模式接觸矩陣的和定義為社區(qū)模式接觸矩陣.本次新冠肺炎的傳播主要考慮兒童、青少年、中青年及老年人的流行病學(xué)特征和文獻(xiàn)[14]各年齡層的劃分相契合.

廣東省于1月23日出臺一系列嚴(yán)格的控制措施,如封城、居家隔離、停工、停課等,各年齡段的人群接觸近似于居家模式.將文獻(xiàn)[14]中家庭模式下的接觸矩陣(圖3(a))作為疫情期間采取居家隔離的接觸矩陣.引入社區(qū)模式接觸矩陣(圖3(b))評估居家隔離措施對新冠肺炎的影響.接觸矩陣中的元素ckj表示k年齡組的個體與j年齡組人群的接觸數(shù).

圖3 (a) 廣東省居家模式接觸矩陣； (b) 廣東省社區(qū)模式接觸矩陣Fig.3.(a) Household-mode contact matrix of Guangdong；(b) community-mode contact matrix of Guangdong.

表3 2010 年廣東省各年齡段人口 (單位： 1000 人)Table 3.The number of population for each age group of Guangdong province in 2010 (Unit： 1000).

表4 2019 年廣東省各年齡段人口分布 (單位： 人)Table 4.The number of population for aggregated age groups in Guangdong province in 2019 (unit： person).

3 模型擬合結(jié)果

模型1中第k年齡組每日新增確診病例為hIk(t),從而第T天的累計(jì)確診病例為

結(jié)合馬爾科夫鏈蒙特卡羅方法(MCMC)[24]擬合累計(jì)病例數(shù)據(jù),同時采取Metropolis-Hastings(M-H)算法校準(zhǔn)參數(shù)值和初值(見表1與表2).此算法隨機(jī)模擬20000次,從第8000次模擬截?cái)?計(jì)算后12000次模擬平均值.

基于各年齡組每日累計(jì)確診病例,分別擬合0—5 歲 (兒童組),6—19 歲 (青少年組),20—64 歲(中青年組),65歲及以上(老年組)四個年齡組的累計(jì)病例隨時間的變化圖(如圖4和圖5所示).不難發(fā)現(xiàn)擬合的整體效果比較理想.但0—5歲年齡組的擬合偏差稍大,主要是由于0—5歲病例樣本量較少,擬合噪聲影響較強(qiáng),導(dǎo)致實(shí)際數(shù)據(jù)和模型擬合結(jié)果有一定偏差.

圖4 各年齡組每日累計(jì)確診住院數(shù).紅點(diǎn)表示實(shí)際數(shù)據(jù),藍(lán)線表示模型預(yù)測均值,灰色陰影代表95%的置信區(qū)間Fig.4.The cumulative number of confirmed cases per day in each age group.The red dots represent the actual data,the blue line represents the solution of model 1,and the shaded gray area represents the 95% confidence interval.

圖5 各年齡組每日現(xiàn)有確診住院數(shù) H k(t) .其中藍(lán)線表示模型的解,灰色陰影部分表示95%置信區(qū)間,紅線表示峰值Fig.5.The number of confirmed hospitalized cases per day in each age group.The blue line represents the solution of the model,the shaded gray area represents the 95% confidence interval,and the red line represents the peak.

圖6 (a) 各年齡組每日累計(jì)確診住院數(shù) (b) 各年齡組每日現(xiàn)有確診住院數(shù) H k(t) .Fig.6.(a) Total number of confirmed hospitalizations per day in each age group.(b) Each age group has the number of confirmed hospitalizations H k(t) per day.

根據(jù)擬合結(jié)果,通過比較各年齡組的累計(jì)確診住院病例曲線(圖6(a))和每日現(xiàn)有確診住院曲線(圖6(b)),發(fā)現(xiàn)兒童及青少年感染人數(shù)明顯少于老年組和中青年組,呈現(xiàn)明顯的年齡異質(zhì)性； 圖6(b)表明老年組每日現(xiàn)有確診峰值最先到達(dá)、兒童組緊隨其后、中青年組最后到達(dá).具體各個年齡組的住院病例峰值到達(dá)時間、住院峰值、最終規(guī)模、消亡時間見表5.

表5表明每日現(xiàn)有確診住院數(shù)高峰老年組(65歲及以上)于1月31日到達(dá),兒童(0—5歲)于2月2日到達(dá),青少年組(6—19歲)和中青年組(20—64歲)于2月3日到達(dá).由圖7(a)可以看出20—64歲年齡組每日現(xiàn)有確診住院峰值占比最多,65 歲及以上年齡組次之,0—5 歲年齡組最少；各年齡層最終規(guī)模(圖7(a))和高峰占比構(gòu)成相似；住院病例多為中青年和老年人.該結(jié)論為針對不同的年齡人群預(yù)備和籌集相應(yīng)的醫(yī)療資源提供了關(guān)鍵信息.通過比較表1中傳播概率β1,β2,β3,β4以及各年齡組最終規(guī)模,得出青少年感染新冠肺炎風(fēng)險較低,20—64歲中青年染病風(fēng)險較高.結(jié)合表4和表5的數(shù)據(jù)計(jì)算各年齡層最終規(guī)模占對應(yīng)年齡層人數(shù)占比,結(jié)果如圖7(b)所示.不難發(fā)現(xiàn),65歲及以上年齡患者占比最高,而6—19歲年齡組患者占比最低.因此,老年人群易感染新冠肺炎,該年齡組人群應(yīng)該加強(qiáng)日常新冠肺炎預(yù)防.

表5 擬合結(jié)果分析Table 5.Analysis of fitting results.

圖7 (a)各年齡組最終規(guī)模占比圖； (b) 各年齡層最終規(guī)模占對應(yīng)年齡層人數(shù)占比圖Fig.7.(a) The proportions of final size in each age group；(b) The proportion of the final size of each age group in the associated age group.

4 控制策略評估

為了評估居家隔離效果,改變接觸模式,允許個體以家庭為中心,在半徑為0.5 km的范圍內(nèi)活動,該接觸模式定義為圖3(b)所示的社區(qū)模式.比較兩種接觸模式下各年齡組感染新冠肺炎的變化.

圖8表明在社區(qū)模式下,各年齡組的每日現(xiàn)有確診病例數(shù)峰值及到達(dá)時間有顯著差異,其中,0—5歲年齡組每日現(xiàn)有確診病例數(shù)住院高峰時間將推遲2天,峰值增加9%； 6—19歲年齡組高峰到達(dá)時間推遲3天,峰值增加29%； 20—64歲年齡組高峰時間推遲近1周,峰值增加41%； 65歲及以上年齡組峰值到達(dá)時間推遲1天,峰值增加8% (表6).

表6 社區(qū)模式住院峰值到達(dá)時間及峰值Table 6.Daily peak arrival time and peak values of hospitalized cases in the community mode.

定理1表明基本再生數(shù)小于1能有效控制新冠肺炎的傳播.為此,采用拉丁超立方抽樣方法分析模型參數(shù)對基本再生數(shù)的影響,結(jié)果如圖9(a)所示.可以看出,減小傳染概率βk(k=1,2,3,4) 和提高確診率能有效降低新冠肺炎的傳播.在居家模式下,提高確診率比其他控制策略更有效.

在居家隔離政策下,對比 1 /h天后確診對疫情高峰的影響,分別取參數(shù)值h= 0.5,h= 1.0,h=2.0,即確診期分別為 2 天,1 天和 0.5 天,其他參數(shù)值保持不變,結(jié)果如圖9(b)所示.可以看出,如果感染者出現(xiàn)癥狀后立刻去醫(yī)院檢測,特別是在出現(xiàn)癥狀后半天內(nèi)確診,會明顯降低住院高峰人數(shù),同時也能縮短疫情消亡時間.說明及時就診能有效遏制新冠肺炎的蔓延.

通過以上控制措施評估效果可以發(fā)現(xiàn),實(shí)施居家隔離措施、及時隔離確診病例并對其進(jìn)行治療是疫情防控的關(guān)鍵.以上所有分析都基于醫(yī)療資源充足,若考慮感染者在出現(xiàn)癥狀后不能及時得到確診,該模型還需要進(jìn)一步修改和完善.

圖8 各年齡組每日確診病例時間序列圖.藍(lán)實(shí)線表示居家模式下的每日確診病例時間序列圖,紅虛線表示社區(qū)模式下每日確診病例時間序列圖Fig.8.The daily hospitalized cases for each age group over time t.The blue line represents the daily hospitalized cases in the household mode,the red dotted line represents the daily hospitalized cases in the community mode.

圖9 (a) 參數(shù)對基本再生數(shù) R 0 的敏感性分析； (b) 每日現(xiàn)有總確診住院數(shù) 取不同確診率時間序列圖Fig.9.(a) The sensitivity analysis of model parameters to R 0 ； (b) the time series diagram of the total hospitalized cases with parameter h .

5 討 論

本文分析了廣東省944例新冠肺炎患者信息,發(fā)現(xiàn)廣東省新冠肺炎患者各年齡患者的構(gòu)成比例有顯著差異.通過建立耦合不同年齡層接觸模式的SEIHR模型,基于現(xiàn)實(shí)病例數(shù)據(jù),利用MCMC方法,辨識模型參數(shù),分析不同年齡段人群的新冠肺炎的傳播趨勢,計(jì)算出基本再生數(shù)R0= 1.2323(95% CI [1.2316,1,2329])和最終規(guī)模分別為 0—5 歲年齡組 28 例 (95% CI [23,33]),6—19 歲年齡組 61 例 (95% CI [54,69]),20—64 歲年齡組 877例 (95% CI [791,962]),65 歲及以上年齡組 125 例(95% CI [107,144]).研究發(fā)現(xiàn)居家模式對疫情的控制非常有效,如果政策適當(dāng)放松,即社區(qū)模式下染病人數(shù)上升明顯,其中20—64歲(中青年組)染病峰值比居家模式增加41%.通過分析不同年齡層感染最終規(guī)模在對應(yīng)年齡層人口數(shù)的占比,發(fā)現(xiàn)老年人感染新冠肺炎風(fēng)險較高,青少年的感染風(fēng)險較低.

耦合不同年齡層人群接觸模式的傳染病動力學(xué)模型,本質(zhì)上刻畫了不同社會接觸模式(物理距離)對新冠肺炎傳播的影響,揭示不同年齡段人群的新冠肺炎的流行特征和規(guī)律.同時能準(zhǔn)確捕捉不同控制策略下,人的社會行為對新冠肺炎的影響.結(jié)果表明在嚴(yán)格管控措施下,提高確診和隔離率是遏制新冠肺炎傳播的關(guān)鍵.耦合年齡結(jié)構(gòu)的傳染病模型為合理調(diào)派醫(yī)療資源和節(jié)約成本提供了理論依據(jù).

圖6較準(zhǔn)確地?cái)M合了各年齡組的確診病累計(jì)例數(shù),表明模型1能客觀反映廣東省新冠肺炎在各年齡組間的實(shí)際傳播情況.與傳統(tǒng)的均勻混合的SEIHR倉室模型相比,模型1能較準(zhǔn)確了解新冠肺炎與年齡及物理接觸距離的關(guān)系,能捕捉各個年齡組人群之間的傳播動態(tài),能較清晰地評估居家隔離對各年齡組新冠肺炎傳播的影響.通過數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn),經(jīng)典的均勻混合模型會高估新冠肺炎在廣東省的傳播,可能對及時復(fù)工復(fù)產(chǎn)發(fā)出誤導(dǎo)信息(見圖10).

圖10 均勻混合模型與模型 (1)比較圖Fig.10.The comparison diagram of uniformly mixed model and model (1).

本文雖然詳細(xì)地討論了年齡異質(zhì)性及物理接觸距離對新冠肺炎的影響,但模型的建立仍有許多不足.首先接觸矩陣的數(shù)據(jù)由文獻(xiàn)[14]直接獲得,雖然我們采用和文獻(xiàn)[25,26]類似的聚合方法更新接觸數(shù)據(jù),但獲得的信息與實(shí)際情況有一定的偏差.受限于獲得信息的不完整,目前只能依賴文獻(xiàn)[14]提供的數(shù)據(jù)將年齡進(jìn)行分層.將來如果采用更加精確的遙感設(shè)備,精確記錄每天各年齡組的接觸數(shù)據(jù),進(jìn)而能設(shè)計(jì)更加合理的分組方式來研究新冠肺炎的傳播.其次,由于缺乏實(shí)際詳細(xì)信息,模型1假設(shè)參數(shù)(除感染率外)都和年齡無關(guān),實(shí)際上由于各年齡層個體體質(zhì)不同,不同年齡層的康復(fù)期略有不同,那么康復(fù)率應(yīng)該是一個與年齡有關(guān)的函數(shù).我們將對這些遺留問題進(jìn)行進(jìn)一步改進(jìn)和完善.